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(共30张PPT)
3.1 排列与组合
3.1.3 组合与组合数
第2课时 组合数的综合应用
探究点一 不同元素的分组、分配问题
探究点二 相同元素的分配（组）问题
探究点三 排列、组合的综合应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.掌握具有限制条件的组合和排列综合问题的解决方法;
2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题.
知识点 组合数的应用问题
1.“分组”与“分配”问题的解法:
（1）分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的对象个数均相等,共分为组,最后必须除以 !;
②部分均匀分组,应注意不要重复,若有组对象是均匀分组,最后必须除以 !;
③完全非均匀分组.
（2）分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
2.排列与组合的综合应用问题的解法:
（1）审清题意,区分哪是排列,哪是组合;
（2）往往综合问题会有多个限制条件,应认真分析确定分类还是分步;
（3）先取后排是解决综合问题的基本顺序.
探究点一 不同元素的分组、分配问题
例1 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法
（1）分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
解：无序不均匀分组问题.首先选1本，有 种方法,然后从余下的5本中选2本，
有种方法,最后余下3本全选，有种方法,故共有 （种）不同的分
配方法.
（2）甲、乙、丙3人中,1人得1本,1人得2本,1人得3本;
解：有序不均匀分组问题.因为甲、乙、丙是不同的3人,所以在第（1）问的基础
上再分配给3人,故共有 （种）不同的分配方法.
（3）平均分成3份,每份2本;
解：无序均匀分组问题.先分三步,则应有 种方法,但是这里出现了三个位
置上的重复,故共有 （种）不同的分配方法.
（4）平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本;
解：有序均匀分组问题.在第（3）问的基础上再分配给3人,故共有
（种）不同的分配方法.
（5）分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
解：无序部分均匀分组问题.先分三步，则应有 种方法，但是这里出现了
两个位置上的重复，故共有 （种）不同的分配方法.
（6）甲、乙、丙3人中,1人得4本,另外2人每人得1本;
解：有序部分均匀分组问题.在第（5）问的基础上再分配给3人,故共有
（种）不同的分配方法.
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本;
解：直接分配问题.甲选1本，有种方法,乙从余下的5本中选1本，有 种方法,
最后余下4本留给丙，有种方法,故共有 （种）不同的分配方法.
（8）甲、乙、丙3人中,每人至少得1本.
解：每人至少得1本，可以有,, 三种情况，即
中的三种情况，故共有 （种）不同的分配方法.
变式（1） 现有6个不同的生肖吉祥物，分1个给老师，其他5个分给3位学生，
每位学生至少分到1个，则这6个生肖吉祥物的分配方法共有( )
B
A.360种 B.900种 C.720种 D.1800种
[解析] 分三步，先分1个给老师，共有 （种）分配方法，再把剩余的5个
分成3组，共有 （种）分组方法，最后将分好组的吉祥物分给
3位学生，共有 （种）分配方法.故这6个生肖吉祥物的分配方法共有
（种）.故选B.
（2）将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区
至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有( )
D
A.64种 B.108种 C.128种 D.216种
[解析] 先将4名医生分成3组，每组至少1人，共有 （种）分组方法，
再将3组医生分到3个社区有 （种）分配方法，最后将3名护士分配到3个
社区有（种）分配方法.故不同的分配方法共有 （种）.故
选D.
［素养小结］
1.分配问题有两类，一是将物直接分配给人，即直接分配问题；二是先分组再
将组分配给人，即间接分配.
（1）直接分配问题主要是明确分配的数量，即具体到具体人的数量，例如甲得
2本书，乙得3本书，此类问题主要是应用组合知识进行直接求解.
（2）间接分配问题一般是未明确分配的数量，即不知道具体分配的数量，例如
甲、乙、丙其中1人得一本书，1人得2本书，1人得3本书，此类问题一般是先分
组再将组全排列分配给人.
