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(共27张PPT)
3.3 二项式定理与杨辉三角
第3课时 二项式定理的应用
探究点一 利用二项式定理证明整除问题
探究点二 利用二项式定理求值
探究点三 利用二项式定理证明
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.能解决与二项式定理有关的整除问题；
2.能利用二项式定理求值；
3.能利用二项式定理证明等式（或不等式）.
探究点一 利用二项式定理证明整除问题
例1（1） 证明 能被7整除.
证明: ,上式中各项均能被7整除,所以
能被7整除,得证.
（2）试求 除以8的余数.
解：,因为其展开式中除末项 外,其余的各项均含有8
这个因数,所以除以8的余数与 除以8的余数相同.
因为 ,其展开式中除末项1外,其余的各项均含有8这个因
数,所以 除以8的余数为1.
故 除以8的余数为1.
（3）求证 能被64整除.
证明:
，
上式中的每一项都含有 这个因数,故原式能被64整除.
变式（1） 若是正整数，则 除以7
的余数是______．
1或6
[解析] 根据二项式定理可知，
，又
当 为偶
数时，除以7的余数为1；当 为奇数时，除以7的余数为6.
（2）如果今天是星期二，那么经过 天后是星期____.
三
[解析] ，即 除以7的余数为1，故经过
天后是星期三.
［素养小结］
用二项式定理解决整除（或余数）问题时,一般需要先将底数写成除数
的整数倍加上或减去 的形式,再利用二项展开式求解.
拓展 已知，，用二项式定理证明:能被 整除.
证明:
，
,,是正整数，故 能
被 整除.
探究点二 利用二项式定理求值
例2（1） 已知 ，则
___.
6
[解析]
，即
，解得 .
（2）的近似值为_____.（精确到 ）
1.13
[解析] .
变式 的近似值是_______.（精确到 ）
[解析]
.
［素养小结］
利用二项式定理求值，需注意：
（1）已知展开式时，需准确找出定理中的, 在题目中的具体指向；
（2）求近似值时，能够运用二项式定理准确拆分与展开.
探究点三 利用二项式定理证明
例3（1） 求证：对任意正整数 ，
．
证明： ，
．
（2）利用二项式定理证明： ．
证明： 因为, ,所以
，
所以，所以 .
变式 证明： .
证明：因为, ，
所以，所以 .
［素养小结］
运用二项式定理证明时，根据所证式子进行适当变形，在不等式的证明中要对
式子进行适当的放缩.
1. 被7除的余数为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ，
展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以 被7除的余数
等于 被7除的余数，显然余数为3.故选D.
2. 等于( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] .故选C.
3.利用二项式定理计算 ，则其结果精确到0.01的近似值是( )
D
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
[解析] ．故选D.
4.利用二项式定理证明： ．
证明：因为， ，所以
，
所以 .
在利用二项式定理证明不等式时，可对展开式进行适当放缩.
1.利用二项式定理解决整除问题时，要巧妙构造二项式.
例1 [2023·山东泰安高二期中] 若，且能被17整除，则 的最
小值为( )
B
A.0 B.1 C.16 D.18
[解析] 由题意，
.
因为 能被17整除，而
能被17整除,所以 也能被 17 整除,所以
,,即,,所以 的最小值为1.故选B.
2.利用二项式定理证明不等式时，要学会准确拆分和适当放缩.
例2 若，求证： ．
证明： ，
．
综上，当时， ．第3课时　二项式定理的应用
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)证明:851-1=(7+1)51-1=×751+×750+…+×7+-1=×751+×750+…+×7,上式中各项均能被7整除,所以851-1能被7整除,得证.
(2)202310=(8×252+7)10,因为其展开式中除末项710外,其余的各项均含有8这个因数,所以202310除以8的余数与710除以8的余数相同.
因为710=495=(6×8+1)5,其展开式中除末项1外,其余的各项均含有8这个因数,所以710除以8的余数为1.
故202310除以8的余数为1.
(3)证明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=·8n+1+·8n+…+-8n-9=·8n+1+·8n+…+·82+(n+1)×8+1-8n-9=·8n+1+·8n+…+·82,
上式中的每一项都含有82这个因数,故原式能被64整除.
变式　(1)1或6　(2)三　[解析] (1)根据二项式定理可知,5n+5n-1+5n-2+…+5+1=6n=(7-1)n,又(7-1)n=7n-7n-1+7n-2-…+×7×(-1)n-1+(-1)n.当n为偶数时,除以7的余数为1;当n为奇数时,除以7的余数为6.
(2)8100=(7+1)100=×7100+×799+…+×7+×70=7100+×799+…+×7+1,即8100除以7的余数为1,故经过8100天后是星期三.
