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第十五章 轴对称 单元测试卷
时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是( )
2.已知等腰三角形的两边长分别为3 和6，则它的周长等于( )
A.12 B.12或15 C.15 D.15 或 18
3.点 P(2,-5)关于x轴对称的点是( )
A.(-2,-5) B.(2,-5) C.(-2,5) D.(2,5)
4.已知等腰三角形的一个内角为 100°，则这个等腰三角形的底角为( )
A.40° B.50° C.65° D.80°
5.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B=40°,∠CAD=60°,则∠BCD 的度数是( )
A.160° B.120° C.80° D.100°
6.如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B 的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
7.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AB 的垂直平分线交AC 于点D.若AC=9,则AD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图, ,则BE 的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.4
9.如图，已知 点P 在边AB 上,BP=a,点E、F在边BC上,PE=PF,若FE=b,则BE的长用a、b可表示为( )
A. a-b
10.如图,在△ABC中,BC=10,AB-AC=5,AD 是∠BAC的平分线,BD⊥AD于D,则S△BDC的最大值为( )
A.10 B.12.5 C.17.5 D.25
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.已知点 P 关于x 轴的对称点 P 的坐标是(2,1),则点 P的坐标是 .
12.等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC于点 D,交AB于点 E,BD=10 cm,则AC= .
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D 是BC 的中点,DE⊥AC,则
15.已知在△OPQ中,OP=OQ,OP 的垂直平分线交OP 于点D,交直线OQ 于点E,∠OEP=50°,则∠POQ 的大小为 .
16.如图,在四边形ABCD 中,AC,BD相交于点 E,AC=BC,∠ACB= 用含a，b的代数式表示△BCD 的面积是
三、解答题(共8小题，共72分)
17.(8分)如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E在边 BC 上，且 BD=CE。求证： AD=AE。
18.(8分)如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE//DC，交 BC的延长线于点 E，试说明△ACE 是何种特殊的三角形。
19.(8分)如图，在△ABC 中，AB=AC，D是 BC 的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且 AE=AF，求证： DE=DF。
20.(8分)如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D在 AB 上，点 E在 AC 的延长线上，且 BD=CE，DE交 BC 于点 F，求证：DF=EF。
21.(8分)如图是由小正方形组成的3×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,画△ABC的中线CD;
(2)在(1)的基础上,在边 BC 上画点 E,连接AE,使∠ABE=∠BAE;
(3)在图2中,画△ABC的高CF;
(4)在(3)的基础上,在射线CF上,画点G,连接AG,使AG=AC.
22.(10分)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE,DF分别是△ABD 和△ACD 的高,连接EF交AD 于O.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠EDF=120°,求证:AO=3DO.
23.(10分)【问题提出】如图1，在锐角等腰 中，AB=AC, ，K是动点，满足. 将线段AK 绕点A 逆时针旋转α至AD，连接 DK 并延长，交 BC 于点M，探究点M 的位置.
【特例探究】(1)如图2,当点 K 在 BC 上时,连接 CD,求证：
(2)如图3,当点K 在AC 上时,求证:M是BC 的中点.
【问题解决】再探究一般化情形，如图1，求证：M是BC的中点.
24.(12分)已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足
(1)求出点A,B的坐标;
(2)如图1,点N(c,0)(c<-1)关于y轴的对称点为点M,线段AN的垂直平分线交线段AB 的延长线于点 P，当点N在运动时，求 的大小；
(3)如图2，点B 关于y轴的对称点为点C，点D 在线段CO上,点E在边AB 上,满足 试探究CD，EB和DE 之间的数量关系，并给出你的证明.
第十五章 轴对称
1. C 2. C 3. D 4. A 5. A 6. C 7. B 8. A 9. B10. B 11.(2,-1) 12.1或3 13.5cm 14.415.65°或115°
17.由AB=AC,可得∠B=∠C,∵AB=AC,BD=CE,∴△ABD≌△ACE.∴AD=AE.
