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15.3等腰三角形（一阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
3．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
4．（2024八上·杭州月考）如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴．
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠CAD，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ACB，最后利用角平分线定义即可得出的度数 ．
5．（2024八上·永吉期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解∶如图所示：
在等边中，，
，
，
．
太阳光线平行，
∴，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠ACD=120°，再利用三角形的内角和等于180°求出∠BDC=36°，然后求出，最后根据平行线的性质计算求解即可。
6．（2025八上·温州期中）已知在 Rt△ABC 中，斜边上的中线 CD=5cm，则斜边 AB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC 中，斜边AB上的中线 CD=5cm，
∴AB=5×2=10cm，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半进行求解即可.
7．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
8．（2023八上·西平期中）如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
∴，
，
∴，
，
，
∴，
∵，
，，
，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而利用三角形内角和定理得，然后根据垂直的定义得，进而求出，于是得，接下来根据等腰三角形的判定以及含30°的直角三角形的性质得，的值，最后即可求的值.
二、填空题
9．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
10．（2024八上·桑植期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是　 　度．
【答案】120
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形顶角的大小是，
故答案为：120．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
11．（2023八上·海淀期中）如图，中，， 的垂直平分线分别交， 于点 D，E，连接， 则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】由线段的垂直平分线（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）则可求得答案．
12．（2024八上·常州月考）如图，在中，，是的中点，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．（2024八上·番禺期末）如图，将一把含有角的三角尺的直角顶点放在一张宽的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成，则三角尺的直角边的长为　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，C点在纸带边上。过C点做CD⊥AD于D点。
在Rt△ACD中，2CD=AC。
∵CD=3cm，
∴AC=2×3=6cm。
故答案为：6.
【分析】条件中“ 一张宽的纸带 ”，此时可以构造出一个直角三角形，其中一个角是30°，这样就可以利用“30度的锐角对应的直角边是斜边的一半”这个定理来求出答案。
三、解答题
15．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
16． 已知：如图，△ABC是等腰三角形，AC⊥BC，CD⊥AB。
（1） 求∠A，∠B的度数。
（2） 求证：AD=CD=BD。
【答案】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠B，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠B =45°；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，
所以CD是AB边上的中线，
∵AC⊥AB，
所以CD为斜边上的中线，
所以CD=AD=BD.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据△ABC是等腰三角形可知∠A=∠B，又因为AC⊥BC可知∠ACB=90°，然后利用直角三角形的性质可知∠A，∠B的度数；
（2）根据等腰三角形的三线合一可知CD为斜边AB上的中线，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可证明.
1 / 115.3等腰三角形（一阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
3．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·杭州月考）如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·永吉期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·温州期中）已知在 Rt△ABC 中，斜边上的中线 CD=5cm，则斜边 AB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·西平期中）如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
9．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　 　．
10．（2024八上·桑植期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是　 　度．
11．（2023八上·海淀期中）如图，中，， 的垂直平分线分别交， 于点 D，E，连接， 则的大小为　 　．
12．（2024八上·常州月考）如图，在中，，是的中点，若，则的长为　 　．
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
14．（2024八上·番禺期末）如图，将一把含有角的三角尺的直角顶点放在一张宽的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成，则三角尺的直角边的长为　 　．
三、解答题
15．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
16． 已知：如图，△ABC是等腰三角形，AC⊥BC，CD⊥AB。
（1） 求∠A，∠B的度数。
（2） 求证：AD=CD=BD。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴．
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠CAD，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ACB，最后利用角平分线定义即可得出的度数 ．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解∶如图所示：
在等边中，，
，
，
．
太阳光线平行，
∴，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠ACD=120°，再利用三角形的内角和等于180°求出∠BDC=36°，然后求出，最后根据平行线的性质计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC 中，斜边AB上的中线 CD=5cm，
∴AB=5×2=10cm，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半进行求解即可.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
∴，
，
∴，
，
，
∴，
∵，
，，
，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而利用三角形内角和定理得，然后根据垂直的定义得，进而求出，于是得，接下来根据等腰三角形的判定以及含30°的直角三角形的性质得，的值，最后即可求的值.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
10．【答案】120
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形顶角的大小是，
故答案为：120．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】由线段的垂直平分线（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）则可求得答案．
12．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，C点在纸带边上。过C点做CD⊥AD于D点。
在Rt△ACD中，2CD=AC。
∵CD=3cm，
∴AC=2×3=6cm。
故答案为：6.
【分析】条件中“ 一张宽的纸带 ”，此时可以构造出一个直角三角形，其中一个角是30°，这样就可以利用“30度的锐角对应的直角边是斜边的一半”这个定理来求出答案。
15．【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
16．【答案】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠B，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠B =45°；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，
所以CD是AB边上的中线，
∵AC⊥AB，
所以CD为斜边上的中线，
所以CD=AD=BD.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据△ABC是等腰三角形可知∠A=∠B，又因为AC⊥BC可知∠ACB=90°，然后利用直角三角形的性质可知∠A，∠B的度数；
（2）根据等腰三角形的三线合一可知CD为斜边AB上的中线，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可证明.
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