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课时分层训练(十)　探索勾股定理
知识点一　勾股定理
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2＋BC2的值是(　C　)
A．10 B．34
C．25 D．41
解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，
所以AC2＋BC2＝AB2＝52＝25.
故选：C.
2．在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝5，AB＝13，则AC＝　12　．
解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，
所以AC2＝AB2－BC2＝132－52＝144.
所以AC＝12.
故答案为：12.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则边BC上的高为　3　．
解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
所以BD＝CD＝BC＝4.
所以AD2＝AB2－BD2＝9.
所以AD＝3，
即边BC上的高为3.
故答案为：3.
知识点二　勾股树
4．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为(　A　)
A．7 B．5
C．25 D．1
解析：因为正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，
所以正方形C的面积为3＋4＝7.
故选：A．
5．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是　10　．
解析：如图，根据勾股定理的几何意义，得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为：10.
知识点三　勾股定理的验证
6．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为　20　．
解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形，
所以一个直角三角形的面积＝(大正方形面积－小正方形面积)÷4＝(72－32)÷4＝10.
即ab＝10.
所以ab＝20.
故答案为：20.
7．用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a＜b)，斜边长为c.
图1
　
图2
(1)结合图1，试说明：a2＋b2＝c2；
(2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为48，OH＝6，求该图形的面积．
解：(1)易知S小正方形＝(b－a)2＝a2－2ab＋b2，S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab，
即a2－2ab＋b2＝c2－2ab.
所以a2＋b2＝c2.
(2)易知AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6.
设AH＝BC＝x，则AB＝12－x，OA＝6＋x.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，
即62＋(6＋x)2＝(12－x)2，
解得x＝2.
所以该图形的面积为×6×8×4＝96.
8．如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成的．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则(a＋b)2＝(　D　)
A．12 B．13
C．24 D．25
解析：由题意，得四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
因为正方形ABCD的面积为13，
所以AD2＝13＝a2＋b2.①
因为中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
所以(b－a)2＝1.
所以b2－2ab＋a2＝1.②
①－②，得2ab＝12，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.
故选：D.
9．某画家用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是(　A　)
A．S1＝a2＋b2＋2ab
B．S2＝c2＋ab
C．S1＝S2
D．a2＋b2＝c2
解析：由勾股定理，得a2＋b2＝c2，
由题意，得S1＝S2＝a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab＝c2＋ab.
故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意．
故选：A．
10．如图，四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O.若AD＝2，BC＝6，则AB2＋CD2＝　40　．
解析：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理，得AB2＝BO2＋AO2，CD2＝CO2＋DO2，
所以AB2＋CD2＝BO2＋CO2＋AO2＋DO2.
在Rt△BOC与Rt△AOD中，由勾股定理，得BC2＝BO2＋CO2，AD2＝AO2＋DO2，
所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝62＋22＝40.
故答案为：40.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当t＝　2或　时，△ABP为直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，
所以根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
所以BC＝4 cm.
由题意知BP＝2t cm.分两种情况：
①如图1，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即2t＝4，解得t＝2；
②如图2，当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝(2t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(2t－4)2，
在Rt△BAP中，根据勾股定理，得AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(2t－4)2]＝(2t)2，解得t＝.
综上，当t＝2或时，△ABP为直角三角形．
故答案为：2或.
图1
　　　
图2
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，在△ABE中，DE是边AB上的高，DE＝5，△ABE的面积为25.求：
(1)AB的长；
(2)四边形ACBE的面积．
解：(1)因为在△ABE中，DE是边AB上的高，DE＝5，△ABE的面积为25，
所以S△ABE＝AB·DE＝AB×5＝25.
所以AB＝10.
(2)因为在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，
所以根据勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64.
所以AC＝8.
所以S△ABC＝BC·AC＝×6×8＝24.
所以四边形ACBE的面积为S△ABC＋S△ABE＝24＋25＝49.
【创新运用】
13．(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积S1，S2，S3之间满足的等量关系是　S1＋S2＝S3　；
(2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边长为直径作半圆．若a＝3，c＝5，求图中阴影部分的面积．
图1
　
图2
解：(1)设S1，S2，S3分别对应直径为a，b，c.
根据勾股定理，得a2＋b2＝c2，
S1＝π＝a2，
同理可得S2＝b2，S3＝c2，
所以S1＋S2＝a2＋b2＝(a2＋b2)＝＝S3.
故答案为：S1＋S2＝S3.
(2)设以a，b，c为直径的半圆的面积分别为S1，S2，S3，直角三角形的面积为S4.
由(1)知S1＋S2＝S3.
因为三角形是直角三角形，a＝3，c＝5，
所以根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝52－32＝16.所以b＝4.
所以S4＝ab＝×3×4＝6.
所以阴影部分的面积为S1＋S2＋S4－S3＝S4＝6.
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