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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念
一、单选题
1.（2025重庆杨家坪中学月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025云南玉溪第一中学月考）已知，，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.（2025浙江杭州期末）若，且，则是第（ ）象限角.
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
4.（2024云南大理白族自治州民族中学开学考）已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025河南洛阳期中）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2025云南民族大学附属中学期末）“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
二、多选题
7.（2025黑龙江哈尔滨期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A. 为钝角
B.
C.
D. 点在第二象限
8.（2025东北师范大学附属中学期末）若已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2025江苏盐城期末）若是第二象限角，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.代数式的值为________.
11.（2025江苏常州段考）已知角的终边过点（），且，则________.
12.化简：________.
四、解答题
13.已知角的终边过点。
（1）求的值；
（2）试判断的值的符号。
14.已知角的终边在直线上。
（1）若角的终边上一点的横坐标为，求和的值；
（2）求的值。
15.如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒转弧度，滚珠按顺时针方向每秒转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动。
（1）求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
（2）求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据三角函数定义，角终边过点，先求半径。
正弦函数定义为，代入得，故选D。
2.答案：C
解析：根据三角函数符号规律：
时，终边在第三、四象限或轴负半轴；
时，终边在第一、三象限（正切为“正”则正弦与余弦同号）；
两者交集为第三象限，故选C。
3.答案：C
解析：与第2题逻辑一致：
：在第三、四象限或轴负半轴；
：在第一、三象限；
交集为第三象限，故选C。
4.答案：D
解析：直线过第一、三象限，需分情况讨论：
取第一象限点，，；
取第三象限点，，；
故，故选D。
5.答案：A
解析：终边在上，故（斜率即正切值）。
所求式子分子分母同除以（，否则终边在轴，不满足）：
，代入得，故选A。
6.答案：B
解析：从充分性和必要性判断：
充分性：若，则或（），不唯一，故不充分；
必要性：若，则，故必要；
综上为必要不充分条件，故选B。
二、多选题
7.答案：BC
解析：角终边过，先求。
A：，对应（锐角），非钝角，A错误；
B：，B正确；
C：，C正确；
D：，，故点在第一象限，D错误；
故选BC。
8.答案：AB
解析：单位圆上点满足，已知，代入得：
。
由，故，故选AB。
9.答案：ABD
解析：是第二象限角，故（），则，分为奇数、偶数讨论：
当（偶数）：（第一象限），此时，，；
当（奇数）：（第三象限），此时，，；
分析选项：
A：可能正也可能负，不一定成立；
B：可能正也可能负，不一定成立；
C：始终为正（第一、三象限正切均正），一定成立；
D：（第二象限余弦负），可能正或负，故可能负或正，不一定成立；
故选ABD。
三、填空题
10.答案：
解析：利用诱导公式化简角度（终边相同角三角函数值相等）：
；
；
乘积为。
11.答案：
解析：角终边过（），则。
由，代入得：
，因（），两边除以：
（）。
故。
12.答案：
解析：利用诱导公式化简各三角函数：
（第三象限正弦负）；
；
（余弦为偶函数，）；
；
相加得：。
四、解答题
13.解：
（1）求半径：（，需分正负）。
分情况讨论：
当时，：
，，；
求和：。
当时，（）：
，，；
求和：。
综上，当时值为，当时值为。
（2）化简表达式：
。
分情况讨论：
当时：，，；
和为（负号）。
当时：，，；
和为（正号）。
综上，当时表达式为负，当时表达式为正。
14.解：
（1）求坐标：横坐标为2，代入直线方程得，故。
求半径：。
求三角函数值：
，。
（2）直线过第二、四象限，分情况讨论：
当在第二象限时，取点，；
，；
代入式子：。
当在第四象限时，取点，；
，；
代入式子：。
综上，无论在第二还是第四象限，式子的值均为0。
15.解：
（1）分析运动关系：圆形轨道周长对应角度，逆时针速度，顺时针速度，两者相对速度为（反向运动，速度相加）。
第一次相遇时，两者转过角度和为，设时间为：
秒。
求相遇点坐标：以为起点（对应角度），逆时针转过角度，故相遇点对应角度为。
单位圆上点坐标为，代入：
，，故相遇点坐标为。
（2）分析第一次相遇后运动：碰撞后顺时针运动（速度大小），逆时针运动（速度大小），此时两者同向运动，相对速度为（速度大于）。
第二次相遇时，比多转过（同向运动，角度差为），设第一次到第二次相遇时间为：
秒。
总时间总秒。
计算各自路程（路程=速度大小×总时间，弧度对应弧长，单位圆半径为1，弧长=角度）：
的路程：；
的路程：。

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