2.分组问题分为平均分、部分平均分、均未平均分三类题型.平均分就是明确数
量问题，直接应用组合即可解决；部分平均分若有个组平均分，则需除以 !；
若均未平均分，则不需要除以任何数值，即为组合数即可.
探究点二 相同元素的分配（组）问题
例2 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.
（1）若每个盒子至少有一个球，则一共有多少种放法？
解：把20个球摆好，在中间的19个空隙中选择4个放入隔板，所以共有
（种）放法.
（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
解：由题意可知，可以出现空盒子，先用25个球，每个盒子至少放1个，使用隔
板法，共有 种放法，然后每个盒子再拿掉1个球即可满足要求，所以共有
（种）放法.
（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
解：先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再
保证余下的10个球每个盒子至少放1个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择4
个放入隔板，所以共有 （种）放法.
变式 [2024·广东深圳高二期末] 6名研究人员在三个不同的无菌研究舱同时进
行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每
个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有( )
B
A.720种 B.450种 C.360种 D.180种
[解析] 由题意可知，6名研究人员的安排可以是平均分组，即每2人一组分到三
个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱.
每2人一组分到三个研究舱时，共有 （种）安排方案；
按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案.
故共有 （种）安排方案，故选B.
［素养小结］
隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球
的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法
对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法.
（1）应用隔板法常用的条件是：一是解决相同元素的分配问题；二是可以转化
为“至少有一个”的问题.
（2）基本题型：将个相同的元素分给个不同的对象 .
①每个对象至少有一个元素，则有种方法.可描述为个空中插入
个隔板；
②每个对象可以有0个元素，则将个不同对象作为 个相同元素，此时共有
个相同元素，则有 种方法；
③每个对象可以有多个元素，则可先为 个不同的对象分配一些元素，保证满
足条件“至少有一个”后，再应用基本方法进行求解.
探究点三 排列、组合的综合应用
例3 某校拟举办“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、
乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有
1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4
名学生不同的朗诵顺序情况的种数为( )
B
A.720 B.768 C.810 D.816
[解析] 根据题意，可以分为三类：
第一类，甲、乙、丙3名学生都参加，有（种）情况，其中甲、乙相邻
的有 （种）情况，所以此时不同的朗诵顺序情况有
（种）；
第二类，甲、乙、丙3名学生中恰有1人参加，不同的朗诵顺序情况有
（种）；
第三类，甲、乙、丙3名学生中恰有2人参加，不同的朗诵顺序情况有
（种）.
根据分类加法计数原理，不同的朗诵顺序情况共有 （种）.
故选B.
变式 [2024·福建泉州高二期末] 某学校举办运动会，径赛类共设100米、200
米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远
4个项目.现甲、乙两名学生均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则
甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为( )
B
A.70 B.140 C.252 D.504
[解析] 若甲、乙相同的参赛项目为径赛类项目，则有 （种）选法，他们
再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同），有 （种）选法，
此时满足题意的选法有 （种）.
若甲、乙相同的参赛项目为田赛类项目，则有 （种）选法，他们再分别从
径赛类项目中各选一个（互不相同），有 （种）选法，
此时满足题意的选法有 （种）.
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 .
故选B.
［素养小结］
对于排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的对象组合（分组）,再对取出的
对象排列,“先取”按被取对象的类别进行分解,“后排”按特殊对象（位置）进行分解.
1.“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为 ，从“
”中取6个不同的字母排成一排，则含有“ ”这个字母组合（相邻且顺
序不变）的不同排法共有( )
C
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
[解析] 从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有 （种）
排法.故选C.
2.[2024·辽宁丹东高二期末]有5名学生到4个场馆做志愿者，每名学生只去1个场
馆，每个场馆至少安排1名学生，则不同的安排方法共有( )
C
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
[解析] 先将5名学生分为4组，有 （种）分法，然后将这4组全排列，共
有（种）排法，则不同的安排方法共有 （种）.故选C.
3.[2024·哈尔滨三中高二期末]某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现
有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的
种数为( )
B
A.20 B.15 C.12 D.10
[解析] 题目可转化为将7个相同的元素分为3组，每组至少有1个元素，在7个元素
之间的6个空中插入2个挡板，将7个元素分为3组，有 （种）分法.故选B.
