资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
有理数的运算---含有理数运算的数轴与绝对值常见题型总结练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、用数轴上的点表示有理数
1.已知5个数分别为0，，，，
(1)将题中5个数在数轴上表示出来；
(2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来．
2.（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，．
（2）将上列各数用“”号连接起来：_________．
3.已知下列有理数：
(1)中，底数是_______，指数是_______．
(2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数．
(3)把这些有理数用“＜”号连接起来．
4.有理数：，0，，，，．
(1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来；
(2)将上面的数填入相应的圈内．
二、利用数轴比较有理数的大小
5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，数轴上的两个点所表示的数分别为，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
三、数轴上的动点问题
9．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位．
(1)几秒后相遇？
(2)相遇时点对应的数是多少？
10．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度．
(1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数．
(2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数．
(3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
11．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
12．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒．
(1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______；
(2)当时，求、两点间的距离；
(3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
四、绝对值的非负性
13．，那么 ．
14．若，则的值为 ．
15．当 时，的值最小．
16．若式子有最小值，则该最小值为
五、利用数轴化简绝对值
17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，
(1)比较大小： ______0， ______0， ______0，
(2)化简
18．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)根据数轴化简：________：________；________；
(2)若，，，求的值．
19．如图，数轴上有a，b，c三点．
(1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”）
(2)化简．
20．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．

(1)请在数轴上表示出数对应的点的位置；
(2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列；
(3)化简：．
六、分类讨论化简绝对值
21.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
22.已知、，那么＝
23.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：
(1)若时，的值为___________；
(2)若成立，则___________；
(3)若，则___________；
(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________．
能力练
根据这一性质，解答下列问题：
(1)当 时，有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
2．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．
(1)求出点所对应的数；
(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；
(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．
3．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题．
【提出问题】若非零有理数，同号，求的值．
【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能．
（1）若，，有，，所以__________；
（2）若_____0，，有，_____，所以_____．
综上所述，的值为2或．
【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值．
答案
一、用数轴上的点表示有理数
1. (1)作图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键．
（1）首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可；
（2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可．
【详解】（1）解：，，
在数轴上表示出来，如图所示；
（2）解：由各点在数轴上的位置可知：
．
（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数；
（2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题．
【详解】解：（1）因为，，，
则在数轴上表示有理数如下图所示：
（2）由数轴可知：．
故答案为：．
(1)，
(2)数轴见解析，与1是相反数
(3)
【分析】（1）根据乘方的意义解答即可；
（2）先化简乘方、多重符号，然后在数轴上准确找出各数对应的点；
（3）从数轴上按照从左到右的顺序用“<”号把这些数连接起来即可．
【详解】（1）解：中，底数是，指数是3．
故答案为：，3；
（2）解：，
如图，与1是相反数，

