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课时分层训练(八)　简单的轴对称图形
知识点一　垂直平分线的性质
1．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D.若△ABC的周长是20 cm，BC＝8 cm，则△ABD的周长为　12　cm.
解析：因为△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D，
所以CD＝BD.
因为△ABC的周长是20 cm，BC＝8 cm，
所以AC＋AB＝20－8＝12(cm)．
所以△ABD的周长是AD＋AB＋BD＝AD＋AB＋CD＝AC＋AB＝12 cm.
故答案为：12.
知识点二　角平分线的性质
2．如图，已知C是∠AOB的边OA上一动点，MD⊥OB于点D.若MD＝1，由作图痕迹可得，MC的最小值是(　A　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由作图痕迹可得OM平分∠AOB，
如图，过点M作MH⊥OA于点H.
因为OM平分∠AOB，MD⊥OB，MH⊥OA，
所以MH＝MD＝1.
因为点C是∠AOB的边OA上一动点，
所以MC的最小值是1.
故选：A．
3．如图，已知PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M，N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB＝　60°　．(填度数)
解析：因为PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，
所以OC平分∠AOB.
所以∠AOB＝2∠BOC＝2×30°＝60°.
故答案为：60°.
知识点三　等腰三角形的性质与判定
4．一个等腰三角形的两条边分别是2 cm和5 cm，则第三条边的长度是(　B　)
A．2 cm B．5 cm
C．2 cm或5 cm D．不能确定
解析：根据题意可知分两种情况：
①当等腰三角形的腰长为2 cm，底边长为5 cm时，
因为2＋2＝4＜5，
所以不能组成三角形；
②当等腰三角形的腰长为5 cm，底边长为2 cm时，
此时等腰三角形的三边长分别为5 cm，5 cm，2 cm.
综上，等腰三角形的第三条边的长度是5 cm.
故选：B.
5．如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.若BC＝16，AB＝AC＝10，点A到BC的距离为6，则DM＋DN＝　9.6　．
解析：如图，连接AD，过点A作AE⊥BC于点E.
因为点A到BC的距离为6.
所以AE＝6.
因为DM⊥AB，DN⊥AC，BC＝16，AB＝AC＝10，
所以S△ABD＋S△ADC＝S△ABC.
所以AB·DM＋AC·DN＝BC·AE.
所以AB·DM＋AC·DN＝BC·AE.
所以10DM＋10DN＝16×6.
所以DM＋DN＝9.6.
故答案为：9.6.
知识点四　等边三角形的性质与判定
6．将两个直角三角尺如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°.若A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为　120°　.
解析：因为∠DCE＝90°，∠D＝60°，
所以∠E＝90°－∠D＝30°.
所以CD＝DE.
又因为点A是DE的中点，
所以CD＝AD＝AE.
所以△ACD是等边三角形．
所以∠ACD＝60°.
所以∠ACF＝∠DCE－∠ACD＝30°.
因为∠FAC＝90°，
所以∠AFC＝180°－∠FAC－∠ACF＝60°.
所以∠BFC＝180°－∠AFC＝120°.
故答案为：120°.
7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，过点D作DE∥AB交边AC于点E.
(1)试说明：∠C＝∠CDE；
(2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为DE∥AB，
所以∠CDE＝∠B.
所以∠C＝∠CDE.
(2)△DEC是等边三角形．理由如下：
因为DE∥AB，
所以∠DEC＝∠A＝60°.
由(1)知∠C＝∠CDE，
所以△DEC是等边三角形．
8．现需要在某条街道l上修建一个商店P，向居住在A，B小区的居民提供便民服务，要使P到A，B的距离之和最短，则点P符合题意的是(　A　)
解析：作点A关于直线l的对称点，连接对称点和点B交直线l于点P，点P即为所求．故选：A．
9．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在边AB，AC上，且EF∥BC.若AB＝6，BE＝2，则EF的长为(　B　)
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：因为AB＝6，BE＝2，
所以AE＝AB－BE＝4.
因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为EF∥BC，
所以∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°.
所以∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°.
所以△AEF是等边三角形．
所以EF＝AE＝4.
故选：B.
10．如图，△ABC的面积是16，AB＝AC，BC＝4，点A与点C关于直线EF对称．若D为BC的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为(　B　)
A．8 B．10
C．12 D．14
解析：如图，连接AD，AM.
因为AB＝AC，点D是BC的中点，BC＝4，
所以AD⊥BC，BD＝DC＝2.
因为△ABC面积是16，
所以S△ABC＝BC·AD＝2AD＝16.
所以AD＝8.
因为EF垂直平分AC，
所以AM＝MC.
所以C△CDM＝MD＋MC＋DC＝MD＋AM＋DC.
要使△CDM的周长为最小值，只需A，M，D三点共线，即MD＋AM＝AD，
所以△CDM的周长的最小值为C△CDM＝AD＋DC＝8＋2＝10.故选：B.
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.
(1)试说明：AD⊥BC；
(2)若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
解：(1)如图，连接AE.
因为EF垂直平分AB，
所以AE＝BE.
因为BE＝AC，
所以AE＝AC.
因为D为线段CE的中点，
所以AD⊥BC.
(2)设∠B＝x°，
因为AE＝BE，
所以∠BAE＝∠B＝x°.
所以∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝180°－2x°.
所以∠AEC＝180°－∠AEB＝2x°.
因为AE＝AC，
所以∠C＝∠AEC＝2x°.
易知在△ABC中，3x°＋75°＝180°，
解得x＝35.
故∠B的度数为35°.
【创新运用】
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于点E.
(1)当∠ADB＝115°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　115　°；当点D从点B向点C运动时，∠BDA的度数逐渐变　小　(填“大”或“小”)．
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
解：(1)因为在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，
所以∠B＝∠C＝40°.
因为∠B＝40°，∠ADB＝115°，
所以∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－40°－115°＝25°.
因为∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，
所以∠EDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝180°－115°－40°＝25°.
所以∠DEC＝180°－∠C－∠EDC＝180°－40°－25°＝115°.
当点D从点B向点C运动时，∠BDA的度数逐渐变小．
故答案为：25；115；小．
(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形．
因为在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，
所以∠B＝∠C＝40°.
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
根据题意可知分三种情况：
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
所以∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝100°.
所以∠DAE＝∠BAC，
即此时点D与点B重合．
所以此时不符合题意．
②当AD＝DE时，
即∠DAE＝∠AED＝×(180°－∠ADE)＝70°，
所以∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝30°.
所以∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝110°.
③当AE＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
所以∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝60°.
所以∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝80°.
综上，当∠BDA的度数是110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
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