4.[2023·上海大同中学高二月考] 某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯
谜，现准备将其印制在5个不同的灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼
仅印制1款灯谜，则不同的分配方案共有_____种.
150
[解析] 有1款灯谜印在3个灯笼上，有 （种）分配方案，3款灯谜分别
印在2个、2个、1个灯笼上，有 （种）分配方案.综上，共有
（种）分配方案.
分组与分配问题的区别：
个不同的对象按照某些条件分给 个不同的对象，为分配问题，分配问题分为
定向分配和不定向分配；把个不同对象按照某些条件分成 组为分组问题，分
组问题分为均匀分组、不均匀分组、部分均匀分组，区分的关键在于是否需要
做一个排列.分配问题也可以采用先分组再分配的思路来解题.
1.分组、分配问题.分组问题关键是否存在平均分，若有 个平均分，则除以
；分配问题关键是若明确了具体“哪个人得多少”，则直接应用组合求解，
否则要先分组再应用全排列方法，将组分配给人.
例1 有甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为3个项目写新闻稿，每个项目至少有
1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有
_____种分配方法.
390
[解析] 人分成 的形式.若甲、乙两人均单人成组，则剩下四人组成
一组，只有1种分组方法；
若甲、乙两人中有一人与余下四人中的三人组成一组，则有（种）分
组方法.共有（种）分组方法
人分成的形式.若甲、乙两人均有搭档，则有 （种）
分组方法；
若甲、乙中有一人无搭档，则有 （种）分组方法.共有
（种）分组方法
人分成的形式，共有 （种）分组方法.
综上，共有 （种）分组方法，所以共有 （种）分
配方法.
2.求解排列、组合的综合问题策略.首先是区分排列和组合的不同，其次是能够
灵活应用各类方法进行准确求解.
例2 [2024·江西南昌高二期末]在空间直角坐标系中，已知点，若 ，
，，且，则满足条件的点 共有( )
D
A.15个 B.20个 C.35个 D.56个
[解析] 若，则满足条件的点共有（个）；
若,, 中只有2个相等，则满足条件的点共有（个）；
若,, 互不相等，则满足条件的点共有（个）.
综上所述，满足条件的点共有 （个）.故选D.第2课时　组合数的综合应用
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)无序不均匀分组问题.首先选1本,有种方法,然后从余下的5本中选2本,有种方法,最后余下3本全选,有种方法,故共有=60(种)不同的分配方法.
(2)有序不均匀分组问题.因为甲、乙、丙是不同的3人,所以在第(1)问的基础上再分配给3人,故共有=360(种)不同的分配方法.
(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应有种方法,但是这里出现了三个位置上的重复,故共有=15(种)不同的分配方法.
(4)有序均匀分组问题.在第(3)问的基础上再分配给3人,故共有·=90(种)不同的分配方法.
(5)无序部分均匀分组问题.先分三步,则应有种方法,但是这里出现了两个位置上的重复,故共有=15(种)不同的分配方法.
(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问的基础上再分配给3人,故共有·=90(种)不同的分配方法.
(7)直接分配问题.甲选1本,有种方法,乙从余下的5本中选1本,有种方法,最后余下4本留给丙,有种方法,故共有=30(种)不同的分配方法.
(8)每人至少得1本,可以有1+1+4,1+2+3,2+2+2三种情况,即(2)(4)(6)中的三种情况,故共有360+90+90=540(种)不同的分配方法.
变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)分三步,先分1个给老师,共有=6(种)分配方法,再把剩余的5个分成3组,共有=25(种)分组方法,最后将分好组的吉祥物分给3位学生,共有=6(种)分配方法.故这6个生肖吉祥物的分配方法共有6×25×6=900(种).故选B.
