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兰州市第五十三中2024-2025学年第一学期期中考试试卷
初二数学
一、单选题（共36分）
1.下列各式中，正确的是 （ ）
A. B. C. D.
2.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是 （ ）
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,7,9 D.8,15,17
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A. B. C. D.
4.若点P(a+2,a)在y轴上，则点P的坐标为 （ ）
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(2,0) D.(0,2)
5.下列说法不正确的是 （ ）
A.有理数和无理数统称为实数 B.实数是由正实数和负实数组成
C.无限循环小数是有理数 D.实数和数轴上的点一一对应
6.如图是某校的平面示意图的一部分，若用“（0,0）”表示校门的位置，“（0,3）”表示图书馆的位置，则教学楼的位置可以表示为 （ ）
A.(0,5) B.(5,3) C.(3,5) D.(-5,3)
7.的算术平方根是 （ ）
A.2 B.±2 C.4 D.±4
8.已知，那么的值为 （ ）
A.-1 B.1 C. D.
9.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 （ ）
A.2a-b B.b C.-b D.-2a+b
10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 （ ）
A.x＞-2且x≠0 B.x≠0 C.x≥-2 D.x≥-2且x≠0
11.在平面直角坐标系中，点（-1，）一定在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.先规定一种新运算“*”：a*b=ab，如3*2==9，则*3 （ ）
A. B.8 C. D.
二、填空题（共12分）
13.点P（3，-4）到x轴的距离是 ,到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .
14.= .
15.的整数部分为a，则的平方根= .
16.在直线l上依次摆放着7个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是a=1，b=2，c=3，正放置的四个正方形的面积依次是,则 .
三、解答题（共72分）
17.（12分）计算：
（1）. （2）.
（3）. （4）.
18.（4分）先化简，再求值：，其中.
19.（4分）如图是美国总统Garfield于1987年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请你写出你的证明过程.（提示：如图三个三角形均为直角三角形）
20.已知-4是2a+4的一个平方根，2是b+4的立方根，求的算术平方根.
21.（4分）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？
解：与都是算术平方根，故两者的被开方数x-1≥0，且1-x≥0，而x-1和1-x是互为相反数.两个非负数互为相反数，只有一种情况成立，那就是他们都等于0，即x-1=0,1-x=0，故x=1.
解答问题：已知，求xy的值.
22.（4分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
23.（6分）如图，在直角坐标系中有三点A（-2,3）、B（2,1）、C（3,3）.
（1）在平面直角坐标系中画出三角形ABC；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）P是x轴上的动点，求PA+PB的最小值.
24.（6分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD=4米，AB=13米，BC=12米.
（1）求出空地ABCD的面积.
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元
25.（6分）已知，平面直角坐标系中有一点A（m-1,2m+3）.
（1）点A在二、四象限的角平分线上，求点A的坐标；
（2）点A到y轴的距离为2时，求点A的坐标.
26.（6分）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2：
利用以上结论解答下列问题：（不必证明）
（1） ； ； .
（2）利用上面结论，求下列式子的值.
27.（8分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平面内两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或.
（1）已知A(2,3)、B(-4,5),试求A、B两点间的距离；、
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的坐标轴为-2，试求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1,1）、E（-3，-1）、F（2，-1），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；
（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在坐标轴上找到一点，使得△PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
28.（8分）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”.例如：如图，点，，的“最佳间距”是1.
（1）理解：点的“最佳间距”是 ;
（2）探究：已知点O（0,0），A（-4，0），B（-4，y）（y≠0）.
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为 ;
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由;
（3）迁移：当点O（0,0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是 .

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