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人教版数学九年级上册
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　y=ax2+k的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系
1.将抛物线y=2x2向下平移1个单位长度,得到的抛物线是(　 　)
A.y=2x2-1 B.y=2x2+1 C.y=2(x-1)2 D.y=2(x+1)2
2.(1)抛物线y=2x2-5可以看作是由抛物线y=2x2+3向　 　平移　 　个单位长度得到的;
(2)将抛物线y=ax2+c向上平移3个单位长度后,得到抛物线y=-x2,则a=　 ,c=　 　.
知识点2　 二次函数y=ax2+k的图象和性质
3.抛物线y=-2x2-3的对称轴是(　 　)
A.x轴　 B.y轴　　 C.直线x=-2　　 D.直线x=-3
4.在同一坐标系中,画函数y=x2,y=-x2,y=x2-1的图象,它们的共同点是(　 　)
A.开口向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.开口大小相同
D.都是关于y轴对称的抛物线
5.已知二次函数y=x2-3,当y随x的增大而减小时,x的取值范围是　 　.
6.二次函数y=x2+c的图象经过点(2,0),则当x=-2时,y=　 　.
7.(易错题)已知二次函数y=(m-1)x2+m2+1有最大值5,则m=　 　.
8.(1)在同一平面直角坐标系中,画出下列三条抛物线的草图:
y=x2,y=x2+3,y=x2-3.
观察三条抛物线的相互关系,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点;
(2)请你说出抛物线y=x2+c的开口方向、对称轴及顶点.
能力提升
9.抛物线y=x2+3上有A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1A.0≤x1C.x210.(2024陕西期末)若二次函数y=kx2的图象开口向下,则二次函数y=kx2-k的大致图象是(　 　)
A B C D
11.对于二次函数y=-2x2+4,当-212.已知二次函数y=2x2+2 023,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取2x1+2x2时,函数值为　 　.
13.如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中点A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和最小时,求此时点M的坐标.
14.如图,已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
第2课时　y=a(x-h)2的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
1.把抛物线y=x2向左平移2个单位长度得到的抛物线是(　 　)
A.y=(x+2)2 B.y=(x-2)2 C.y=x2+2 D.y=x2-2
2.将抛物线y=x2通过一次平移可得到抛物线y=(x-3)2.对这一平移过程描述正确的是(　 　)
A.沿x轴向右平移3个单位长度 B.沿x轴向左平移3个单位长度
C.沿y轴向上平移3个单位长度 D.沿y轴向下平移3个单位长度
3.二次函数y=(x-1)2的图象向左平移3个单位长度后对应函数的解析式为(　 　)
A.y=(x-4)2 B.y=(x+2)2 C.y=(x-1)2+3 D.y=(x-1)2-3
4.抛物线y=a(x-h)2向右平移1个单位长度后,得到抛物线y=5(x-2)2,则a=　 　,h=　 　.
知识点2　 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
5.抛物线y=-x2+2和y=-(x+2)2的对称轴分别是(　 　)
A.y轴,直线x=2 B.直线x=2,直线x=-2
C.直线x=-2,直线x=2 D.y轴,直线x=-2
6.关于抛物线y=3(x+1)2,下列说法中不正确的是(　 　)
A.开口向上
B.最低点是点(1,0)
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.可以由抛物线y=3x2向左平移1个单位长度得到
7.抛物线y=-(x-1)2一定经过(　 　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
8.如果二次函数y=a(x-1)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的,那么a的取值范围是　 　.
9.已知抛物线y=a(x-2)2经过点(1,-1).
(1)确定a的值;
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标.
能力提升
10.若抛物线y=2(x-1)2经过(m,n)和(m+3,n)两点,则n的值为(　 　)
A. B.- C.1 D.-
11.二次函数y=a(x+m)2与一次函数y=ax+m的大致图象可能是(　 　)
A B C D
12.已知二次函数y=-2(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为(　 　)
A.-12 B.12 C.32 D.-32
13.如图,将抛物线y=x2向右平移a个单位长度,顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形,则a的值为　 　.
