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第二章 2.4.1圆的标准方程
一．选择题
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
2．圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4
3．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知点A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2,2)，则△ABC外接圆的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5
5．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
二．填空题
6．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是________________.
7．已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________________.
8．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________.
9．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)，则圆C的半径长为________.
10．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为________________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为________________.
11．曲线y＝－(x≤0)的长度为________.
12．已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是________________.
三．解答题
13．写出下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
14．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆N上，求a的值；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
15．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1)，AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，点T(－1,0)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
16．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
答案解析
一．选择题
1．【答案】　C
【解析】　由圆的标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝11，得圆心为(2，－3)，故选C．
2．【答案】　A
【解析】　设圆心(a,0)，则＝2，即a＝1，故选A．
3．【答案】　D
【解析】　圆的圆心为(－a，－b)．∵直线经过一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限．
4．【答案】　B
【解析】　如图所示，易得外接圆的圆心为M(－3,0)，∴半径r2＝|MC|2＝5，∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝5.
5．【答案】　AD
【解析】　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
二．填空题
6．【答案】　(x＋1)2＋(y－2)2＝5
【解析】　将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
7．【答案】　－2或－6　(－∞，－6)∪(－2，＋∞)
【解析】　由题意，得2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6.若点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2.
8．【答案】　－4
【解析】　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.∵y∈[－1,1]，∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
9．【答案】　1或5
【解析】　根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将(1,2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在y＝－x上时，设圆心C的坐标为(a，－a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，将(1,2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5.
10．【答案】　(x＋2)2＋(y－2)2＝4　x2＋y2＝4
【解析】　由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2,2)，半径为2，所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.设(－2,2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)．则有解得故所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
11．【答案】　π
【解析】　由y＝－得x2＋y2＝4(－2≤x≤0，y≤0)，所以曲线y＝－(x≤0)的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧，所以曲线y＝－(x≤0)的长度是×4π＝π.
12．【答案】　(x－1)2＋2＝
【解析】　当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2，易知P(2,0)．当m≠0时，l1过定点O(0,0)，斜率kl1＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0，因此l2过定点A(2,1)，斜率kl2＝－，则kl1·kl2＝－1，∴直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA，连接OA，则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点C，半径r＝|OA|＝＝，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋2＝.易知(2,0)在此圆上．
三．解答题
13．【解析】　(1)设圆心为C(0，b)，
∴r＝＝5，
∴(4＋b)2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)设圆心为M(a,0)，∵|MC|＝|MD|，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝|MC|＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
14．【解析】　(1)∵点M(6,9)在圆N上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
又a>0，∴a＝.
(2)由已知，得圆心N(5,6)．
∵|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是(3，)．
15．【解析】　(1)因为AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－2.
又因为点T(－1,0)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－0＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋2＝0.
(2)由解得
所以点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1)，
所以M为矩形外接圆的圆心，|AM|为外接圆的半径．
又|AM|＝＝，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13.
16．【解析】　(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝.
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.
即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.

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