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课时分层训练(十二)　勾股定理的应用举例
知识点一　勾股定理的应用
1．如图，在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则湖水的深度是　3.75　尺．(“尺”是我国古代的一种长度单位)
解析：若设湖水的深度为x尺，则荷花的长是(x＋0.5)尺．
在Rt△AB′C中，根据勾股定理，得＝x2＋22，解得x＝3.75.
所以湖水的深度为3.75尺．
故答案为：3.75.
2．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，村庄C到取水点A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，BH＝1.8 km.求原来的路线AC的长．
解：因为CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，CB2＝32＝9，
所以CH2＋BH2＝CB2.
所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°.
所以∠CHA＝90°.
所以AC2＝AH2＋CH2.
因为AB＝AC，
所以AH＝AB－BH＝AC－1.8.
所以AC2＝(AC－1.8)2＋2.42，解得AC＝2.5.
所以原来的路线AC的长为2.5 km.
知识点二　勾股定理与最短路径问题
3．如图，圆柱的底面周长为24 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，P是BC上一点，且PC＝5BP，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是　13 cm　.
解析：圆柱的侧面展开图如图所示，连接AP，则线段AP的长是蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离．
因为BC＝6 cm，PC＝5BP，
所以PC＝5 cm.
因为圆柱的底面周长为24 cm，
所以AC＝12 cm.
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP＝13 cm.
故答案为：13 cm.
4．如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4.若一名滑雪爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离．(π取3)
解：中间可供滑行部分的展开图如图所示．
易知AD＝×3×(3×2)＝9.
因为AB＝CD＝16，CE＝4，
所以DE＝CD－CE＝16－4＝12.
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝15.
故他滑行的最短距离约为15.
5．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1 km和3 km，且CD相距3 km，则铺水管的最短长度是　(　A　)
A．5 km B．4 km
C．3 km D．6 km
解析：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′与直线l交于点P，此时PA＋PB的值最小．作A′E∥l，交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，因为A′E＝3 km，BE＝1＋3＝4(km)，
所以由勾股定理，得A′B＝5 km.
因为PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝5 km，
所以PA＋PB的最小值为5 km，
即铺水管的最短长度是5 km.
故选：A．
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一道题，其译文大意为：某秋千的示意简图如图所示，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD＝5尺)，求秋千绳索OB的长度．(“尺”是我国古代的一种长度单位)
解：设OA＝OB＝x尺．
因为EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，
OE＝OA－EA＝(x－4)尺．
在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺．
根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102，
解得x＝14.5.
所以秋千绳索OB的长度为14.5尺．
【创新运用】
7．如图，居民楼A到铁路CM的距离为160 m，居民楼A与车站C的距离AC＝512 m，若火车经过时，周围200 m内会受到火车噪声的轻微干扰．
(1)通过作图说明居民楼A为什么会受到经过的火车噪声的影响；
(2)若火车的速度为30 m/s，求一列火车经过时，该居民楼受到噪声影响的时间．(火车车长忽略不计)
解：(1)如图，作AB⊥CM于点B.
易知AB＝160 m＜200 m.
所以居民楼A会受到经过的火车噪声的影响．
(2)如图，设火车行驶到点D时，恰好AD＝200 m，该居民楼开始受到噪声影响；火车行驶到点E时，恰好AE＝200 m，该居民楼即将不受到噪声影响．
因为AD＝200 m，AB＝160 m，∠ABD＝90°，
所以根据勾股定理，得BD＝120 m.
所以DE＝240 m.
240÷30＝8(s)，
所以一列火车经过时，该居民楼受到噪声影响的时间是8 s．
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