18.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∵AE∥DC,∴∠ACD=∠CAE,∠BCD=∠E.∴∠CAE=∠E.∴CA=CE.∴△ACE 是等腰三角形.
19.∵AB=AC,AE=AF,∴∠B=∠C,BE=CF.∵D是BC 的中点,∴BD=CD.∴△BDE≌△CDF.∴DE=DF.
20.过点 D 作 DM∥AC 交 BC 于 M.∵AB=AC,∴∠DMB=∠ACB=∠B,∠DMF=∠ECF,∴DM=DB=CE,可证△DFM≌△EFC,∴DF=EF.
21.(1)(2)(3)(4)如图所示
22.(1)∵AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,∠DAE=∠DAF,∴Rt△DAE≌Rt△DAF,∴AE=AF.又DE=DF,∴AD垂直平分EF.(2)∵∠EDF=120°,∠AED=∠AFD=90°,∴∠EAF=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAF=30°,∴AD=2DF.∵AD垂直平分EF,∴∠AOF=90°,∴∠AFO=60°,∠DFO=30°,∴DF=2OD,∴AD=2DF=4OD,∴AO=3DO.
23.【特例探究】(1)∵线段 AK 绕点 A 逆时针旋转α至AD,∴AD=AK,∠DAC=α-∠KAC=∠KAB.在△DAC和△KAB中, ≌△KAB,∴CD=BK.又∵AB=AC,AK⊥BC, (2)在△ABC中,AB= AC, ∠BAC = α, ∴ ∠ABC = ∠ACB = ∵线段 AK 绕点 A 逆时针旋转α至A ∴∠KCM=∠MKC,∠KBM=∠BKM,∴CM=KM,BM=KM,∴CM=BM,即 M是 BC 的中点.【问题解决】连接CD,过点C作CE⊥DM于E,过点B作BF⊥DM,交 DM的延长线于点 F.∵线段AK绕点A 逆时针旋转α至AD,∴同(1)可证得△ADC≌△AKB,∴∠ADC=∠AKB=90°,CD= BK.∵CE⊥DM,BF⊥KF,∴∠CED=∠BFK=90°.∵AD=AK,∴∠ADK=∠AKD,∴∠CDE=90°-∠ADK= 90°-∠AKD=∠BKF. 在△CDE 和△BKF中
∴ CE = BF. 在 △CEM 和 △BFM 中,
BM,即M是BC 的中点.
∴.点A(0, ),点 B(1,0).
(2)如图1,作点 P 关于y轴的对称点E,连接EP,EN,AE,∵点 N 关于y 轴的对称点为点M,点 P关于y轴的对称点为点E,∴AN=AM,AE=AP,∠NAO=∠MAO,∠EAO=∠PAO,∴∠NAE=∠PAM,∴△ANE≌△AMP(SAS),∴∠AMP=∠ANE.∵∠ABO=60°,∴∠BAO=30°=∠EAO,∴∠EAP=60°.又∵AE=AP,∴△AEP 是等边三角形,∴AP=EP,∠APE=60°,∵点 P 在AN 的垂直平分线上,∴AP = NP = PE,∴∠ANP = 150°,∴∠AMP=∠ANE=150°.(3)DE=EB+CD,理由如下:如图2,在AC上截取CH=CD,连接DH,在AB的延长线上截取BG=CD,连接DG,∵点B关于y 轴的对称点为点C,∴AC=AB.又∵∠ABO=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=AB=BC,∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°.又∵CH=CD,∴△CDH 是等边三角形,∴CD=CH=DH,∠CHD=60°=∠ABC,∴∠AHD=120°=∠DBG,AH=DB,BG=DH=CD,∴△AHD≌△DBG(SAS),∴∠CAD=∠BDG.∵∠CAD+∠DAB=∠BDG+∠G=60°,∴∠G=∠DAB.∵∠DEA=∠G+∠EDG=2∠DAE,∴∠G=∠EDG,∴ED=EG,∴DE=EB+BG=EB+CD.

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