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课时分层训练(十一)　一定是直角三角形吗
知识点一　勾股定理的逆定理
1．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足a2＝b2＋c2，则△ABC的形状为(　C　)
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的5倍，那么得到的三角形是(　C　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：设原直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2，
因为三条边长同时扩大5倍，
所以扩大后的三条边长为5a，5b，5c.
所以(5a)2＋(5b)2＝25a2＋25b2＝25(a2＋b2)＝25c2.
因为(5c)2＝25c2，
所以(5a)2＋(5b)2＝(5c)2.
所以如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是直角三角形．
故选：C.
3．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为　30　．
解析：因为△ABC的三边长分别为5，12，13，
所以52＋122＝132.
所以△ABC是直角三角形，两直角边长分别是5，12.
所以△ABC的面积为×5×12＝30.
故答案为：30.
4．如图所示的网格是正方形网格，如果△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点，那么∠BCA＋∠DCE＝　45°　．(填度数)
解析：如图，连接AD.
易知由勾股定理，得AD2＝12＋32＝10，CD2＝12＋32＝10，AC2＝22＋42＝20，
所以AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2.
所以△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC＝90°.
所以∠CAD＝∠ACD＝45°.
观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，
所以∠BCF＝45°，∠ECG＝45°.
所以∠BCA＋∠DCE＝180°－45°－45°－45°＝45°.
故答案为：45°.
5．如图所示的一块铁皮(阴影部分)，测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°.求这块铁皮(阴影部分)的面积．
解：如图，连接AC.
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
所以由勾股定理得AC＝10.
因为CD＝24，AD＝26，AC＝10，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
所以S阴影＝S△ACD－S△ABC＝×10×24－×6×8＝120－24＝96.
故这块铁皮(阴影部分)的面积是96.
知识点二　勾股数
6．下列各组数是勾股数的是(　D　)
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5
C．7，12，13 D．18，24，30
7．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①　3，4，5　；
②　6，8，10(答案不唯一)　．
8．(1)请你观察下列勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；…；分析其中的规律，直接写出第4组勾股数：　(9，40，41)　.
(2)若a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，其中n＞2且n是正整数．试说明：以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形．
解：(1)通过观察得：
第1组勾股数为2×1＋1，2×12＋2×1，2×12＋2×1＋1；
第2组勾股数为2×2＋1，2×22＋2×2，2×22＋2×2＋1；
第3组勾股数为2×3＋1，2×32＋2×3，2×32＋2×3＋1；
所以第4组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41.
故答案为：(9，40，41)．
(2)因为a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，
所以b2＋c2＝(4n)2＋(n2－4)2＝16n2＋n4－8n2＋16＝n4＋8n2＋16＝(n2＋4)2＝a2，
即b2＋c2＝a2.
所以以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形．
9．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　B　)
A．∠A＝∠B＋∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．a2＝(b＋c)(b－c)
D．a∶b∶c＝5∶12∶13
解析：A．因为∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
B．设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据题意，得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，则5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
C．因为a2＝(b＋c)(b－c)，即a2＝b2－c2，所以b2＝a2＋c2.所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D．因为52＋122＝132，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B.
10．如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形有(　C　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由题图可知：左上第一个三角形：(12＋22)＋(12＋22)＝12＋32，故此三角形是直角三角形；
右上第二个三角形：(12＋22)＋(12＋32)≠22＋32，故此三角形不是直角三角形；
第三个三角形：(22＋22)＋(32＋32)＝12＋52，故此三角形是直角三角形．
综上，直角三角形的个数是2.
故选：C.
11．若三角形三边长满足a∶b∶c＝3∶4∶5，且三角形周长为24 cm，则这个三角形最长边上的高为　 cm　．
解析：因为a∶b∶c＝3∶4∶5，
所以设三边长分别为a＝3x cm，b＝4x cm，c＝5x cm.
因为周长为24 cm，
所以3x＋4x＋5x＝24，解得x＝2.
所以三边长分别为a＝6 cm，b＝8 cm，c＝10 cm.
因为62＋82＝102，
所以三角形是直角三角形．
设最长边上的高是h cm，根据题意，得×6×8＝×10×h，
解得h＝.
故答案为： cm.
12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是　36　．
解析：如图，连接AC.
在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，
所以由勾股定理，得AC＝5.
在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5.
因为122＋52＝132，即AD2＋AC2＝CD2，
所以△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°.
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝6＋30＝36.故答案为：36.
13．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，BD＝1，CD＝2，AD＝4.试说明：∠ACB＝90°.
解：因为CD⊥AB，垂足为点D，BD＝1，CD＝2，AD＝4，
所以BC2＝BD2＋CD2＝12＋22＝5，AC2＝AD2＋CD2＝42＋22＝20.
因为AB＝AD＋BD＝4＋1＝5，
所以AB2＝25＝20＋5＝AC2＋BC2.
所以△ABC是直角三角形．
所以∠ACB＝90°.
【创新运用】
14．已知整式A＝n2＋1，B＝2n，C＝n2－1，整式C＞0.
(1)当n＝1 999时，写出整式A＋B的值　4×106　；(用科学记数法表示结果)
(2)求整式A2－B2的值；
(3)嘉淇发现：当n取正整数且n>1时，整式A，B，C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
解：(1)A＋B＝n2＋1＋2n＝(n＋1)2，当n＝1 999时，
原式＝(1 999＋1)2＝2 0002＝4×106.
故答案为：4×106.
(2)A2－B2＝(n2＋1)2－(2n)2
＝(n2)2＋2n2＋1－4n2
＝(n2)2－2n2＋1
＝(n2－1)2.
(3)嘉淇的发现正确．理由如下：
因为B2＋C2＝(2n)2＋(n2－1)2
＝4n2＋(n2)2－2n2＋1
＝(n2＋1)2，
所以B2＋C2＝A2.
所以当n取正整数且n>1时，整式A，B，C满足一组勾股数．
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