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人教版数学九年级上册
第二十二章　二次函数
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　最值(几何图形面积)问题
基础巩固
知识点　 利用二次函数解决图形面积问题
1.用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数解析式y=-(x-12)2+144(0A.12 m2 B.144 m2 C.108 m2 D.36 m2
2.已知一个三角形的面积S与一边长x的关系式为S=x2-2x+6,当S取得最小值时,x的值为(　A　)
A.1 B.2 C.-1 D.5
3.矩形周长等于40,设矩形的一边长为x,那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为　S=-x2+20x　.(无需写出自变量的取值范围)
4.如图,若篱笆(虚线部分)的长度是16 m,墙足够长(图中实线部分),则所围成的矩形ABCD的最大面积是　64　m2.
5.如图,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,当AC,BD的长各是多少时,四边形ABCD的面积最大 最大值是多少
解:设AC=x,四边形ABCD的面积为S,
则BD=16-x,S=x(16-x)=-x2+8x.
∵-<0,∴抛物线开口向下,
∴当x=-=8时,S最大=-×82+8×8=32,此时BD=16-8=8.
即当AC=8,BD=8时,四边形ABCD的面积最大,最大值是32.
能力提升
6.如图,某小区计划用总长为20 m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD(墙足够长),为了方便存车,在BC(BC>2 m)边上开了一个2 m宽的门EF(门不是用铁栅栏做成的),设AB边的长为x m,车棚面积为y m2,则y与x之间的函数关系式是　y=-x2+22x　;当x=　11　时,y取得最大值,最大为　121　m2.
7.如图,为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(长方形ABCD,AB
=10 m,BC=20 m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪,并要求AE=AH=CF
=CG,当四边形EFGH面积最大时,AE=　7.5　m.
8.如图,长为9 cm、宽为6 cm的大矩形被分割为7个小矩形,除矩形A,B(阴影部分)外,其余5个小矩形的形状、大小完全相同,则矩形A与矩形B的面积之和最小为　　cm2.
9.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图1,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG,DG
的长;
(2)方案二:如图2,要使围成的两块矩形总种植面积最大,BC应设计为多长 此时最大面积为多少
图1 图2
解:(1)∵(21-12)÷3=3(m),∴Ⅰ,Ⅱ两块矩形的总面积为12×3=
36(m2).
设水池的长为a m,
则水池的面积为a×1=a(m2),∴36-a=32,解得a=4,∴DG=4 m,
∴CG=CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8 m,DG的长为4 m.
(2)设BC长为x m,则CD长为(21-3x)m,
∴总种植面积为(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3+.
∵-3<0,∴当x=时,总种植面积最大,最大值为,
即BC应设计为 m,此时总种植面积最大,最大面积为 m2.
10.九(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成如图的矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,则最佳方案是(　C　)
方案1 方案2 方案3
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2
第2课时　商品最大利润问题
基础巩固
知识点　 利用二次函数解决最大利润问题
1.一种畅销商品的销售价格为m,一个月可以获利(m-8)(900-15m).下列解析式中可以直接看出最大获利和此时销售价格的是(　A　)
A.-15(m-34)2+10 140 B.(m-8)(900-15m)
C.-15m2+1 020m-7 200 D.-15(m-60)(m-8)
2.某商店购进一批单价为20元的商品,若以单价30元销售,则每月可售出400件.已知销售单价每提高1元,月销售量相应减少20件,设每件商品单价上涨x元,月销售利润为y元,列函数关系式为y=
(30+x-20)(400-20x).则下列说法错误的是(　A　)
A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价
B.20x表示涨价后少售出商品的数量
C.(400-20x)表示涨价后商品的月销售量
D.当x=5时月销售利润达到最大
3.某旅行社要组团去外地旅游,经过计算,所获营业额y(元)与旅游团人数x(人)之间满足函数关系式y=-x2+100x+28 400,要使所获营业额最大,则此时旅游团人数为(　C　)
A.30 B.40 C.50 D.60
4.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为(　A　)
A.150 B.160 C.170 D.180
5.若一种服装的销售盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数解析式y=-2x2+4x+5,则盈利的最大值是　7　万元.
