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第二章2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离　
一．选择题
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3 B．
C．1 D．
2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A． B．－1
C．＋1 D．2－
4．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0
C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0
7．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(3，－4)
C．(2，－1) D．(4，－3)
8．已知△ABC的三边所在的方程分别是lAB：4x－3y＋10＝0，lBC：y＝2，lAC：3x－4y＝5，则∠BAC的平分线所在的直线方程为(　　)
A．x＋y＋15＝0 B．7x－7y＋5＝0
C．6x－7y＋3＝0 D．7x－6y＋3＝0
9．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A． B．
C． D．6
二．填空题
10．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.
11．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________.
12．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________.
13．点P(3,3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值等于________.
三．解答题
14．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
(2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程．
15．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程．
16．已知△ABC的重心G(1,1)，B，C在直线x－y－2＝0上运动，且BC＝3.
(1)求S△ABC；
(2)B点是否存在一个位置，使得△ABC的面积被x轴平分，若存在求出B点坐标；若不存在，说明理由．
答案解析　
一．选择题
1．【答案】　B
【解析】　点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.
2．【答案】　C
【解析】　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.由两条平行线间的距离公式可得d＝＝.
3．【答案】　B
【解析】　由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.因为a>0，所以a＝－1.
4．【答案】　AB
【解析】　由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得a＝－或－.
5．【答案】　B
【解析】　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，两条平行直线之间的距离为＝.
6．【答案】　AB
【解析】　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.则＝2，即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7．【答案】　AC
【解析】　设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意得＝，解得a＝1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
8．【答案】　B
【解析】　设点P(x，y)为∠BAC的平分线上任意一点，则点P到直线AB，AC的距离相等．所以＝，所以4x－3y＋10＝3x－4y－5或4x－3y＋10＝－(3x－4y－5)，即点P所在直线方程为x＋y＋15＝0或7x－7y＋5＝0.又因为kAB＝，kAC＝，即∠BAC的平分线所在的直线方程的斜率在和之间，所以∠BAC的平分线所在的直线方程为7x－7y＋5＝0.
9．【答案】　D
【解析】　3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝＝，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝|c1－c2|，又由正方形特点可知d1＝d2，即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
二．填空题
10．【答案】　2
【解析】　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x－1＝0或4x－3y＋5＝0，所以所求直线的条数为2.
11．【答案】　x＋y＝0或x＋y－10＝0
【解析】　易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.设所求直线为l4，则l4∥l3，所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝0或－10，所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
12．【答案】　15°或75°
【解析】　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
13．【答案】　3＋2
【解析】　点P(3,3)到直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离d＝＝，当sin＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d有最大值3＋2.
三．解答题
14．【解析】　(1)若l1∥l2，则m≠0，
∴＝－，∴m＝6，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
∴l1，l2之间的距离d＝＝.
(2)由题意，得∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
S＝m(3－m)＝－2＋，
∴当m＝时，S的最大值为，
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
15．【解析】　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0，由已知得＝，
整理得7k2－6k－1＝0，
解得k＝－或k＝1，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
由题意得＝，整理得|a－4|＝2，
解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
16．【解析】　(1)G到直线x－y－2＝0的距离为＝，
由重心的性质可知，
G到直线x－y－2＝0的距离为A到直线x－y－2＝0的，
所以三角形BC边上的高为3，
故S△ABC＝×3×3＝9.
(2)假设存在B满足条件，
设B(a，a－2)(a－2<0)，C(3＋a,1＋a)，A(x，y)，
a＋3＋a＋x＝3，x＝－2a，a－2＋1＋a＋y＝3，y＝4－2a，
kAB＝＝－＝1－，
AB所在直线的方程为y－a＋2＝(x－a)，
令y＝0，解得x＝0，
直线AB与x轴的交点M(0,0)，
直线x－y－2＝0与x轴的交点N(2,0)，
MN＝2，
S△BMN＝MN·(2－a)＝×2×(2－a)＝2－a＝，
即a＝－，
所以B，
这时A在x轴上方，满足题意，
即存在B满足条件．

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