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5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第2课时 等比数列的性质
探究点一 等比中项的计算
探究点二 等比数列的性质及应用
探究点三 等比数列与等差数列的综合应用
【学习目标】
1.理解等比中项的概念及应用；
2.掌握等比数列的性质并能灵活应用.
知识点一 等比中项
1.如果,,是等比数列,那么称 为________________.
与的等比中项
2.根据等比中项与等比数列的定义可知,因此 ,由此可知
__________.这就是说,两个数,的等比中项有两个,分别为 和
.
3.充要条件：在一个等比数列中，中间的每一项都是它的前一项与后
一项的等比中项；反过来，如果一个数列中，中间的每一项都是它
的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若是，的等比中项，则 ，反之成立. ( )
×
[解析] 若是，的等比中项，则，显然成立；在 中，
若，则，中至少有一个为0，此时不是， 的等比中项.
（2）在等比数列中，，，则和 的等比中项
为8.
( )
×
[解析] 根据等比中项的定义可得，和 的等比中项为
.
2.等比中项和等差中项有什么区别
解：等比中项与等差中项的区别：
只有同号的两个实数才有等比中项,而且有两个等比中项,二者互为相
反数；任意两个实数都有等差中项,而且等差中项是唯一的.
知识点二 等比数列的性质
1.如果是等比数列,而且正整数,,,满足 ,那么
____________.
特别地,如果 ,那么__________.
2.数列是公比为 的等比数列.
①数列仍是等比数列,公比为___;数列 仍是等比数列,
公比为____.
②若，，成等差数列，则，， 成等比数列；
③的公比为 ；
④的公比为 ；
⑤若是公比为的等比数列，则是公比为 的等比数列,
是公比为 的等比数列；
⑥，，， 成等比数列，公比为 ；
⑦连续相邻项和（或积）构成公比为（或 ）的等比数列.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列是等比数列，则 是等比数列. ( )
√
[解析] 由等比数列的定义及性质可判断 是等比数列.
（2）将公比为的等比数列 依次取相邻两项的乘积组成新的数
列，，， ，则此数列是公比为 的等比数列.
( )
×
[解析] ，且 ，
是以 为公比的等比数列.
（3）已知 为等比数列,取其奇数项组成一个新数列,则此新数列
是等比数列.
( )
√
[解析] 设等比数列的公比为,其奇数项为,,, ,是公比为
的等比数列.
（4）若数列 的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，
则 是等比数列.
( )
×
（5）在等比数列中，若，则 . ( )
×
[解析] 不一定.当数列为非零常数列时结论不成立；
当数列为非常数等比数列时结论成立
探究点一 等比中项的计算
例1（1） 在等比数列中,,，则, 的等比中项为
( )
A.2 B. C.2或 D.4或
[解析] 由等比数列的等比中项的定义知，, 的等比中项为
.故选C.
√
（2）如果，，，，成等比数列，那么____， ___.
9
[解析] 因为是，的等比中项，所以，所以 ，
又等比数列中奇数项符号相同，所以，故.
因为是， 的等比中项，所以，即 .
变式（1） 已知1既是与的等比中项，又是与 的等差中项，则
的值是( )
A.1或 B.1或 C.1或 D.1或
[解析] 由题意得，，，
或
，的值为1或 .
√
（2）若数列为等比数列，且，数列 为等差数列，
且，则 ( )
A.4 B.8 C.16 D.24
[解析] 因为数列是等比数列，所以 ，
所以，所以，所以 .故选C.
√
［素养小结］
①等比中项可以与其他性质综合应用，可以简化计算、提高速度和
准确度；②等比中项可以用来判断或证明数列是等比数列；③等比
数列中所有的奇（偶）数项的符号是一致的.
拓展 已知,,且,,成等比数列，则 的最小值是
( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 因为,,成等比数列,所以.
由, , 得,,
所以 ,当且仅当,
即时取等号，
所以,故 的最小值是 .故选C.
√
探究点二 等比数列的性质及应用
例2 [2024·南京师大附中高二月考]若数列是公比为 的等比数列，
且，，则 的值为( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 由，
可得, ，且，
又 ，所以 .故选A.
√
［素养小结］
破解等比数列的性质及应用的问题的关键是灵活应用等比数列的性
质，即等比数列任意两项间的关系： ；若
，则 ；若
，则 .在应用等比数列这些
性质解题时，既需注意等比数列性质成立的前提条件，还需注意公
比的符号选择,必要时可分类讨论.