（3）．
4. (1)见解析，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数大小比较，绝对值与相反数，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．
（1）根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
【详解】（1）解：，，，，
如图所示：
，
故．
（2）解：如图所示：
二、利用数轴比较有理数的大小
5． D
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可．
【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误；
B．，互为相反数，，，故B错误；
C．，互为相反数，，故C错误；
D．，互为相反数，，，故D正确．
故选∶D．
A
【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可．
【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图，
，
∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得．
故选：A．
A
【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
观察数轴可得，，，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，，
，，
，
故选：A．
C
【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，根据数轴可知，，然后逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、由数轴可知，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可知，，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可知，
∴不能判定与的大小，原选项错误，符合题意；
、由数轴可知，
∴，原选项正确，不符合题意；
故选：．
三、数轴上的动点问题
9． (1)秒
(2)
【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键．
（1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解；
（2）运用两点之间距离的计算即可．
【详解】（1）解：∵单位，
∴秒，
∴秒后相遇；
（2）解：点对应的数是： ．
10． (1)点C表示的数为5；
(2)点表示的数为或1；
(3)运动4秒后，点P可以追上点Q．
【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解．
（1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数；
（2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时；
（3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间．
【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图：
表示，表示1，
表示的数为5；
（2）解：由题意，可知点在点的左边或右边：
当点在点的左边时，如图：
由图可知点表示的数是；
当点在点的右边时，如图：
由图可知点表示的数为1，
故当时，点表示的数为或1；
（3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，
则点B表示的数为，点C表示的数为，
∴点P追上点Q所用时间为，
答：运动4秒后，点P可以追上点Q．
(1)；1
(2)①；②1或9秒
【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可．
此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
则，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
当点P运动到的中点时，它所表示的数是
故答案为：，1；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得，
解得，
∴当点P运动5秒时，点P追上点Q；
∴点P运动距离为
∴
∵此时P点在负半轴，
∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度
当P不超过Q，则，解得；
当P超过Q，则，解得；
答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度．
(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键．
（1）列出点的表达式，代入运算即可；
（2）根据表达式代入运算即可；
（3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴当时，，
故答案为：；；
（2）解：把代入，可得：
，，
∴；
（3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：；
∴当时，大致如图所示：
∵，，，，
∴，
∴
解得：；
当时，大致如图所示：
∴，
∴
解得：；
当时，大致如图所示：
∴，
∴
解得：（舍去）；
综上所述：或．
四、绝对值的非负性
13． /
【分析】本题考查绝对值的非负性及非负数和为0成立的条件，根据题意，由绝对值的非负性及非负数和为0的条件列方程求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为0成立的条件是解决问题的关键．
【详解】解：，，且，
，且，
解得，，
∴，
故答案为：．
14． 5
【分析】本题考查绝对值的非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解．
【详解】解：∵
∴当时，的值最小，
此时，,
故答案是：．
【分析】本题考查的是非负数的性质，根据任何数的绝对值都是非负数解答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，式子有最小值，最小值为．
故答案为：．
五、利用数轴化简绝对值
17． (1)
(2)
【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项等知识点，能根据数轴得出，是解此题的关键．
（1）根据数轴得出，，再根据有理数的加减运算法则得出答案即可；
（2）根据（1）中结果，结合绝对值的性质，去括号法则，计算即可．
【详解】（1）解：由数轴，可得，，
∴，，．
故答案为：．
（2）∵，，，
∴
．
18． (1)；；
(2)
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，代数式求值，求一个数的绝对值等等，熟知绝对值的定义是解题的关键．
（1）根据数轴可判断出，据此根据绝对值的定义求解即可；
（2）根据（1）结合已知条件可得a、b、c的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由数轴可得，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，，且，
∴，
∴．
(1)；；；
(2)
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式的加减，绝对值化简，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
（1）根据数轴分别判断，，的正负，即可解题；
（2）根据（1）中式子正负结合绝对值性质进行化简，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，，
所以，，，
故答案为：；；；
（2）解：
．
(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
（1）根据相反数的意义在数轴上描点即可；
（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大即可解答；
（2）根据绝对值的意义即可解答．
【详解】（1）解：对应的点的位置如图所示：

（2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得：
．
（3）解：
．
六、分类讨论化简绝对值
21. 3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
22. ±2或0
【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2或0．
(1)
(2)2
(3)0或
(4)；7
【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可；
（2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解；
（3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可；
（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解．
【详解】（1）解：时，，
故答案为：；
（2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，
∵与9的距离为，
∴中点到的距离为7，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）∵，
∴分情况讨论：当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上可得：值为0或，
故答案为：0或；
（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，
当时，距离和即为到4的距离，
故答案为：；7．
拓展练
1.(1)4，0
(2)，3
(3)，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解；
（2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解；
（3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解．
【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3．
（3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4．
2． (1)；
(2)或；
(3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．
【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解；
（）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解；
本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．
【详解】（1），故点所对应的数是；
（2），
点在点的左边，
，
点在点的右边，
，
故点所对应的数是或；
（3）点在点的左边，
（秒），
点对应的数是，点对应的数是；
点在点的右边，
（秒），
点对应的数是，点对应的数是，
综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是．
3． （1）2；（2）；3或
【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键．
解决问题：（1）当a、b都正数；（2）当a、b都是负数分别求解即可；
拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，代入计算即可．
【详解】解：（1）若，，有，，所以，
（2）若，，有，，所以，
故答案为：（1）2；（2）；
拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下：
①当a，b，c都是正数，即时，
则，
②当a，b，c一正两负时：设，
则，
的值为3或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