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第二十一章测试卷
(时间:90分钟　满分:100分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1.下列方程中,是一元二次方程的是(　 　)
A.x+xy=1 B.x2+-1=0
C.x2-2x+1=0 D.ax2+bx+c=0
2. 一元二次方程x2=2x的根是(　 　)
A.x=2　 B.x=0
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
3.一元二次方程-5x+3x2 =12 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　 　)
A.-5,3,12 B.3,-5,12
C.3,-5,-12 D.-3,5,-12
4.用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为(　 　)
A.(x+1)2=6　 B.(x-1)2=6　
C.(x+2)2=9　 D.(x-2)2=9
5.下列方程中,有两个相等实数根的是(　 　)
A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2
6.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(　 　)
A.k≥0　 B. k≤0 　
C.k<0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
7.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b的值是(　 　)
A.-2 　 B. -3 C.-4 　 D.-6
8.某超市销售一种文创产品,进货价为15元/个.调查发现,当销售价为20元/个时,平均每天能售出50个;而当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出5个.超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元,设每个文创产品降价x元,则可列方程为(　 　)
A.(20-15-x)(50+5x)=220 B.(20-15+x)(50+5x)=220
C.(20-15-x)(50-5x)=220 D.(20-15+x)(50-5x)=220
9.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的
两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为(　 　)
A.10　 B.14　 C.10或14 D.8或10
10.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+=4m,则m的值是(　 　)
A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分).
11.一元二次方程x(x-4)=3的一般形式为　 　.
12.若方程(m-1)x|m|+1-2x=4是一元二次方程,则m=　 　.
13.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形,如何围这个长方形 设长为x m,则可列方程　 .
14.在x2　 　+4=0的横线上添加一个关于x的一次项,使方程有两个相等的实数根.
15.某菱形的两条对角线长分别是方程x2-6x+4=0两个根,则这个菱形的面积为　 　.
16.如图,在宽为20 m,长为30 m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影部分),余下部分作为草地,草地面积为551 m2,根据图中数据,求得小路宽x的值为　 　.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(6分)解方程:(1)2x2-5x+3=0;(2)x(x+4)=-5(x+4).
18.(6分)如图,把长为40 cm,宽为30 cm的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形,然后把每边折起来,做成一个无盖的盒子,使它的底面积(阴影部分)是原来铁片面积的一半,求盒子的高.
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+6)x+6m=0.
(1)求证:这个一元二次方程一定有实数根;
(2)设该一元二次方程的两根为a,b,且8,a,b分别是一个直角三角形的三边长,求m的值.
20.(8分)小红家2021年种植葡萄“玫瑰香”6 400 m2,到2023年的种植面积达到10 000 m2.
(1)求小红家这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率.
(2)某超市调查发现,当“玫瑰香”的售价为8元/千克时,每周能售出400千克,售价每上涨1元,每周销售量减少20千克,已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克,为了维护消费者利益,物价部门规定,该水果售价不能超过15元/千克.若使销售“玫瑰香”每周获利2 240元,则售价应上涨多少元
21.(12分)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m),围成一个矩形ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.
(1)当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为300 m2
(2)能否围成480 m2的矩形花园 为什么
22.(12分)阅读材料,解答问题.
材料1:为了解方程(x2)2-13x2+36=0,如果我们把x2看作一个整体,然后设y=x2,那么原方程可化为y2-13y+36=0,经过运算,原方程的解为x1,2=±2,x3,4=±3.我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法.
材料2:已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知m+n=1,
mn=-1.
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:
方程x4-5x2+6=0的解为　　　　　　　　　　　.
(2)间接应用:
已知实数a,b满足2a4-7a2+1=0,2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值.
(3)拓展应用:
已知实数m,n满足+=7,n2-n=7且n>0,求+n2的值.第二十一章测试卷
(时间:90分钟　满分:100分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1.下列方程中,是一元二次方程的是(　C　)
A.x+xy=1 B.x2+-1=0
C.x2-2x+1=0 D.ax2+bx+c=0
2. 一元二次方程x2=2x的根是(　C　)
A.x=2　 B.x=0
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
3.一元二次方程-5x+3x2 =12 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　C　)
A.-5,3,12 B.3,-5,12
C.3,-5,-12 D.-3,5,-12
4.用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为(　B　)
A.(x+1)2=6　 B.(x-1)2=6　
C.(x+2)2=9　 D.(x-2)2=9
5.下列方程中,有两个相等实数根的是(　B　)
A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2
6.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(　D　)
A.k≥0　 B. k≤0 　
C.k<0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
7.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b的值是(　A　)
A.-2 　 B. -3
C.-4 　 D.-6
8.某超市销售一种文创产品,进货价为15元/个.调查发现,当销售价为20元/个时,平均每天能售出50个;而当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出5个.超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元,设每个文创产品降价x元,则可列方程为(　A　)
A.(20-15-x)(50+5x)=220 B.(20-15+x)(50+5x)=220
C.(20-15-x)(50-5x)=220 D.(20-15+x)(50-5x)=220
9.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的
两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为(　B　)
A.10　 B.14　 C.10或14 D.8或10
10.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+=4m,则m的值是(　A　)
A.2　 B.-1　 C.2或-1 　 D.不存在
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分).
11.一元二次方程x(x-4)=3的一般形式为　x2-4x-3=0　.
