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2025年高三《平面解析几何》专项测试卷
一、单选题
1.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为给出下列四个命题：
在抛物线上满足条件的点仅有一个；
若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
无论过点的直线在什么位置，总有；
若点在抛物线准线上的射影为，则三点、、在同一条直线上．
其中所有正确命题为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为( )
A. B. C. D.
3.设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，若，则抛物线的焦点坐标为( )
A. ， B. C. D.
4.已知直线：，圆：，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则
A. B. C. D.
5.已知双曲线上有不共线的三点、、，且线段、、的中点分别为、、，若直线、、的斜率之和为，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“点在圆外”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为( )
A. B. C. D.
8.是椭圆上一点，、是的两个焦点，点在的平分线上，为原点，，且则的离心率为( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，动直线过点且交圆于，两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题
11.已知直线：，：，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与坐标轴围成的三角形面积为，则
D. 当时，不经过第一象限
12.已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为，则( )
A. 动点的轨迹方程为 B.
C. 的最小值为 D. 的最大角为
13.在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过点作与轴垂直的直线，与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的取值范围是
B. 若为正三角形，则
C. 若抛物线上存在两个不同的点，异于，，使得，则
D. 当取得最大值时，
14.过定点的动直线和过定点的动直线，点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有( )
A. 对任意，圆上恒有个点到直线的距离为
B. 直线以与圆相交且最短弦长为
C. 动点的轨迹与圆相交
D. 为定值
三、填空题
15.已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
16.老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形，，单位：，一边是以为直径的半圆，另外一边是以为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点到的距离是，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是
17.已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：
曲线关于直线成轴对称图形；
经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
直线与曲线所围成的图形的面积为；
设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是 ．
18.在平面直角坐标系中，已知圆：与轴交于，两点，若动直线与圆相交于，两点，且的面积为，若为的中点，则的面积最大值为_______．
四、解答题
19.已知定点和直线：
求证：直线过某个定点，并求出该点的坐标；
求证：不论取何值，点到直线的距离不大于．
20.已知圆经过函数的图象与坐标轴的个交点．
求圆的标准方程；
若点为圆：上一动点，点为圆上一动点，点在直线上运动，求的最小值，并求此时点的横坐标．
21.已知，是双曲线上的两点，点是线段的中点．
求直线的方程
若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆．
22.已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中，在第一象限，，在第四象限．
若直线过点，且，求直线的方程
证明：
设，的面积分别为，为坐标原点，
若，求．
23.设椭圆已知点，在椭圆上．
求椭圆的标准方程
若过点的直线与椭圆交于，两点在右侧，且与线段交于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)当为中点时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对于，设，由抛物线方程可得焦点，
则，解得，
在抛物线上满足条件的点有两个，因此不正确；
对于，不妨设为第一象限中的点，关于准线的对称点为，
故，当且仅当，，三点共线时取等号．因此正确．
对于：可证明，故，的倾斜角互补，．因此正确．
对于：可得，可得三点、、在同一条直线上．因此正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】由已知可得，，又，
可设一条渐近线方程，
由点到直线的距离公式可得：，
，
两条渐近线的斜率为，，则，
故选：．
3.【答案】
【解析】根据题意，不妨设，，
因为，可得，所以，故，
所以抛物线：，所以抛物线的焦点坐标为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
圆心，则点到直线的距离 ，
又因为圆上恰有三个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，即，
故选：．
5.【答案】
【解析】设点、、，
则，．
由点、在双曲线上，可得，，
两式相减可得，
则，即，
同理可得，，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】将化为标准方程，得当点
在圆外时，有解得．
所以“”是“点”在圆外”的必要不充分条件．
故选：．
7.【答案】
【解析】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，
可得关于的方程，圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，
同理，当点在第二、三、四象限时也可得．
当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限或第三、四象限，
两圆在点处相切，且，满足．
同理，当点在轴上时，，同样满足．
显然点不可以是坐标原点，
综上是除原点外任意一点时，满足．
8.【答案】
【解析】因为，
所以，
因为点在的平分线上，
所以点到两边的距离相等，
不妨设，
则，
联立，
可得，，
又，
则，
化简可得，
则，
则，
即，
故C的离心率为．
9.【答案】
【解析】圆方程：，圆心，
因为点在圆内，所以，
即，解得：，
如图所示：
设，则，
此时，，
此时是等腰直角三角形，
则圆心到直线的距离，
则有，即，
解得：或，
综上：．
故选：．
10.【答案】
【解析】因为抛物线过焦点为，
所以，
设直线的方程为，
，，
由，
可得，
则，
则，
故，
解得，
故，
即，
解得，
故，
如图，建立空间直角坐标系，过作平面于，过作轴于，连接，
由于轴，且轴，，
故轴平面，
因为平面，
故AH轴，则，
由于在直角坐标系中，
故，
因此在直角三角形中，
，
因此在空间直角坐标系中，
，
故，
故选：．
11.【答案】
【解析】若，当的斜率存在时，，则；
当的斜率不存在时，则，，故A错误；
若，当的斜率存在时，，则；
当的斜率不存在时，则，，不可能平行，不符合题意，故B正确；
直线：与轴，轴的交点分别为，，
则与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
若直线不经过第一象限，则当时，，解得；
当时，直线：，也不过第一象限；
综上可知：时，不经过第一象限，故D正确．
故选BCD．
12.【答案】
【解析】设，由，，，
可得，
两边平方整理可得，
即，故A正确；
由题意点的轨迹为圆，圆心，半径为，
又为直线上的一点，
所以，故B错误，
由题意，
所以，易知点在圆内，
所以要求的最小值，即求点到直线的距离，
所以的最小值为，故C正确；
易知当直线与点的轨迹所在圆相切时，最大，
此时，解得，
所以的最大角为，故D正确；
故选ACD．
13.【答案】
【解析】对于，若，则，所以，解得，故选项A错误；
对于，若为正三角形，不妨设在轴的上方，则，
所以，即，因为，解得，故选项B正确；
对于，不妨设在轴的上方，则设，且，
因为，，
由，可得，则由，
因为，所以，则，所以，故选项C正确；
对于，当，
令，则，
所以
，
当且仅当，即，即，故时取等号，
所以当取得最大值时，，故选项D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】因为直线，即直线，
所以由得，因此直线过定点，
因为直线，即直线：，
所以由得，因此直线过定点，
对于，因为点在圆内，而点到点的距离为，
则圆心到直线距离，
又半径为，所以当时，圆上恒有个点到直线的距离为，
所以A正确；
对于，因为点在圆内，而点到点的距离为，
所以过点且被点平分的弦长为 ，
而圆心到直线：距离，得弦长，因此B正确；
对于，直线：和过定点的动直线，
，因此直线与直线垂直，
而直线：过定点，直线过定点，
所以直线与直线的交点的轨迹是以，为直径的圆去掉，
则圆的方程为，
则，
因此动点的轨迹内含于圆，所以不正确；
对于由知： ，因此D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】由直线的倾斜角为，得直线的斜率为，
所以．
故答案为．
16.【答案】
【解析】以中点为原点，所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，
中点即为，椭圆方程为，
由题意，到半圆上的距离均为，故问题可看做到半个椭圆的距离的最大值加即可，
设椭圆上一点为，，
则，
当时，取到最大值，
即，
所以庭院里相距最远的两点间距离是．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】
因为当时，无意义，无此曲线，故舍去
所以曲线表示为：
作出曲线图象如下：