(2)先将4名医生分成3组,每组至少1人,共有=6(种)分组方法,再将3组医生分到3个社区有=6(种)分配方法,最后将3名护士分配到3个社区有=6(种)分配方法.故不同的分配方法共有6×6×6=216(种).故选D.
探究点二
例2　解:(1)把20个球摆好,在中间的19个空隙中选择4个放入隔板,所以共有=3876(种)放法.
(2)由题意可知,可以出现空盒子,先用25个球,每个盒子至少放1个,使用隔板法,共有种放法,然后每个盒子再拿掉1个球即可满足要求,所以共有 =10 626(种)放法.
(3)先在编号为1,2,3,4,5的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球,再保证余下的10个球每个盒子至少放1个,把10个球摆好,在中间9个空隙中选择4个放入隔板,所以共有=126(种)放法.
变式　B　[解析] 由题意可知,6名研究人员的安排可以是平均分组,即每2人一组分到三个研究舱,或者是按人数为1,2,3分为3组分到三个研究舱.每2人一组分到三个研究舱时,共有·=90(种)安排方案;按人数为1,2,3分为3组分到三个研究舱时,共有=360(种)安排方案.故共有90+360=450(种)安排方案,故选B.
探究点三
例3　B　[解析] 根据题意,可以分为三类:第一类,甲、乙、丙3名学生都参加,有=96(种)情况,其中甲、乙相邻的有=48(种)情况,所以此时不同的朗诵顺序情况有96-48=48(种);第二类,甲、乙、丙3名学生中恰有1人参加,不同的朗诵顺序情况有=288(种);第三类,甲、乙、丙3名学生中恰有2人参加,不同的朗诵顺序情况有=432(种).根据分类加法计数原理,不同的朗诵顺序情况共有48+288+432=768(种).故选B.
变式　B　[解析] 若甲、乙相同的参赛项目为径赛类项目,则有=5(种)选法,他们再分别从田赛类项目中各选一个(互不相同),有=4×3=12(种)选法,此时满足题意的选法有5×12=60(种).若甲、乙相同的参赛项目为田赛类项目,则有=4(种)选法,他们再分别从径赛类项目中各选一个(互不相同),有=5×4=20(种)选法,此时满足题意的选法有4×20=80(种).综上所述,甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为60+80=140.故选B.
【课堂评价】
1.C　[解析] 从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有=600(种)排法.故选C.
2.C　[解析] 先将5名学生分为4组,有=10(种)分法,然后将这4组全排列,共有=24(种)排法,则不同的安排方法共有10×24=240(种).故选C.
3.B　[解析] 题目可转化为将7个相同的元素分为3组,每组至少有1个元素,在7个元素之间的6个空中插入2个挡板,将7个元素分为3组,有=15(种)分法.故选B.
4.150　[解析] 有1款灯谜印在3个灯笼上,有=60(种)分配方案,3款灯谜分别印在2个、2个、1个灯笼上,有×=90(种)分配方案.综上,共有60+90=150(种)分配方案.第2课时　组合数的综合应用
【学习目标】
1.掌握具有限制条件的组合和排列综合问题的解决方法;
2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题.
◆ 知识点　组合数的应用问题
1.“分组”与“分配”问题的解法:
(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的对象个数均相等,共分为m组,最后必须除以m!;
②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组对象是均匀分组,最后必须除以n!;
③完全非均匀分组.
(2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
2.排列与组合的综合应用问题的解法:
(1)审清题意,区分哪是排列,哪是组合;
(2)往往综合问题会有多个限制条件,应认真分析确定分类还是分步;
(3)先取后排是解决综合问题的基本顺序.
◆ 探究点一　不同元素的分组、分配问题
例1 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法
(1)分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙3人中,1人得1本,1人得2本,1人得3本;
(3)平均分成3份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本;
(5)分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
(6)甲、乙、丙3人中,1人得4本,另外2人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本;
(8)甲、乙、丙3人中,每人至少得1本.