14.已知a,b,c是实数,点A(a+1,b),B(a-2,c)在二次函数y=3(x-a)2的图象上,则b,c的大小关系是b　 　c.(用“>”或“<”填空)
15.如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线的顶点为C,且△ABC为等边三角形,求△ABC的面积.
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2(a>0)与y=a(x-2)2交于点B,抛物线y=a(x-2)2交y轴于点E,过点B作x轴的平行线,与两条抛物线分别交于C,D两点,若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点,连接AD,AC,EC,ED,则四边形ACED的面积为　 　(用含a的代数式表示).
第3课时　y=a(x-h)2+k的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系
1.抛物线y=-2x2+1向左平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(　 　)
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2+4
C.y=-2(x-3)2+1 D.y=-2(x+3)2+1
2.将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的解析式是(　 　)
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x-2)2+1 D.y=3(x-2)2-1
3.将抛物线y=-5x2先向　 　平移　 　个单位长度,再向　 　平移　 　个单位长度后,得到抛物线y=-5(x+1)2-3.
知识点2　 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
4.在下列二次函数中,图象的顶点坐标为的是(　 　)
A.y=(x-2)2+1 B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=-(x+2)2-1
5.已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的是(　 　)
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时,y随x的增大而增大
6.若二次函数y=(x-m)2+2,当x<2时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(　 　)
A.m=2 B.m>2 C.m≥2 D.m≤2
7.二次函数y=2(x-3)2-5的最小值为　 　;二次函数y=-2(x-3)2-5的最大值为　 　.
8.点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)2+h的图象上,则k=　 　.
9.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=5(x-4)2+1;(2)y=-(x+6)2-3;
(3)y=10(x-)2-;(4)y=-10(x+5)2+4.
能力提升
10.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过(　 　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
11.(易错题)当3≤x≤5时,二次函数y=(x-1)2+k的最小值是3,则k的值为(　 　)
A.5 B.-5 C.1 D.-1
12.(2024凉山)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(　 　)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
13.已知函数y=2(x-1)2+3,当-2≤x≤2时,函数的最大值为m,最小值为n,则m+n的值是　 　.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y1=x2经过平移得到抛物线y2=
(x-1)2-1,y2的对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为　 　.
15.如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在抛物线C的对称轴右侧.
(1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值,并求a的值;
(2)在坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段,分别记为点P′,图象C′.平移该胶片,使图象C′所在抛物线对应的函数为y=-x2+6x-9.求点P′移动的最短路程.人教版数学九年级上册
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　y=ax2+k的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系
1.将抛物线y=2x2向下平移1个单位长度,得到的抛物线是(　A　)
A.y=2x2-1 B.y=2x2+1 C.y=2(x-1)2 D.y=2(x+1)2
2.(1)抛物线y=2x2-5可以看作是由抛物线y=2x2+3向　下　平移　8　个单位长度得到的;
(2)将抛物线y=ax2+c向上平移3个单位长度后,得到抛物线y=-x2,则a=　-　,c=　-3　.
知识点2　 二次函数y=ax2+k的图象和性质
3.抛物线y=-2x2-3的对称轴是(　B　)
A.x轴　 B.y轴　　 C.直线x=-2　　 D.直线x=-3
4.在同一坐标系中,画函数y=x2,y=-x2,y=x2-1的图象,它们的共同点是(　D　)
A.开口向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.开口大小相同
D.都是关于y轴对称的抛物线
5.已知二次函数y=x2-3,当y随x的增大而减小时,x的取值范围是　x<0　.
6.二次函数y=x2+c的图象经过点(2,0),则当x=-2时,y=　0　.
7.(易错题)已知二次函数y=(m-1)x2+m2+1有最大值5,则m=　-2　.
8.(1)在同一平面直角坐标系中,画出下列三条抛物线的草图:
y=x2,y=x2+3,y=x2-3.
观察三条抛物线的相互关系,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点;
(2)请你说出抛物线y=x2+c的开口方向、对称轴及顶点.