例3 [2023·北京人大附中高二期中]在等比数列中,“ 且公比
”是“ 为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当且 时,
,即 ,
所以为递增数列;
当为递增数列时,对任意 ,都有恒成立,
所以 恒成立,
当且或且时,上式成立.
故“ 且公比”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
变式 设是公比为的等比数列， ，令
，若数列有连续四项在集合, ,
19,37,中，则 ( )
A. B. C. D.2
√
[解析] ，且数列有连续四项在集合 ,
,19,37, 中，
数列有连续四项在集合,,18,36, 中，
又是公比为的等比数列， ，
数列的连续四项为，36， ，81，
， .故选B.
［素养小结］
当等比数列的公比满足 时，等比数列各项的绝对值递增，注
意 时各项为正负交替的数.
探究点三 等比数列与等差数列的综合应用
［提问］ 已知且，如果数列 是等差数列，那么数列
是否一定是等比数列？如果 是各项均为正数的等比数列，
那么{ 是否一定是等差数列？
解：是.是.
例4 已知为等差数列，为等比数列，且 ，
，则 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 由数列是等差数列，，可得 ，则
.
由数列是等比数列，，可得，则 ，
所以 .故选B.
√
变式 已知数列为等差数列，且, .
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，则 ，
所以解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）若数列满足，求证：数列 是等比数列.
证明：依题意得，因为 ，
所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列.
1.在等比数列中,若,,则 ( )
A.4 B. C. D.3
[解析] 方法一:设等比数列的公比为,则, ,
所以,则 .故选A.
方法二:由题意得,,成等比数列,所以,即 ,
所以 .故选A.
√
2.已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则
( )
A.6 B. C. D.
[解析] 由题意得，，则 ，
所以 .故选C.
√
3.在等比数列中,,是方程的两个根,则 的
值为( )
A.或 B. C. D.或
[解析] ,是方程的两个根,
, ,解得,或, ,
,，又与同号, .故选B.
√
4.已知数列满足，，则 的值为( )
A.4 B.2 C.5 D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，所以数列 的奇数项成等比数列，
所以 .
√
5.在各项均为正数的等比数列中， ，则
的最小值为__.
[解析] 因为，所以 ，
则或或或或
所以或或或或 .
故当，时，取得最小值 .
1.等比数列的性质中,尤其以“下标和”性质应用最多、最灵活,但使用
时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的不同,以免混淆致误,比较
如下表
等差数列 等比数列
条件 结论
2.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不同点
相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系; （2）结果都必须是常数 联系 3.用等比中项法证明数列 是等比数列
是等比数列.
4.等比数列的一些结论
（1）在等比数列中，每隔 项取出一项，按原来的顺序
排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 .
（2）在等比数列中，连续相邻项的和（或积）构成公比为
（或 ）的等比数列.
（3）若数列是各项都为正数的等比数列，则数列{ 是公差
为 的等差数列；
若数列是等差数列，公差为，则数列是以 且
为公比的等比数列.
（4）如果，均为等比数列，且公比分别为， ，那么数
列，，，仍是等比数列，且其公比分别为 ，
，， .
1.已知与 ,利用通项公式可以求等比数列中的任何一项,但运算不
一定简单.在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比
数列的性质,可以提高解题速度与解题的准确率.
例1 [2023·贵州遵义十八中高二月考]已知数列 为等比数列，
，，则 ( )
A.8 B.10 C.16 D.32
[解析] 因为，所以 ,
即，又，所以 ，
所以 .故选C.
√
2.等比数列的一些项构成等差数列,或等差数列的一些项构成等比数
列,要准确判断,正确应用定义与通项公式.
例2 在各项均为正数的等比数列中，若,, 成等差数列，
则 ( )
A.3或 B.9或1 C.3 D.9
[解析] 设等比数列的公比为，则.
因为,, 成等差数列,所以，即 ，
整理得，即.
因为，所以 .故 ,故选D.
√
3.等比数列的一些结论判断
例3 设数列 为等比数列，给出下列四个数列：
；为非零常数；； .
其中等比数列的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 设数列的公比为 .
， 是等比数列.
， 是等比数列.
， 是等比数列.
④当时，， 是
等比数列；
当时，，此时 不是等比数列.
故 不一定是等比数列.
综上可得，等比数列的个数为3.
例4 已知数列 是各项均为正数的等比数列，且
，.求数列 的通项公式.
解：因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比 ，
因为，所以，所以,则 .
由题易知,,是公比为的等比数列，所以,, 是公比
为 的等比数列.
因为，所以 ，
所以，所以，所以或 .