对于，由图象可得曲线关于直线成轴对称图形，故正确；
对于，由于左上和右下部分双曲线的，所以渐近线方程为，
所以当直线的斜率为时，过原点的直线与曲线无交点，故错误；
对于，设直线与交点分别为，
因为圆方程中半径为，且点，
所以直线与曲线围成的图形的面积为，故正确；
对于，由于直线恒过，
当时，直线与平行，有一个交点；
当时，与渐近线平行，此时有两个交点，
当，结合斜率的范围可得有三个交点，如图：

所以，正确．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】当时，，
解得或，即，，
圆的标准方程：圆心，半径，
的面积为，即，
则，即，
，，
要使的面积最大，则，
此时三角形的高为，，
则的面积．
故答案为．
19.证明：方程，
可整理为．
令得，
故，能使原方程左右两边相等恒成立，
所以直线过定点，且该点的坐标为．
由知直线过定点，
设该点为，设与直线的距离为，
而线段为点与直线上一点的连接线段，
可知，而，
所以，即不论取何值，点到直线的距离不大于．

20.【解析】因为函数的图象与坐标轴的个交点分别为，，，
所以可设，
由，得，
解得，则，
故圆的标准方程为．
设圆关于直线对称的圆为圆，则圆的方程为．
设，则当，，三点共线时，取得最小值，
且的最小值为，
此时，，即，
解得，故点的横坐标为．
21.【解析】依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，，
所以，．
两式相减得，，
又点是线段的中点，
所以，，
所以，
故直线的方程为，即，经检验，符合题意，
所以直线的方程为．
证明：由得，
解得或，
不妨令在左侧，
所以，
线段的垂直平分线方程为：，
设，，
由得．
所以，，
故线段的中点，
所以，
所以，
所以，，，在以为圆心，为半径的圆上，
所以，，，四点共圆．
22.【解析】设直线方程为，，，
，
，
，，
直线的方程为．
解析一：设直线方程为，，
，
，，
．
，，
由，
由，，，
，，且由，
．
解析二：，
，且，
，，，
由，，
设，，将代入，，
．
23.【解析】由于点在椭圆上，可知，
再将点的坐标代入椭圆方程得，解得，
因此椭圆的标准方程为；
易知直线的方程为，
由题意可知直线的斜率存在，
设直线方程为，点，，，
则，，，，
由此可得，
，
消去可整理得．
得，
由韦达定理可知
而所求证的结论等价于，
即
则，
将韦达定理代入可得，
即，
将，代入上式得
，
即
则成立，
原命题得证；
(ⅱ)当为中点时，由可得．，
即，所以，
则，
故，
得，
又为中点，
所以，
又，得，
解得，或，
经检验，满足，
因此直线的方程为或．
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