12.若方程(m-1)x|m|+1-2x=4是一元二次方程,则m=　-1　.
13.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形,如何围这个长方形 设长为x m,则可列方程　x(4-x)=4　.
14.在x2　±4x　+4=0的横线上添加一个关于x的一次项,使方程有两个相等的实数根.
15.某菱形的两条对角线长分别是方程x2-6x+4=0两个根,则这个菱形的面积为　2　.
16.如图,在宽为20 m,长为30 m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影部分),余下部分作为草地,草地面积为551 m2,根据图中数据,求得小路宽x的值为　1　.
三、解答题(本大题共6小题,满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(6分)解方程:(1)2x2-5x+3=0;(2)x(x+4)=-5(x+4).
解:(1)∵a=2,b=-5,c=3,∴Δ=(-5)2-4×2×3=1.∴x=.解得x1=,
x2=1.
(2)∵x(x+4)=-5(x+4).
∴(x+4)(x+5)=0,∴x+4=0或x+5=0,∴x1=-4,x2=-5.
18.(6分)如图,把长为40 cm,宽为30 cm的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形,然后把每边折起来,做成一个无盖的盒子,使它的底面积(阴影部分)是原来铁片面积的一半,求盒子的高.
解:设盒子的高为x cm,根据题意,得(40-2x)(30-2x)=40×30×,
解得x1=5,x2=30(不合题意,舍去).
答:盒子的高为5 cm.
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+6)x+6m=0.
(1)求证:这个一元二次方程一定有实数根;
(2)设该一元二次方程的两根为a,b,且8,a,b分别是一个直角三角形的三边长,求m的值.
(1)证明:∵b2-4ac=(m+6)2-24m=m2-12m+36=(m-6)2,
∵(m-6)2≥0,∴b2-4ac≥0,∴这个一元二次方程一定有两个实数根.
(2)解:原方程可变为(x-m)(x-6)=0,则方程的两根为x1=m,x2=6,
∴直角三角形三边长为6,8,m.
①若m为直角三角形的斜边,则62+82=102,m=10(舍去负值);
②若8为直角三角形的斜边,则62+m2=82,m=2(舍去负值).
综上所述,m的值为10或2.
20.(8分)小红家2021年种植葡萄“玫瑰香”6 400 m2,到2023年的种植面积达到10 000 m2.
(1)求小红家这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率.
(2)某超市调查发现,当“玫瑰香”的售价为8元/千克时,每周能售出400千克,售价每上涨1元,每周销售量减少20千克,已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克,为了维护消费者利益,物价部门规定,该水果售价不能超过15元/千克.若使销售“玫瑰香”每周获利2 240元,则售价应上涨多少元
解:(1)设小红家这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为x,
依题意,得6 400(1+x)2=10 000,
解得x1=0.25,0.25×100%=25%,x2=-2.25(不合题意,舍去).
答:小红家这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25%.
(2)设售价应上涨y元,则每天可售出(400-20y)千克,
依题意,得(8-6+y)(400-20y)=2 240,
整理,得y2-18y+72=0,解得y1=12,y2=6.
∵该水果售价不能超过15元/千克,∴y=6符合题意.
答:售价应上涨6元.
21.(12分)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m),围成一个矩形ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.
(1)当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为300 m2
(2)能否围成480 m2的矩形花园 为什么
解:(1)设矩形花园BC的长为x m,则其宽为(60-x+2) m,
依题意列方程,得(60-x+2)x=300,
整理,得x2-62x+600=0,解得x1=12,x2=50,
∵28<50,∴x2=50不合题意,舍去,∴x=12.
∴当矩形的长BC为12 m时,矩形花园的面积为300 m2.
(2)不能.理由如下:
(60-x+2)x=480,
整理,得x2-62x+960=0,
解得x1=32,x2=30,
∵28<30<32,
∴x1=32,x2=30都不合题意,舍去,
∴不能围成480 m2的矩形花园.
22.(12分)阅读材料,解答问题.
材料1:为了解方程(x2)2-13x2+36=0,如果我们把x2看作一个整体,然后设y=x2,那么原方程可化为y2-13y+36=0,经过运算,原方程的解为x1,2=±2,x3,4=±3.我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法.
材料2:已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知m+n=1,
mn=-1.
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:
方程x4-5x2+6=0的解为　　　　　　　　　　　.
(2)间接应用:
已知实数a,b满足2a4-7a2+1=0,2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值.
(3)拓展应用:
已知实数m,n满足+=7,n2-n=7且n>0,求+n2的值.
解:(1)令y=x2,则有y2-5y+6=0,
∴(y-2)(y-3)=0,
∴y1=2,y2=3,
∴x2=2或x2=3,
∴x1=,x2=-,x3=,x4=-.
故答案为x1=,x2=-,x3=,x4=-.
(2)∵a≠b,∴a2≠b2或a2=b2.
当a2≠b2时,令a2=m,b2=n,
∴m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2-7n+1=0,
∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根,
∴m+n=,mn=,此时a4+b4=m2+n2=(m+n)2-2mn=.
当a2=b2(a=-b)时,a2=b2=,此时a4+b4=2a4=2(a2)2=.
综上所述,a4+b4的值为或.
(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,b2+b-7=0.
∵n>0,
∴≠-n,即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根,
∴a+b=-1,ab=-7,
故+n2=a2+b2=(a+b)2-2ab=15.

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