变式 (1)现有6个不同的生肖吉祥物,分1个给老师,其他5个分给3位学生,每位学生至少分到1个,则这6个生肖吉祥物的分配方法共有 (　 )
A.360种 B.900种
C.720种 D.1800种
(2)将4名医生,3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检,要求每个社区至少有1名医生和1名护士,则不同的分配方法共有 (　 )
A.64种 B.108种
C.128种 D.216种
[素养小结]
1.分配问题有两类,一是将物直接分配给人,即直接分配问题;二是先分组再将组分配给人,即间接分配.
(1)直接分配问题主要是明确分配的数量,即具体到具体人的数量,例如甲得2本书,乙得3本书,此类问题主要是应用组合知识进行直接求解.
(2)间接分配问题一般是未明确分配的数量,即不知道具体分配的数量,例如甲、乙、丙其中1人得一本书,1人得2本书,1人得3本书,此类问题一般是先分组再将组全排列分配给人.
2.分组问题分为平均分、部分平均分、均未平均分三类题型.平均分就是明确数量问题,直接应用组合即可解决;部分平均分若有m个组平均分,则需除以m!;若均未平均分,则不需要除以任何数值,即为组合数即可.
◆ 探究点二　相同元素的分配(组)问题
例2 将20个完全相同的球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中.
(1)若每个盒子至少有一个球,则一共有多少种放法
(2)若每个盒子可放任意个球,则一共有多少种放法
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数,则一共有多少种放法
变式 [2024·广东深圳高二期末] 6名研究人员在三个不同的无菌研究舱同时进行工作,每名研究人员必须去一个舱,且每个舱至少去1人,由于空间限制,每个舱至多容纳3人,则不同的安排方案共有 (　 )
A.720种 B.450种
C.360种 D.180种
[素养小结]
隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.
(1)应用隔板法常用的条件是:一是解决相同元素的分配问题;二是可以转化为“至少有一个”的问题.
(2)基本题型:将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m).
①每个对象至少有一个元素,则有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1个隔板;
②每个对象可以有0个元素,则将m个不同对象作为m个相同元素,此时共有m+n个相同元素,则有种方法;
③每个对象可以有多个元素,则可先为m个不同的对象分配一些元素,保证满足条件“至少有一个”后,再应用基本方法进行求解.
◆ 探究点三　排列、组合的综合应用
例3 某校拟举办“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加,且当这3名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序情况的种数为 (　 )
A.720 B.768
C.810 D.816
变式 [2024·福建泉州高二期末] 某学校举办运动会,径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目,田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名学生均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛,则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 (　 )
A.70 B.140
C.252 D.504
[素养小结]
对于排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的对象组合(分组),再对取出的对象排列,“先取”按被取对象的类别进行分解,“后排”按特殊对象(位置)进行分解.
1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,则含有“ea”这个字母组合(相邻且顺序不变)的不同排法共有 (　 )
A.360种 B.480种
C.600种 D.720种
2.[2024·辽宁丹东高二期末] 有5名学生到4个场馆做志愿者,每名学生只去1个场馆,每个场馆至少安排1名学生,则不同的安排方法共有 (　 )
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
3.[2024·哈尔滨三中高二期末] 某地突发洪水,当地政府组织抗洪救灾活动,现有7辆相同的车派往3个不同的地方,每个地方至少派往一辆车,则不同派法的种数为 (　 )
A.20 B.15 C.12 D.10
4.[2023·上海大同中学高二月考] 某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜,现准备将其印制在5个不同的灯笼上,若每个灯谜都必须印制,且每个灯笼仅印制1款灯谜,则不同的分配方案共有　　　　种. 第2课时　组合数的综合应用
1.A　[解析] 由题意可知不同的安排方式有=180(种).故选A.
2.C　[解析] 将5名志愿者分为4组,有=10(种)分组方法,将分好的4组安排给4个志愿活动,有=24(种)情况,则共有10×24=240(种)分配方法.故选C.
3.D　[解析] 可以看成将5个相同对象分成3组,采用隔板法即可,故每个班级至少得到1个名额的不同分法种数是=6.故选D.