6.某超市购进一种商品,每件的进价为10元,在销售过程中按相关规定,每件的销售价格不低于11元且不高于19元.如果该商品每件的销售价格x(元)与日销售量y(件)满足一次函数关系y=-2x+40,设该商品的日销售利润为w元,那么当该商品每件的销售价格定为多少元时,日销售利润最大 最大利润是多少元
解:根据题意,得w=(-2x+40)(x-10)=-2x2+60x-400=-2(x-15)2+50,
∴当x=15时,w取得最大值,最大值为50.
∵11≤x≤19,∴x=15符合题意,∴当该商品每件的销售价格定为15元时,日销售利润最大,最大利润是50元.
能力提升
7.某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测:明年7月份,每天的房间空闲数y(间)与定价x(元/间)之间满足函数关系式y=x-42(x≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5 000元,有客人入住的房间,宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用,宾馆想要获得最大利润,同时也想让客人得到实惠,应将房间定价为(　B　)
A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间
8.某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是　1 264　元.
9.八婺菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息:
①统计售价与需求量的数据,通过描点(如图1),发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其解析式为y需求=ax2+c,部分对应值如下表:
售价x/(元·千克-1) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求/吨 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数解析式为y供给=x-1,函数图象如图1.
③1～7月份该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于t(月)的函数解析式分别为x售价=t+2,x成本=t2-t+3,函数图象如图2.
请解答下列问题:
(1)求a,c的值;
(2)根据图2,哪个月份出售这种蔬菜每千克获利最大 请说明理由;
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
图1 图2
解:(1)把(3,7.2),(4,5.8)代入y需求=ax2+c,得
解得∴a的值为-,c的值为9.
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.理由如下:
设这种蔬菜每千克获利w元,根据题意,得
w=x售价-x成本=t+2-=-(t-4)2+3.
∵-<0,且1≤t≤7,∴当t=4时,w有最大值.
故在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)当y供给=y需求时,x-1=-x2+9,解得x1=5,x2=-10(舍去),
∴此时售价为5元/千克,则y供给=x-1=5-1=4(吨),4吨=4 000千克.
令t+2=5,解得t=6,此时w=-(t-4)2+3=-(6-4)2+3=2(元),
∴总利润为w·y=2×4 000=8 000(元).
故该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000元.
第3课时　拱桥形、抛物线形实际问题
基础巩固
知识点1　 抛物线形建筑问题
1.某涵洞的截面是抛物线形状,在如图的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数解析式为y=-x2,当涵洞水面宽AB为16 m时,涵洞顶点O至水面的距离为(　C　)
A.6 m B.12 m C.16 m D.24 m
2.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,则水面下降2.5 m时,水面宽度增加(　B　)
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
3.某城门横断面分为两部分,上半部分为抛物线形状,下半部分为正方形OMNE,已知城门宽度为4米,最高处离地面6米,如图,现以点O为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出上半部分抛物线的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)有一辆宽3米、高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城,请问该消防车能否正常进入
解:(1)由题意,知抛物线的顶点坐标为(2,6),∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6.
又∵抛物线经过点E(0,4),∴4=4a+6,∴a=-,
∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+6,即y=-x2+2x+4(0≤x≤4).
(2)能.由题意,知当消防车走最中间时,进入的可能性最大,
当x=时,y=-×+2×+4=4.875>4.5,∴消防车能正常进入.
知识点2　 抛物线形运动问题
4.某烟花厂为某旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1.若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为(　B　)
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
5.小华酷爱足球运动.一次训练时,他将足球从地面向上踢出,足球距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系式为h=-5t2+12t,则足球距地面的最大高度是　7.2　m.
