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广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高三上学期 8 月份考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结来后,.将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 ，则（ ）
A． 不可能是最小值 B． 不可能是最小值 C． 不可能是最大值 D． 不可能是最大值
4．在斜 中，角 ， ， 的对边为 ， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知两个非零向量 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9．已知四面体 满足 ，则（ ）
A．直线 与 垂直 B．二面角 平面角的余弦值为
C．向量 在向量 上的投影为 D．四面体 的体积为
10．“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点
的曼哈顿距离为： ．若点 ，点 为圆 上一动点，则（ ）
A．点 和点 的曼哈顿距离为 3 B．设 ，则
C． 的最小值为 D． 的最大值为
11．下列求导结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题 (共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12．若“ ”为真命题，则实数 的取值范围是 .
13．函数 的最小值为 .
14． 中， ，点 为 平面内一点，且 ， ， 、 分别为 的外心和
内心，当 的值最大时， 的长度为 .
四、解答题 (共 5 小题，共 77 分)
15．已知集合 ， 且 .
(1)若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16．已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ， 为 的前 项之积，求证： ．
17．如图，在三棱柱 中， 是边长为 3 的正三角形， .
(1)求棱 的长；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．已知抛物线 ，过点 的直线 交 于 两点， 为坐标原点．当 与 轴垂直时，
．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)若 ，过 轴上一点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，且满足 三点共
线．
（i）求直线 的方程；
（ii）求 点的坐标．
19．已知函数 （ ， ， ）.
(1)当 ， 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若 存在两个极值点 ， ，求证： ；
(3)设 ， 为函数 的极值点，且 ，若 ， ， 是一个三角形的三边长，求 的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C D C D AD ABD
题号 11
答案 BD
12．设 ，
，即 ，在 上有解，
则 ，由 变形得 ，
当 时， ，根据 有解，得 .
故答案为： .
13．由题设 ，且 ，
令 ，则 ，
当 ，即 时， .
故答案为：
14．如图：
由 ， ，可得 ，所以 在 的垂直平分
线上.
设 为 的中点，可得 ，
所以 ，从而 .
由正弦定理可得 ，
所以 ，
当 ， ，
要使 值最大时，则 为锐角，所以 ，
从而 为等腰直角三角形，所以 .
所以 、 均在斜边 的垂直平分线上，即 为内切圆的半径，
设内切圆半径为 ，则 ，即 ，
解得 ，即 .
故答案为：
15．（1）解：由不等式 ，解得 ，即 ，
因为 是 的必要条件，所以 ，
又因为 且 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）解：由（1）知：集合 ， 且 ，
因为 ，则 或 ，解得 或 ，
又因为 ，所以实数 的取值范围为 .
16．（1）由 ，又由题意知， ，
左右同时除以 得 ，
所以 ，则 ，
故 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，
所以 ，可得 ；
（2）令函数 ，求导得 ，
在 上单调递增， ，即 ，
取 ，则 ，于是 ，
由（1）知， ,
，
所以 .
17．（1）因为 ， ，所以 ，
中，由余弦定理 ，
即 ；
（2）由（1）可知 中，满足 ，
所以 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ；
（3）如图，以点 为原点， 为 轴的正方向，作 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 .
18．（1）当 与 轴垂直时， ，则 ，
解得： ，即 ．
（2）（i）由 与抛物线交于 两点，可设 ，
联立方程组：得到： ，得到 ，
由韦达定理： ，
则 ，
法一：因为
代入可知： ，解得： ，
即 或 ．
法二：因为 ，所以 ．
因为 ，
所以
，即 ．
由 ，得 ，解得： ，即 或
．
（i）法一：由对称性，不妨取 ，由于 ，故 ，
因为 ，所以 ，联立解得： ，
同理有： ，
所以 ，
由（2）得： ，代入可得： ，
故 ，
由于 ，故 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，联立解得： ，
因为 三点共线，所以 在直线 上，代入得： ，解得： ，
故 的坐标为（10，0）．
法二：由对称性，不妨取 ，设 在第一象限，
联立方程： ，解得： ，
则： ，故 ，
因为 ，所以 ，
联立方程： ，解得 ，
同理有： ，可知 ，
因为 ，所以 ，联立解得： ，
则： ，
因为 三点共线，所以 ，代入解得： ，
故 的坐标为（10，0）．
19．（1）当 ， 时， 且 ，
则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
（2）当 时，则 且 ，
可得 ，
由 存在两个极值点 ， ，
则 是 在 上的两个不同根，
所以 ，可得 ，
由
，
所以 ， ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
故 ，
所以 在 上单调递增，
，
所以 在 上单调递增， ，
综上， ，即 ，得证；
（3）由题设 且 ，
因为 ， 为函数 的极值点，
则 ，
所以 ，即 ，
显然 ，则 ，
由 ，则 ，
故 ，易知 ，
由 ， ， 是一个三角形的三边长，则 ，即 ，
所以 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ，故 时 ，
综上， ，而 ，
由 在 上单调递增，
当 ，则 ，
当 ， ，
则 ，
故 ，即 的范围为 .

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