当时， ；
当时， .第2课时　等比数列的性质
【课前预习】
知识点一
1.x与y的等比中项　2.G=±
诊断分析
1.(1)× 　(2)× 　[解析] (1)若c是a,b的等比中项,则c2=ab,显然成立;在c2=ab中,若c=0,则a,b中至少有一个为0,此时c不是a,b的等比中项.
(2)根据等比中项的定义可得,a2和a10的等比中项为±=±=±8.
2.解:等比中项与等差中项的区别:
只有同号的两个实数才有等比中项,而且有两个等比中项,二者互为相反数;任意两个实数都有等差中项,而且等差中项是唯一的.
知识点二
1.asat=apaq　=apaq
2.①q　q2
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　　[解析] (1)由等比数列的定义及性质可判断是等比数列.
(2)∵=×=q·q=q2,n≥2且n∈N*,∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列.
(3)设等比数列{an}的公比为q,其奇数项为a1,a3,a5,…,是公比为q2的等比数列.
(5)不一定.当数列为非零常数列时结论不成立;当数列为非常数等比数列时结论成立.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)-3　9　[解析] (1)由等比数列的等比中项的定义知,a2,a6的等比中项为±=±2.故选C.
(2)因为b是-1,-9的等比中项,所以b2=9,所以b=±3,
又等比数列中奇数项符号相同,所以b<0,故b=-3.因为b是a,c的等比中项,所以b2=ac,即ac=9.
变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)由题意得,a2b2=(ab)2=1,+=2,∴或∵=,∴的值为1或-.
(2)因为数列{an}是等比数列,所以a3a11=(a7)2=8a7,所以a7=8,所以b7=a7=8,所以b5+b9=2b7=16.故选C.
拓展　C　[解析] 因为ln x,,ln y成等比数列,所以ln x·ln y=.由x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0,所以ln(xy)=ln x+ln y≥2=1,当且仅当ln x=ln y=,即x=y=时取等号,所以xy≥e,故xy的最小值是e.故选C.
探究点二
例2　A　[解析] 由log2a4+log2a13=log2a4a13=3,可得a4>0,a13>0,且a4a13=23=8,又a6a10=a4a12=4,
所以q==2.故选A.
例3　A　[解析] 当a1>0且q>1时,an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1qn-1(q-1)>0,即an+1>an,所以{an}为递增数列;当{an}为递增数列时,对任意n∈N*,都有>an恒成立,所以an+1-an=a1·qn-1(q-1)>0恒成立,当a1<0且00且q>1时,上式成立.故“a1>0且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
变式　B　[解析] ∵bn=an+1(n∈N*),且数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,
∴数列{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,
又{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,
∴数列{an}的连续四项为-24,36,-54,81,
∴q==-,∴=.故选B.
探究点三
提问 解:是.是.
例4　B　[解析] 由数列{an}是等差数列,a7+a9=4,可得2a8=4,则a8=2.
由数列{bn}是等比数列,b2b6b10=27,可得=27,则b6=3,
所以===.故选B.
变式　解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,所以解得所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)证明:依题意得bn==22n=4n,因为==4,所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列.
【课堂评价】
1.A　[解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,则a6=a3·q3,a9=a6·q3,所以q3===,则a3===6×=4.故选A.
方法二:由题意得a3,a6,a9成等比数列,所以=a3·a9,即36=9a3,所以a3=4.故选A.
2.C　[解析] 由题意得a==,b2=(-1)×(-16)=16,则b=±4,所以ab=±6.故选C.
3.B　[解析] ∵a2,a14是方程x2-5x+6=0的两个根,∴a2+a14=5,a2·a14=6,解得a2=2,a14=3或a2=3,a14=2,∴a2·a14==6,∴a8=±,又a8与a2同号,∴a8=.故选B.
4.A　[解析] 因为anan+1=2n,所以an-1an=2n-1(n≥2),所以=2(n≥2),所以数列{an}的奇数项成等比数列,所以=22=4.
5.　[解析] 因为aman=(m,n∈N*),所以m+n=6,
则或或或或
所以+=或或或或.
故当m=4,n=2时,+取得最小值.第2课时　等比数列的性质
【学习目标】
1.理解等比中项的概念及应用;
2.掌握等比数列的性质并能灵活应用.
◆ 知识点一　等比中项
1.如果x,G,y是等比数列,那么称G为　　　　　　　　　.
2.根据等比中项与等比数列的定义可知=,因此G2=xy,由此可知　　　　　　.这就是说,两个数x,y的等比中项有两个,分别为和-.