能力提升
6.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,
抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与O点在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高
4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高　8　m时,水柱落点距O点4 m.
7.如图,一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面 米,与篮圈中心的水平距离为8米,球出手后与出手时的水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米.
(1)求抛物线的解析式;
(2)小明的这次投篮未能命中篮圈中心,请说明理由;
(3)假设出手的角度和力度都不变,小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心
解:(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为(4,4),球出手时的坐标为,设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4(a≠0),将代入,得16a+4=,解得a=-,∴y=-(x-4)2+4.
(2)∵y=-(x-4)2+4,∴当x=8时,y=-(8-4)2+4=≠3,
∴小明的这次投篮未能命中篮圈中心.
(3)∵出手的角度和力度都不变,∴设新抛物线的解析式为y=-(x-4+m)2+4,
将(8,3)代入,得3=-(8-4+m)2+4,∴(4+m)2=9,
解得m1=-1,m2=-7(不合题意,舍去).∴小明应该向前走1米才能命中篮圈中心.
8.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C1:y=-x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O正上方4米处的A点滑出,滑出后沿一段抛物线C2:y=
-x2+bx+c运动.
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线C2的函数解析式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b的取值范围.
解:(1)由题意可知抛物线C2:y=-x2+bx+c过点(0,4)和点(4,8),将其坐标代入,得解得
∴抛物线C2的函数解析式为y=-x2+x+4.
(2)设运动员运动的水平距离为m米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米,
依题意,得-m2+m+4-(-m2+m+1)=1,
整理,得(m-12)(m+4)=0,解得m1=12,m2=-4(舍去),
故运动员运动的水平距离为12米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米.
(3)C1:y=-x2+x+1=-(x-7)2+,
当x=7时,运动员到达坡顶,即-×72+7b+4>3+,∴b>.人教版数学九年级上册
第二十二章　二次函数
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　最值(几何图形面积)问题
基础巩固
知识点　 利用二次函数解决图形面积问题
1.用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数解析式y=-(x-12)2+144(0A.12 m2 B.144 m2 C.108 m2 D.36 m2
2.已知一个三角形的面积S与一边长x的关系式为S=x2-2x+6,当S取得最小值时,x的值为(　 　)
A.1 B.2 C.-1 D.5
3.矩形周长等于40,设矩形的一边长为x,那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为　 　.(无需写出自变量的取值范围)
4.如图,若篱笆(虚线部分)的长度是16 m,墙足够长(图中实线部分),则所围成的矩形ABCD的最大面积是　 　m2.
5.如图,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,当AC,BD的长各是多少时,四边形ABCD的面积最大 最大值是多少
能力提升
6.如图,某小区计划用总长为20 m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD(墙足够长),为了方便存车,在BC(BC>2 m)边上开了一个2 m宽的门EF(门不是用铁栅栏做成的),设AB边的长为x m,车棚面积为y m2,则y与x之间的函数关系式是　 　;当x=　 　时,y取得最大值,最大为　 　m2.
7.如图,为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(长方形ABCD,AB
=10 m,BC=20 m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪,并要求AE=AH=CF
=CG,当四边形EFGH面积最大时,AE=　 　m.
8.如图,长为9 cm、宽为6 cm的大矩形被分割为7个小矩形,除矩形A,B(阴影部分)外,其余5个小矩形的形状、大小完全相同,则矩形A与矩形B的面积之和最小为　 cm2.