解:(1)如图,将抛物线y=x2分别向上、向下平移3个单位长度,就分别得到抛物线y=x2+3与y=x2-3.y=x2,y=x2+3,y=x2-3三条抛物线开口都向上,对称轴都是y轴,顶点依次是(0,0),(0,3)和(0,-3).
(2)抛物线y=x2+c的开口方向向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点为(0,c).
能力提升
9.抛物线y=x2+3上有A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1A.0≤x1C.x210.(2024陕西期末)若二次函数y=kx2的图象开口向下,则二次函数y=kx2-k的大致图象是(　D　)
A B C D
11.对于二次函数y=-2x2+4,当-212.已知二次函数y=2x2+2 023,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取2x1+2x2时,函数值为　2 023　.
13.如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中点A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和最小时,求此时点M的坐标.
解:(1)由题意,得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4.
(2)由题意,得点A,D关于抛物线的对称轴对称,则点D的坐标为(2,0).连接BD(如图),则BD与y轴的交点即为点M.
设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),则解得
∴直线BD的解析式为y=x-2,∴点M的坐标为(0,-2).
14.如图,已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
解:(1)设点P的坐标为.
∵点F的坐标为(0,2),∴OF=2,∴当△POF的面积为4时,×2×|x|=4,解得x=±4,
∴y=×(±4)2+1=5,∴点P的坐标为(-4,5)或(4,5).
(2)如图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时
△PMF的周长最小.
∵F(0,2),M(,3),∴ME=3,FM==2,
∴△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5.
第2课时　y=a(x-h)2的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
1.把抛物线y=x2向左平移2个单位长度得到的抛物线是(　A　)
A.y=(x+2)2 B.y=(x-2)2 C.y=x2+2 D.y=x2-2
2.将抛物线y=x2通过一次平移可得到抛物线y=(x-3)2.对这一平移过程描述正确的是(　A　)
A.沿x轴向右平移3个单位长度 B.沿x轴向左平移3个单位长度
C.沿y轴向上平移3个单位长度 D.沿y轴向下平移3个单位长度
3.二次函数y=(x-1)2的图象向左平移3个单位长度后对应函数的解析式为(　B　)
A.y=(x-4)2 B.y=(x+2)2 C.y=(x-1)2+3 D.y=(x-1)2-3
4.抛物线y=a(x-h)2向右平移1个单位长度后,得到抛物线y=5(x-2)2,则a=　5　,h=　1　.
知识点2　 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
5.抛物线y=-x2+2和y=-(x+2)2的对称轴分别是(　D　)
A.y轴,直线x=2 B.直线x=2,直线x=-2
C.直线x=-2,直线x=2 D.y轴,直线x=-2
6.关于抛物线y=3(x+1)2,下列说法中不正确的是(　B　)
A.开口向上
B.最低点是点(1,0)
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.可以由抛物线y=3x2向左平移1个单位长度得到
7.抛物线y=-(x-1)2一定经过(　D　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
8.如果二次函数y=a(x-1)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的,那么a的取值范围是　a>0　.
9.已知抛物线y=a(x-2)2经过点(1,-1).
(1)确定a的值;
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标.
解:(1)∵抛物线y=a(x-2)2经过点(1,-1),∴把(1,-1)代入y=a(x-2)2,得a(1-2)2=-1,解得a=-1.
(2)由(1),知抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2,
当y=0时,-(x-2)2=0,解得x=2,∴抛物线与x轴的交点坐标为(2,0);
当x=0时,y=-(0-2)2=-4,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4).
∴该抛物线与坐标轴的交点坐标为(2,0),(0,-4).
能力提升
10.若抛物线y=2(x-1)2经过(m,n)和(m+3,n)两点,则n的值为(　A　)
A. B.- C.1 D.-
11.二次函数y=a(x+m)2与一次函数y=ax+m的大致图象可能是(　D　)
A B C D
12.已知二次函数y=-2(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为(　D　)
A.-12 B.12 C.32 D.-32
13.如图,将抛物线y=x2向右平移a个单位长度,顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形,则a的值为　1　.
