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第二章　2.2.3直线的一般式方程
一．选择题
1．直线x＋y＋2 024＝0的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．已知直线l过点(2，－1)，且在x轴上的截距为3，则直线l的方程为(　　)
A．x－y－3＝0 B．x－2y＋6＝0
C．2x＋y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0
3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角为，则a－b＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．2
4．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
5．(多选)已知直线m方程为x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线m斜率为
B．直线m横截距为1
C．直线m纵截距为
D．点Q(7,4)不在直线m上
6．(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．5
7．设a∈R，则“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行”是“a＝±1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．直线(4a2－2)x－2y＋3＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
9．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
10．(多选)下列结论中正确的有(　　)
A．过点(－1,2)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为2x－y＋4＝0
B．过点(－1,2)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为x＋2y－3＝0
C．若直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：x＋(a－2)y＋a2－5＝0平行，则a的值为3
D．过点M(－3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y＋1＝0
二．填空题
11．直线l过点(2,3)，且与向量a＝(1,2)垂直，则直线l的一般式方程为________.
12．直线l经过点(2,1)，在x，y轴有不为0且相等的截距，则直线l的一般式方程为________.
13．已知直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为________.
三．解答题
14．已知直线l1经过点A(2，－3)．
(1)若l1平行于直线x－y－7＝0，求l1的一般式方程；
(2)若l1垂直于直线2x＋y＋3＝0，求l1在y轴上的截距．
15．已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝－2，x－y＋3＝0，点P(2，－1)在边BC上．
(1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；
(2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程．
16．已知直线l过点A(1，－4)，且倾斜角的余弦值是，直线l1与l平行，l1与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线l与l1的方程．
答案解析
一．选择题
1．【答案】　D
【解析】　设该直线的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则由题意可知其斜率为tan α＝－＝tan 150°，则α＝150°.故选D．
2．【答案】　A
【解析】　由题意，直线l过点(3,0)和点(2，－1)，∴其斜率为k＝＝1，直线方程为y＝x－3，即x－y－3＝0.故选A．
3．【答案】　D
【解析】　因为直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，所以0×a＋b×(－1)－1＝0，所以b＝－1，则直线方程可化为y＝ax－1，又因为直线倾斜角为，所以a＝tan ＝1，所以a－b＝2.故选D．
4． 【答案】　C
【解析】　将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误；B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．
5．【答案】　AC
【解析】　x－2y＋1＝0变形为y＝x＋，故直线m斜率为，A正确；x－2y＋1＝0中，令y＝0得x＝－1，故直线m横截距为－1，B错误；x－2y＋1＝0中令x＝0得y＝，故直线m纵截距为，C正确；当x＝7时，y＝＋＝4，故点Q(7,4)在直线m上，D错误．故选AC．
6．【答案】　CD
【解析】　直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.故选CD．
7．【答案】　A
【解析】　若直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行，则 a＝1，充分性成立；当a＝1时，则直线x＋y－1＝0与直线x＋y＋1＝0平行，当a＝－1时，两直线重合，不满足题意，必要性不成立；所以直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋1＝0平行是a＝±1的充分不必要条件．故选A．
8．【答案】　D
【解析】　设直线(4a2－2)x－2y＋3＝0的倾斜角为α，则0≤α<π，直线的斜率为tan α＝＝2a2－1≥－1，当－1≤tan α<0时，则≤α<π；当tan α≥0时，则0≤α<.综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是∪.故选D．
9．【答案】　C
【解析】　若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限．若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或2.综上知，a的取值范围为(－∞，0)∪.故选C．
10．【答案】　ABC
【解析】　过点(－1,2)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为2(x＋1)－(y－2)＝0，化简得2x－y＋4＝0，故A正确；过点(－1,2)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为(x＋1)＋2(y－2)＝0，化简得x＋2y－3＝0，故B正确；因为直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：x＋(a－2)y＋a2－5＝0平行，所以a(a－2)－3×1＝0，解得a＝3或a＝－1，注意到当a＝－1时，两直线重合，所以a＝3，故C正确；注意到点M(－3,2)在直线2x＋3y＝0上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误．故选ABC．
二．填空题
11．【答案】　x＋2y－8＝0
【解析】　因为直线l过点(2,3)，且与向量a＝(1,2)垂直，则直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋2y－8＝0.
12．【答案】　x＋y－3＝0
【解析】　直线l经过点(2,1)，在x，y轴有不为0且相等的截距，设直线l的方程为＋＝1，于是＋＝1，解得a＝3，即有＋＝1，所以直线l的一般式方程为x＋y－3＝0.
13．【答案】　4x－3y＋9＝0
【解析】　直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝，故tan 2θ＝＝，故直线l2的斜率为k＝，因为在y轴上的截距为3，故直线方程为y＝x＋3，即4x－3y＋9＝0.
三．解答题
14．【解析】　(1)由题意可设l1：x－y＋m＝0，
因为直线l1经过点A(2，－3)，
故2－(－3)＋m＝0 m＝－5，
则l1：x－y－5＝0.
(2)由题意可设l1：x－2y＋n＝0，
因为直线l1经过点A(2，－3)，
故2－2×(－3)＋n＝0 n＝－8，
则l1：x－2y－8＝0，
令x＝0 y＝－4，所以l1在y轴上的截距为－4.
15．【解析】　(1)由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝－2，x－y＋3＝0，
可知角A不是直角，
①若角B是直角，由点P在边BC上，
得边BC所在直线的方程为x＝2；
②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为x－y＋3＝0，
得边BC所在直线的斜率为－1，又点P在边BC上，
所以边BC所在直线的方程为y＋1＝－1(x－2)，即x＋y－1＝0.
综上，边BC所在直线的方程为x＝2或x＋y－1＝0.
(2)由题意可设B(m，－2)，由P为BC的中点，得C(4－m,0)，
将点C的坐标代入边AC所在直线的方程x－y＋3＝0，
得(4－m)－0＋3＝0，解得m＝7，
所以C(－3,0)，
边BC所在直线的斜率为k＝＝－，
所以边BC所在直线的方程为y＝－(x＋3)，
即x＋5y＋3＝0.
16．【解析】　设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
因为cos α＝，可得sin α＝，
所以tan α＝，即直线的斜率为k＝，
又因为直线l过点A(1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝(x－1)，
即x－2y－9＝0，
因为直线l1与l平行，可设直线l1的方程为y＝x＋m，
令y＝0，可得x＝－2m，
令x＝0，可得y＝m，
故三角形的面积S＝|－2m|·|m|＝1，
可得m2＝1，解得m＝±1，
所以直线l1的方程是y＝x＋1或y＝x－1，
即直线l1的方程是x－2y＋2＝0或x－2y－2＝0.

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