9.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图1,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG,DG
的长;
(2)方案二:如图2,要使围成的两块矩形总种植面积最大,BC应设计为多长 此时最大面积为多少
图1 图2
10.九(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成如图的矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,则最佳方案是(　 　)
方案1 方案2 方案3
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2
第2课时　商品最大利润问题
基础巩固
知识点　 利用二次函数解决最大利润问题
1.一种畅销商品的销售价格为m,一个月可以获利(m-8)(900-15m).下列解析式中可以直接看出最大获利和此时销售价格的是(　 　)
A.-15(m-34)2+10 140 B.(m-8)(900-15m)
C.-15m2+1 020m-7 200 D.-15(m-60)(m-8)
2.某商店购进一批单价为20元的商品,若以单价30元销售,则每月可售出400件.已知销售单价每提高1元,月销售量相应减少20件,设每件商品单价上涨x元,月销售利润为y元,列函数关系式为y=
(30+x-20)(400-20x).则下列说法错误的是(　 　)
A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价
B.20x表示涨价后少售出商品的数量
C.(400-20x)表示涨价后商品的月销售量
D.当x=5时月销售利润达到最大
3.某旅行社要组团去外地旅游,经过计算,所获营业额y(元)与旅游团人数x(人)之间满足函数关系式y=-x2+100x+28 400,要使所获营业额最大,则此时旅游团人数为(　 　)
A.30 B.40 C.50 D.60
4.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为(　 　)
A.150 B.160 C.170 D.180
5.若一种服装的销售盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数解析式y=-2x2+4x+5,则盈利的最大值是　 　万元.
6.某超市购进一种商品,每件的进价为10元,在销售过程中按相关规定,每件的销售价格不低于11元且不高于19元.如果该商品每件的销售价格x(元)与日销售量y(件)满足一次函数关系y=-2x+40,设该商品的日销售利润为w元,那么当该商品每件的销售价格定为多少元时,日销售利润最大 最大利润是多少元
能力提升
7.某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测:明年7月份,每天的房间空闲数y(间)与定价x(元/间)之间满足函数关系式y=x-42(x≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5 000元,有客人入住的房间,宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用,宾馆想要获得最大利润,同时也想让客人得到实惠,应将房间定价为(　 　)
A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间
8.某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是　 　元.
9.八婺菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息:
①统计售价与需求量的数据,通过描点(如图1),发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其解析式为y需求=ax2+c,部分对应值如下表:
售价x/(元·千克-1) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求/吨 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数解析式为y供给=x-1,函数图象如图1.
③1～7月份该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于t(月)的函数解析式分别为x售价=t+2,x成本=t2-t+3,函数图象如图2.
请解答下列问题:
(1)求a,c的值;
(2)根据图2,哪个月份出售这种蔬菜每千克获利最大 请说明理由;
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
图1 图2
第3课时　拱桥形、抛物线形实际问题
基础巩固
知识点1　 抛物线形建筑问题
1.某涵洞的截面是抛物线形状,在如图的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数解析式为y=-x2,当涵洞水面宽AB为16 m时,涵洞顶点O至水面的距离为(　 　)
A.6 m B.12 m C.16 m D.24 m
2.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,则水面下降2.5 m时,水面宽度增加(　 )
A.1 m B.2 m C.3 m D.6 m
3.某城门横断面分为两部分,上半部分为抛物线形状,下半部分为正方形OMNE,已知城门宽度为4米,最高处离地面6米,如图,现以点O为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出上半部分抛物线的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)有一辆宽3米、高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城,请问该消防车能否正常进入
知识点2　 抛物线形运动问题
4.某烟花厂为某旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1.若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为(　 　)
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
5.小华酷爱足球运动.一次训练时,他将足球从地面向上踢出,足球距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系式为h=-5t2+12t,则足球距地面的最大高度是　 　m.
能力提升
6.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,
抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与O点在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高
4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高　 　m时,水柱落点距O点4 m.
7.如图,一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面 米,与篮圈中心的水平距离为8米,球出手后与出手时的水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米.
(1)求抛物线的解析式;
(2)小明的这次投篮未能命中篮圈中心,请说明理由;
(3)假设出手的角度和力度都不变,小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心
8.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C1:y=-x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O正上方4米处的A点滑出,滑出后沿一段抛物线C2:y=
-x2+bx+c运动.
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线C2的函数解析式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b的取值范围.

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