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第二章　2.3.1两条直线的交点坐标　2.3.2两点间的距离公式
一．选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，原点O到直线l1：x－2y＋4＝0与l2：3x＋y－9＝0的交点的距离为(　　)
A． B．2
C． D．
2．已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,1)三点，且|AB|＝|AC|，则a的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．－
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－6,4)的直线方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x－2y－5＝0 D．2x＋3y－5＝0
4．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1,1)，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
5．(多选)对于，下列说法正确的是(　　)
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，－1)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
6．(多选)若三条直线(a2－3a＋1)x－2y＋5＝0，y＝2x，x＋2y＝5交于一点，则a的值为(　　)
A．－2 B．3
C．1 D．2
7．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，3)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(2，3)
8．已知点M(－1,4)，N(7,0)，y轴上一点P满足|PM|＝|PN|，那么P点的坐标为(　　)
A．(0，－3) B．(0，－4)
C．(0，－6) D．(0，－7)
9．已知两点A(－1,2)，B(3,1)，直线l：ax－y－a－1＝0与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．∪(1，＋∞)
B．
C．
D．∪(1，＋∞)
10．(多选)若三条不同的直线l1：mx＋2y＋m＋4＝0，l2：x－y＋1＝0，l3：3x－y－5＝0能围成一个三角形，则m的取值不可能为(　　)
A．－2 B．－6
C．－3 D．1
二．填空题
11．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|＝________.
12．直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：y－2＝a(x－1)分别过定点A和B，则|AB|＝________.
13．平面直角坐标系xOy中，过直线l1：7x－3y＋1＝0与l2：x＋4y－3＝0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为________.
三．解答题
14．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
15．已知直线l1：x＋y－1＝0，直线l2：2x－y＋10＝0.
(1)求直线l1与l2的交点A的坐标；
(2)求过点A且平行于4x－3y＋5＝0的直线方程．
16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R)．
(1)求证：不论a为何值，直线l一定经过第一象限；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A(xA,0)，B(0，yB)，当△AOB面积为12时，求△AOB的周长．
答案解析
一．选择题
1．【答案】　C
【解析】　因为所以所以交点坐标为(2,3)，所以原点O到交点的距离为＝.故选C．
2．【答案】　D
【解析】　|AB|＝|AC|，则＝，解得a＝－.故选D．
3．【答案】　D
【解析】　联立解得即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1,1)，又直线的一个方向向量v＝(－6,4)，所以直线的斜率为－，故该直线方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选D．
4．【答案】　A
【解析】　∵点M(1,1)在直线l1和l2上，∴解得∴a＋b＝－1.故选A．
5．【答案】　BD
【解析】　由题意，可得＝＝＝，可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离．故选BD．
6．【答案】　CD
【解析】　联立直线方程y＝2x与x＋2y＝5，即解得故直线y＝2x与x＋2y＝5的交点为(1,2)，因为三条直线(a2－3a＋1)x－2y＋5＝0，y＝2x，x＋2y＝5交于一点，所以将(1,2)代入(a2－3a＋1)x－2y＋5＝0，解得a＝1或2.故选CD．
7．【答案】　D
【解析】　 所以交点为(m－3,3m－6)，由于(m－3,3m－6)在第二象限，所以 28．【答案】　B
【解析】　由于点P在y轴上，设P(0，b)，又M(－1,4)，N(7,0)，|PM|＝|PN|，所以＝，解得b＝－4，故P点的坐标为(0，－4)．故选B.
9．【答案】　D
【解析】　直线l可化为a(x－1)－(y＋1)＝0，由可得
所以直线l恒过点C(1，－1)．
kAC＝＝－，kBC＝＝1，
如图可知，直线l1的倾斜角θ介于直线BC的倾斜角与直线AC的倾斜角之间．
所以当θ<时，有kl1≥kBC＝1；
当<θ<π时，有kl1≤kAC＝－.
又直线l：ax－y－a－1＝0的斜率为a＝kl1，
所以a≥1或a≤－.故选D.
10．【答案】　ABC
【解析】　由直线l1：mx＋2y＋m＋4＝0，l2：x－y＋1＝0，l3：3x－y－5＝0，若l1∥l2或重合时，则满足＝，解得m＝－2；若l1∥l3或重合时，则满足＝，解得m＝－6；若l1经过直线l2与l3的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组解得即交点(3,4)，将(3,4)代入直线l1，可得3m＋2×4＋m＋4＝0，解得m＝－3.故选ABC.
二．填空题
11．【答案】　4
【解析】　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝＝4.
12．【答案】　
【解析】　直线l1：3ax－y－2＝0经过的定点坐标为(0，－2)，直线l2：y－2＝a(x－1)经过的定点坐标为(1,2)，从而计算|AB|＝＝.
13．【答案】　9x＋5y－5＝0
【解析】　由题设，令直线l的方程为7x－3y＋1＋λ(x＋4y－3)＝0，且直线过(0,1)，所以0－3＋1＋λ(0＋4－3)＝0 λ＝2，故直线l的方程为9x＋5y－5＝0.
三．解答题
14．【解析】　由题意知，a≠0，
直线ax＋2y－1＝0中，
令y＝0，有x＝，则A，
令x＝0，有y＝，则B，
所以AB的中点为，
因为线段AB的中点到原点的距离为，
所以＝
解得a＝±2.
15．解析】　(1)两条直线方程联立，
得 A(－3,4)．
(2)设平行于4x－3y＋5＝0的直线方程为4x－3y＋C＝0，
因为直线4x－3y＋C＝0过A(－3,4)，
所以4×(－3)－3×4＋C＝0 C＝24，
所以过点A且平行于4x－3y＋5＝0的直线方程为4x－3y＋24＝0.
16．【解析】　(1)证明：将(a＋1)x＋y－5－2a＝0整理成a(x－2)＋x＋y－5＝0，
令解得x＝2，y＝3，
所以定点为(2,3)，
因为(2,3)在第一象限，所以不论a为何值，直线l必过第一象限．
(2)由题意知，a＋1≠0，
(a＋1)x＋y－5－2a＝0，
当y＝0时，xA＝，
当x＝0时，yB＝5＋2a，
由得a>－1，
所以△AOB面积S＝·xA·yB＝··(5＋2a)＝12，
解得a＝，
此时A(4,0)，B(0,6)，
|AB|＝＝2，
所以△AOB的周长为4＋6＋2＝10＋2，
故当△AOB面积为12时，△AOB的周长为10＋2.

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