4.B　[解析] 方法一:若高二(1)班有1名家长发言,则有种可能情况,若高二(1)班没有家长发言,则有种可能情况,所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况共有+=30(种).故选B.
方法二:从7名家长中任选3人,有种情况,高二(1)班2名家长都发言的情况有种,所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况有-=30(种).故选B.
5.D　[解析] 先选出2名志愿者安排到A社区,有种方法,再把剩下的4名志愿者分成两组,有种分法,则不同的安排方法共有=210(种).故选D.
6.A　[解析] 先挂2盏吊灯有=2(种)挂法,再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有=6(种)挂法,最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2,2两份插空时,有-1=5(种)挂法;当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时,有=12(种)挂法;当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时,有1种挂法.综上,共有2×6×(5+12+1)=216(种)不同的挂法.故选A.
7.C　[解析] 若甲单独一组,先排甲有=2(种)方法,再将其余5人分成两组有+=15(种)方法,分配到另外两个体育馆共有=2(种)方法,所以此类情况共有2×15×2=60(种)方法.若甲与其他志愿者一组,先安排甲有=2(种)方法,然后将其余5人分成三组有+=25(种)方法,再将三组分配到三个体育馆有=6(种)方法,所以此类情况共有2×25×6=300(种)方法.综上,不同的分配方法共有60+300=360(种).故选C.
8.AD　[解析] 对于A,一个平面对应着从8个点中取出3个点的一个组合,故可以作=56(个)不同的平面,故A正确;对于B,每一条直线都可以与另外的9条直线相交,最多就有9个交点,但都重复了一次,所以最多共有9×10÷2=45(个)交点,故B不正确;对于C,首先从8个顶点中选4个,共有 种结果,在这些结果中,有四点共面的情况,6个表面有6个四点共面,6个对角面有6个四点共面,所以满足条件的结果有-6-6=58 (个),故C不正确;对于D,先从第一组5条平行线中任选2条作为平行四边形的一组对边,有 种取法,再从另一组4条平行线中任选2条作为平行四边形的另一组对边,有 种取法,所以可以构成=60(个)平行四边形,故D正确.故选AD.
9.ABC　[解析] 甲、乙都不选的方案共有=432(种),故A正确.选甲不选乙的方案共有=216(种),故B正确.甲、乙都选,乙排在星期一的方案共有=48(种),乙不排星期一的方案共有=48(种),则甲、乙都选的方案共有48+48=96(种),故C正确.选乙不选甲的方案共有=216(种),则这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+216+96=960(种),故D错误.故选ABC.
10.60　[解析] 先从5人中选出4人值班,再从4人中选出2人值第三天,剩余2人分别值第一、二天,所以不同安排方法的种数为=60.
11.15　[解析] 先在编号为2,3的盒子中分别放入1,2个小球,编号为1的盒子不放球,再在每个盒子至少放入1个小球,用隔板法,将余下7个小球排成一排有6个空,插入2个隔板,有=15(种)放法.
12.36　[解析] 根据题意,分以下两步进行分析:①将6人分为3组,要求甲、乙不在同一组,有-=12(种)分组方法.②若甲所在的组在14日值班,则有=2(种)安排方法;若甲所在的组在13日值班,则乙所在的组必须在12日值班,只有1种安排方法,故共有3种安排方法.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有12×3=36(种).
13.解:(1)抽出的3件产品中恰好有1件次品,则抽出的3件产品中有2件合格品,∴恰好有1件次品的抽法有=2×=9506(种).
(2)方法一:抽出的3件产品中至少有1件是次品包括两种情况,分别为有1件次品和有2件次品.∴至少有1件次品的抽法有+=9506+98=9604(种).
方法二:从100件产品中抽取3件,有种抽法,其中没有次品的抽法有种,∴至少有1件次品的抽法有-=-=9604(种).
14.解:(1)根据题意,每名学生至少分一本书,
则分成1,1,2三组,再进行全排列,有=36(种)分法.