14.已知a,b,c是实数,点A(a+1,b),B(a-2,c)在二次函数y=3(x-a)2的图象上,则b,c的大小关系是b　<　c.(用“>”或“<”填空)
15.如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线的顶点为C,且△ABC为等边三角形,求△ABC的面积.
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
设线段AD的长为a.
∵抛物线y=2(x-2)2,∴点C的坐标为(2,0).
∵△ABC为等边三角形,CD⊥AB,
∴DB=AD=a,∠ACD=30°,∴CD=a,
∴点B的坐标为(2+a,a),
∴a=2(2+a-2)2,∴a=或a=0(不合题意,舍去),
∴AD=DB=,∴AB=,CD=,
∴△ABC的面积S=AB·CD=.
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2(a>0)与y=a(x-2)2交于点B,抛物线y=a(x-2)2交y轴于点E,过点B作x轴的平行线,与两条抛物线分别交于C,D两点,若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点,连接AD,AC,EC,ED,则四边形ACED的面积为　8a　(用含a的代数式表示).
第3课时　y=a(x-h)2+k的图象和性质
基础巩固
知识点1　 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系
1.抛物线y=-2x2+1向左平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(　D　)
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2+4
C.y=-2(x-3)2+1 D.y=-2(x+3)2+1
2.将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的解析式是(　C　)
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x-2)2+1 D.y=3(x-2)2-1
3.将抛物线y=-5x2先向　下(左)　平移　3(1)　个单位长度,再向　左(下)　平移　1(3)　个单位长度后,得到抛物线y=-5(x+1)2-3.
知识点2　 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
4.在下列二次函数中,图象的顶点坐标为的是(　C　)
A.y=(x-2)2+1 B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=-(x+2)2-1
5.已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的是(　D　)
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时,y随x的增大而增大
6.若二次函数y=(x-m)2+2,当x<2时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(　C　)
A.m=2 B.m>2 C.m≥2 D.m≤2
7.二次函数y=2(x-3)2-5的最小值为　-5　;二次函数y=-2(x-3)2-5的最大值为　-5　.
8.点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)2+h的图象上,则k=　3　.
9.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=5(x-4)2+1;(2)y=-(x+6)2-3;
(3)y=10(x-)2-;(4)y=-10(x+5)2+4.
解:(1)抛物线y=5(x-4)2+1的开口向上,对称轴是直线x=4,顶点坐标为(4,1).
(2)抛物线y=-(x+6)2-3的开口向下,对称轴是直线x=-6,顶点坐标为(-6,-3).
(3)抛物线y=10(x-)2-的开口向上,对称轴是直线x=,顶点坐标为(,-).
(4)抛物线y=-10(x+5)2+4的开口向下,对称轴是直线x=-5,顶点坐标为(-5,4).
能力提升
10.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过(　D　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
11.(易错题)当3≤x≤5时,二次函数y=(x-1)2+k的最小值是3,则k的值为(　C　)
A.5 B.-5 C.1 D.-1
12.(2024凉山)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(　D　)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
13.已知函数y=2(x-1)2+3,当-2≤x≤2时,函数的最大值为m,最小值为n,则m+n的值是　24　.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y1=x2经过平移得到抛物线y2=
(x-1)2-1,y2的对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为　1　.
15.如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在抛物线C的对称轴右侧.
(1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值,并求a的值;
(2)在坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段,分别记为点P′,图象C′.平移该胶片,使图象C′所在抛物线对应的函数为y=-x2+6x-9.求点P′移动的最短路程.
解:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴抛物线C的顶点为Q(6,4),对称轴为直线x=6,y的最大值为4,
当y=3时,3=-(x-6)2+4,∴x=5或x=7.
∵点P在对称轴的右侧,∴P(7,3),∴a的值为7.
(2)∵平移后的抛物线的解析式为y=-(x-3)2,∴平移后的顶点为Q′(3,0).
∵平移前抛物线的顶点为Q(6,4),∴点P′移动的最短路程为QQ′==5.

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