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内江六中2025-2026学年（上）高2027届入学考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D.
2. 为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法不正确的是（ ）
（第2题图） (第7题图) (第10题图)
A. 讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B. 讲座后问卷答题得分的众数为90
C. 讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D. 讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
3. 已知，则（ ）A. B. C. D.
4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度沿正东方向前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ）
A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时
7. 如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ）A. B. C. D.
8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立
如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 是在上的投影向量
11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）
A. 正八面体的内切球表面积为
B. 正八面体的外接球体积为
C. 若点为棱上的动点，则的最小值为
D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，那么的面积为______．
13. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______．
14. 中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为__________.
四、解答题（本题5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 本小题13分已知复数，，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模．
16. 本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；（2）若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值．
17. 本小题15分文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，， ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数；
（3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
18. 本小题17分在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足．
（1）求B；（2）若，，求的面积；（3）求的取值范围．
19.本小题17分“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点P，连接PA，PB，PC，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点C顺时针旋转，得到，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标;
在中，，，，借助研究成果，直接写出的最小值;
已知点，，，求的费马点P的坐标.内江六中高2027届高二第一学期入学考试数学试题参考答案
122:1号（或04：14【省案）22【解折1【带g1由历C=分，元C-日所以
2
1.B.:2.B:3.B:4.A:5.D:6.A:7.D:8.【答案】C【详解】由题中所给定义可知，
1
f (x)=4sinx+2cosx+2sinxcosx +2a 2sinx+2+sin2x+2a
历+PCBC主0，所以P在BC的直平分载上，设K为BC的中点，可得水+K8):2BK方
2BR=1
BC
AB
3+2a+sm2r-2r=3+2a+V22x当xe0时，2xe至
人=之所以BK=从而C=1，由正弦定理可得
2
sin∠BAC sin∠ABC
，所以
4
sin∠BHC-BCxsin∠4CB-5in∠ACB,当sm乙ACB=-l,(Sm∠BAOm
2
,又要使tan∠BAC的
AB
2
2
所以22x--,所以)a+2,2a+个，当a2-1时，
2a+220,
值最大时，则∠BAC为锐角，所以∠B4C=子从面△BC为等腰直角三角形，所以4C=1,所以O、H均在
f)fk)2a+2,(2a+4）,所以(2a+2<号<(2a+4,解得-1sa<4
斜边AB的垂直平分线上，即OH为内切圆的半径，设内切圆半径为r,所以二(AC+BC+AB)r
2
-2AC.BC,
当所子（ +4，解-子a<小候上a的k信面湖（子》放适：C
3010r-分g2g22,0m2点
2
15.【小问1详解】因为z=3+mi,所以z,=(1+3i)z=(1+3i(3+mi=3+mi+9i+3mi2=3-3m+(9+m)i,
9.BCD;10.AD;11.【答案】ACD【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为r,由内切球的性质可知正
八面体的体积y=8x××2x2×sin60°r=2××2x2×√2-(N2列，解得r=Y6,故它的内切球表面积为
a分又调为：为宝数所日。G分)解别m1.所：：6分
32
3
【小问2详解】由(1)可知，z=3+i,z2=(3+i)2=8+6i,所以A3,1),B(8,6),(8分，各1分)
4π×
(6_8不，放A项正确：对于B项，设该正八面体外接球的半径为R,由图知。4BCD是正方形
=
3
3
所以OA=(3,1),OB=(8,6),(9分)
OM=OB=0C=OD=5x2=V5,在Ri△E0B中，OE=VBB-OB-2,利用对称性知OF=V5,放点
所以向量OA在向量OB上的投影向量的模为
0A.08_3×8+1x6_30=3.(13分)
2
0B82+6210
0为正八面体外接球的球心，则R=2,所以正八面体外接球的体积为8V2n,故B项错误：对于C项，如图，16.【小间1详解】c0sA_c0s1,由正弦定理可知：sin11-c0s4_5
sinA(sinBcosC+sinCcosB)
3
2
2
2
因△ABE与△BCE是边长为2的全等的正三角形，可将aBCE翻折到aBCE',使其与△ABE共面，从而得到一个(2分)又sin4>0,化简得：1-cosA=V5(sinBcosC-+sinCcosB),即1-cosA=V5sin(B+C)=5sinA,
菱形HBCE,连接AC与BE相交于点P,此时AP⊥EB,CP⊥EB,AP=CP=5x2=5,则AP+CP取得
2
4分)以.-24+1，即48片分)为4"质世
最小值为25，故C项正确：对于D项，易知AF11BC,因为4Fa平面EBC,ECC平面EBC,所以AF/平面A+=5红，从而A=2；( 分)
66
BC,议Eyo成yY了×2x2x222。故D项
3
【小向2详解】由题意可得：SBD+Sac4D=SA4c,且AD=l,即bsin+cS
2
m写+2csin子-asim2红，9分
32
3
故选：ACD.
化简得b+c=bc,(10分)而b+c=bc≥2Wbc,解得bc≥4，等号成立当且仅当b=c=2,(13分)

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