(2)记这4本书分别为A,A,B,C,两个A在一组时,共有=6(种)分法,两个A不在一组时,若AB或AC一组,有=12(种)分法,若BC一组,有3种分法.
综上,共有6+12+3=21(种)分法.
15.ACD　[解析] 全部投入4个不同的盒子里,共有4×4×4×4×4=45(种)放法,故A正确;将其中的四个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有种放法,故C正确;全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种放法,故B错误,D正确.故选ACD.
16.解:根据题意知,要使路程最短,则行走时3次向上,2次向右,2次向前.
因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列,也就是2次向右和2次向前全排列,有种方法,又因为2次向右和2次向前是没有顺序的,所以共有种方法;再把3次向上插到4次不向上之间及两端的5个空位中,有种方法.所以满足题意的不同路线共有=60(条).第2课时　组合数的综合应用
一、选择题
1.[2023·哈尔滨高二期末] 小张接到5项工作,要在下周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有 (　 )
A.180种 B.480种
C.90种 D.120种
2.[2023·南京宁海中学高二期末] 将5名志愿者分配到4个项目参加志愿活动,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方法共有 (　 )
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
3.将5个相同的名额分给3个不同的班级,每个班级至少得到1个名额的不同分法的种数是 (　 )
A.60 B.50
C.10 D.6
4.某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈,高二(1)班有2名家长到会,其余5个班级各有1名家长到会,会上任选3名家长发言,则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为 (　 )
A.15 B.30 C.35 D.42
5.6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务,每名志愿者只能去一个社区,每个社区至少安排1名志愿者,若只需要2名志愿者去A社区,则不同的安排方法共有 (　 )
A.105种 B.144种
C.150种 D.210种
6.[2024·西宁高二期末] 中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排,要求吊灯挂两端,同一类型的灯笼至多2盏相邻挂,则不同挂法种数为 (　 )
A.216 B.228 C.384 D.486
7.[2024·哈尔滨高二期末] 有6名志愿者要去A,B,C三座体育馆工作,若每名志愿者只去一座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,其中志愿者甲不去A体育馆,则不同的分配方法种数为 (　 )
A.180 B.300
C.360 D.380
8.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作56个平面
B.平面内有10条直线,它们最多有90个交点
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有70个
D.平面内有两组平行线,一组有5条,另一组有4条,这两组平行线相交,可以构成60个平行四边形
9.(多选题)某单位从6男4女共10名员工中,选出3男2女共5名员工,安排在周一到周五的5个夜晚值班,每名员工值一个夜班且不重复值班,其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班,男员工乙不能安排在星期二值班,其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班,则 (　 )
A.甲、乙都不选的方案共有432种
B.选甲不选乙的方案共有216种
C.甲、乙都选的方案共有96种
D.这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
二、填空题
10.某单位计划从5人中选4人值班,每人值班一天,其中第一、二天各安排1人,第三天安排2人,则不同安排方法的种数为　　　　.
11.[2023·河北师大附中高二月考] 把10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子中,使盒子里的球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是　　　　.(用数字作答)
12.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位老师中的甲不在12日值班,乙不在14日值班,且甲、乙不在同一天值班,则不同的安排方法共有　　　　种.
三、解答题
13.[2023·河南南阳八中高二月考] 在100件不同的产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件.
(1)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(2)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
14.[2024·南昌莲塘一中高二期末] 现有4本书和3名学生,将4本书全部分给这3名学生.(用数字作答)
(1)若4本书都不相同,每名学生至少分一本书,共有多少种不同的分法
(2)若4本书仅有两本相同,按一人2本,另两人各1本分配,共有多少种分法
15.(多选题)现有编号分别为1,2,3,4,5的五个球,则 (　 )
A.全部投入4个不同的盒子里,共有45种放法
B.全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种放法
C.将其中的四个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有种放法
D.全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种不同的放法
16.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架(如图),小红欲从A处行走至B处,则行走路程最短且任意2次向上行走都不连续的不同路线共有多少条

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