拓展　证明:nn-1-1=[(n-1)+1]n-1-1=[(n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)n-3+…+(n-1)+1]-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)n-3+…+(n-1)=(n-1)2[(n-1)n-3+(n-1)n-4+…+1],∵n≥3,n∈N,∴(n-1)n-3+(n-1)n-4+…+1是正整数,故-1能被(n-1)2整除.
探究点二
例2　(1)6　(2)1.13　[解析] (1)·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=(3+1)n=4n=212,即22n=212,解得n=6.
(2)1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+×0.025+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.
变式　0.941　[解析] 0.996=(1-0.01)6=1-×0.01+×0.012-×0.013+×0.014-×0.015+×0.016=1-0.06+0.001 5-0.000 02+…+0.016≈0.941.
探究点三
例3　证明:(1)∵k·==n,∴x(1-x)n-1+2x2(1-x)n-2+…+nxn=nx(1-x)n-1+nx2(1-x)n-2+…+nxn=nx[(1-x)n-1+x(1-x)n-2+…+xn-1]=nx[(1-x)+x]n-1=nx.
(2)因为n∈N*,n≥3,所以==+×+×+…+×=1++×+…+>>0,
所以>>0,所以<.
变式　证明:因为n∈N*,n>2,
所以3n=(2+1)n=2n+2n-1+2n-2+…+>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1.
【课堂评价】
1.D　[解析] 5050=(49+1)50=4950+×4949+×4948+…+×49+1,展开式中除最后一项外,其他各项都是7的整数倍,所以5050+9被7除的余数等于1+9=10被7除的余数,显然余数为3.故选D.
2.C　[解析] ·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+=(1+2)n=3n.故选C.
3.D　[解析] 1.056=(1+0.05)6=+×0.05+×0.052+×0.053+…+0.056=1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34.故选D.
4.证明:因为n≥3,n∈N*,所以3n=(1+2)n=×20+×21+×22+…+×2n>×20+×21+×22=1+2n+×4=1+2n+2n(n-1)=2n2+1,所以3n>2n2+1.第3课时　二项式定理的应用
【学习目标】
1.能解决与二项式定理有关的整除问题;
2.能利用二项式定理求值;
3.能利用二项式定理证明等式(或不等式).
◆ 探究点一　利用二项式定理证明整除问题
例1 (1)证明851-1能被7整除.
(2)试求202310除以8的余数.
(3)求证32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
变式 (1)若n是正整数,则5n+5n-1+5n-2+…+5+1除以7的余数是　　　　.
(2)如果今天是星期二,那么经过8100天后是星期　　　　.
[素养小结]
用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要先将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(0≤r拓展 已知n≥3,n∈N,用二项式定理证明:nn-1-1能被(n-1)2整除.
◆ 探究点二　利用二项式定理求值
例2 (1)已知·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=212,则n=　　　　.
(2)1.026的近似值为　　　　.(精确到0.01)
变式 0.996的近似值是　　　　.(精确到0.001)
[素养小结]
利用二项式定理求值,需注意:
(1)已知展开式时,需准确找出定理中的a,b在题目中的具体指向;
(2)求近似值时,能够运用二项式定理准确拆分与展开.
◆ 探究点三　利用二项式定理证明
例3 (1)求证:对任意正整数n,x(1-x)n-1+2x2(1-x)n-2+…+nxn=nx.
(2)利用二项式定理证明:<(n∈N*,n≥3).
变式 证明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,n>2).
[素养小结]
运用二项式定理证明时,根据所证式子进行适当变形,在不等式的证明中要对式子进行适当的放缩.
1.5050+9被7除的余数为 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于 (　 )
A.2n B.1 C.3n D.2n-1
3.利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是 (　 )
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
4.利用二项式定理证明:3n>2n2+1(n≥3,n∈N*).第3课时　二项式定理的应用
1.B　[解析] 32023=3×32022=3×91011=3×(8+1)1011=3(×81011×1+×81010×11+…
+×81×11010+×80×11011)=3(×81011×1+×81010×11+…+×81×11010)+3,其中3(×81011×1+×81010×11+…+×81×11010)是8的整数倍,故32023被8除的余数为3.故选B.
2.D　[解析] 因为11100-1=(10+1)100-1=10100+×1099+…+×102+×10+-1=10100+100×1099+…+4950×102+100×10=10100+10101+…+496 000,所以11100-1的结果的末尾连续零的个数为3.故选D.
3.C　[解析] a=+×2+×22+…+×220=(1+2)20=320=910=(1+8)10=+×8+×82+…+×810,则a被8除得的余数为1,所以b被8除得的余数也要为1.因为2021除以8余5,2023除以8 余7,2025除以8余1,2026除以8余2,所以b的值可以是2025.故选C.
4.B　[解析] 因为82028=(7+1)2028=×72028+×72027+…+×71+,所以82028除以7的余数为1,所以经过82028天后是星期四.故选B.
5.A　[解析] 9n+×9n-1+…+×9+=(9n+1+×9n+…+×92+×9+)-=(9+1)n+1-=(10n+1-1),∵9n+×9n-1+…+×9+是11的倍数,∴n+1为正偶数,即n为正奇数,故自然数n为奇数.故选A.
6.A　[解析] 原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1=×25-×24×0.002+×23×0.0022-…-×0.0025-1≈32-0.16-1=30.84.故选A.
7.B　[解析] (n≥2,n∈N)的展开式中含x项的系数为·2n-2,则+++…+=+++…+=2+++…+=2+++…+=2+++…+=2+4×=2+4×=.故选B.
8.BD　[解析] M=+…=+++…+-=(1+1)30-1=230-1=10243-1,所以M的个位数是3,若M+a能被5整除,则a除以5的余数应该是2,故选BD.
9.BD　[解析] 因为22028+a=8676+a=(7+1)676+a=×7676+×7675+…+×7×70+a=7×(×7675+×7674+…+)+1+a,且22028+a能被7整除,所以1+a是7的倍数,经验证a=6和a=13均符合题意.故选BD.
10.6　[解析] 227-2=89-2=(9-1)9-2=99-×98+×97-…+×9-1-2=9×(98-×97+×96-…+)-3,所以227-2除以9的余数为9-3=6.
11.6　[解析] 令x=1,得(5+1)2023=62023,62023=(-1+7)2023=-1+·7-·72+·73-…-·72022+72023=6-7+·7-·72+·73-…-·72022+72023,-7+·7-·72+·73-…-·72022+72023均能被7整除,所以余数为6.
12.np　[解析] ∵k====n,∴p(1-p)n-1+2p2(1-p)n-2+3p3(1-p)n-3+…+npn=np(1-p)n-1+np2(1-p)n-2+np3(1-p)n-3+…+npn=np[(1-p)n-1+(1-p)n-2p+…+pn-1]=np[(1-p)+p]n-1=np.
13.证明:∵(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,
∴(+x+x2+…+xn)·(+x+x2+…+xn)=(1+x)2n.
又是(1+x)2n的展开式中含xn的项的系数,++…+是(1+x)n(1+x)n的展开式中含xn的项的系数,∴++…+=.
故+++…+=.
14.解:(1)1010=(-1+11)10的展开式的通项为Tk+1=·(-1)10-k·11k,
所以1010除以11的余数为·(-1)10=1,
又0≤a<11,所以2+a=11,解得a=9.
(2)230-3=-3=810-3=(7+1)10-3=×710+×79+…+×7+-3=7×(×79+×78+…+)-2.
因为余数不能为负数,所以230-3除以7的余数为5.第3课时　二项式定理的应用
一、选择题
1.32023被8除的余数为 (　 )
A.1 B.3 C.5 D.7
2.11100-1的结果的末尾连续零的个数为 (　 )
A.7 B.5 C.4 D.3
3.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+×2+×22+…+×220,a≡b(mod 8),则b的值可以是 (　 )
A.2021 B.2023 C.2025 D.2026
4.[2023·江苏连云港高二期末] 如果今天是星期三,经过7天后还是星期三,那么经过82028天后是 (　 )
A.星期三 B.星期四
C.星期五 D.星期六
5.若9n+×9n-1+…+×9+是11的倍数,则自然数n为 (　 )
A.奇数 B.偶数
C.3的倍数 D.被3除余1的数
6.×0.998+×0.9982+×0.9983+×0.9984+×0.9985的近似值为(精确到0.01) (　 )
A.30.84 B.31.84
C.30.40 D.32.16
7.已知(n≥2,n∈N)的展开式中含x项的系数为f(n),则+++…+等于 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知M=+…,若M+a能被5整除,则实数a的值可能是 (　 )
A.6 B.7 C.11 D.12
9.(多选题)若22028+a能被7整除,则整数a的值可以是 (　 )
A.4 B.6 C.11 D.13
二、填空题
10.227-2除以9的余数为　　　　.
11.[2023·山东省实验中学高二期中] 二项式(5+x)2023的展开式中各项系数之和被7除所得余数为　　　　.
12.化简:p(1-p)n-1+2p2(1-p)n-2+3p3(1-p)n-3+…+npn=　　　　.
三、解答题
13.证明:()2+()2+()2+…+()2=.
14.(1)已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,求实数a的值;
(2)求230-3除以7的余数.

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