3.充要条件:在一个等比数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项;反过来,如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列一定是等比数列.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若c是a,b 的等比中项,则c2=ab,反之成立. (　 )
(2)在等比数列{an}中,a2=4,a10=16,则a2和a10的等比中项为8. (　 )
2.等比中项和等差中项有什么区别
◆ 知识点二　等比数列的性质
1.如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,那么　　　　　　　.
特别地,如果2s=p+q,那么　　　　　　.
2.数列{an}是公比为q的等比数列.
①数列{kan}(k≠0)仍是等比数列,公比为　　　　;数列{}仍是等比数列,公比为　　　　.
②若m,n,p成等差数列,则am,an,ap成等比数列;
③的公比为;
④{|an|}的公比为|q|;
⑤若{bn}是公比为p的等比数列,则{anbn}是公比为pq的等比数列,是公比为的等比数列;
⑥ak,ak+m,ak+2m,…成等比数列,公比为qm;
⑦连续相邻k项和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}是等比数列,则是等比数列. (　 )
(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是公比为2q的等比数列. (　 )
(3)已知{an}为等比数列,取其奇数项组成一个新数列,则此新数列是等比数列. (　 )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　 )
(5)在等比数列 {an}中,若 am·an=ap·ar,则m+n=p+r. (　 )
◆ 探究点一　等比中项的计算
例1 (1)在等比数列{an}中,a2=1,a6=4,则a2,a6的等比中项为 (　 )
A.2 B.-4
C.2或-2 D.4或-4
(2)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=　　　　,ac=　　　　　.
变式 (1)已知1既是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是 (　 )
A.1或 B.1或-
C.1或 D.1或-
(2)若数列{an}为等比数列,且a3a11=8a7,数列{bn}为等差数列,且b7=a7,则b5+b9= (　 )
A.4 B.8
C.16 D.24
[素养小结]
①等比中项可以与其他性质综合应用,可以简化计算、提高速度和准确度;②等比中项可以用来判断或证明数列是等比数列;③等比数列中所有的奇(偶)数项的符号是一致的.
拓展 已知x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,则xy的最小值是 (　 )
A.1 B. C.e D.2
◆ 探究点二　等比数列的性质及应用
例2 [2024·南京师大附中高二月考] 若数列{an}是公比为q的等比数列,且log2a4+log2a13=3,a6a10=4,则q的值为 (　 )
A.2 B.4
C.±2 D.±4
[素养小结]
破解等比数列的性质及应用的问题的关键是灵活应用等比数列的性质,即等比数列{an}任意两项间的关系:an=amqn-m;若n+m=2p(p,m,n∈N*),则anam=;若p+q=r+s(p,q,r,s∈N*),则apaq=aras.在应用等比数列这些性质解题时,既需注意等比数列性质成立的前提条件,还需注意公比的符号选择,必要时可分类讨论.
例3 [2023·北京人大附中高二期中] 在等比数列{an}中,“a1>0且公比q>1”是“{an}为递增数列”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式 设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n∈N*),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则= (　 )
A. B.
C. D.2
[素养小结]
当等比数列的公比q满足|q|>1时,等比数列各项的绝对值递增,注意q<0时各项为正负交替的数.
◆ 探究点三　等比数列与等差数列的综合应用
[提问] 已知b>0且b≠1,如果数列{an}是等差数列,那么数列{}是否一定是等比数列 如果{an}是各项均为正数的等比数列,那么{logban}是否一定是等差数列
例4 已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且a7+a9=4,b2b6b10=27,则= (　 )
A. B.
C.2 D.4
变式 已知数列{an}为等差数列,且a3=5,a7=13.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求证:数列{bn}是等比数列.
1.在等比数列{an}中,若a6=6,a9=9,则a3= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B. C. D.3
2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab= (　 )
A.6 B.-6 C.±6 D.±12
3.在等比数列{an}中,a2,a14是方程x2-5x+6=0的两个根,则a8的值为 (　 )
A.-或 B.
C.- D.或-
4.已知数列{an}满足a1=5,an=2n,则的值为 (　 )
A.4 B.2 C.5 D.
5.在各项均为正数的等比数列{an}中,aman=(m,n∈N*),则+的最小值为　　　　. 第2课时　等比数列的性质
1.C　[解析] 设等比中项为a,则a2=×=,所以a=-或a=.故选C.
2.A　[解析] 若1,a1,a2,4成等差数列,则4=1+3d(d为公差),所以d=1,所以a1-a2=-1.
若1,b1,b2,b3,4成等比数列,则=1×4,解得b2=2或b2=-2(舍去)(等比数列奇数项的符号相同).
所以=-,故选A.
3.B　[解析] 由已知得则a4>0,a8>0,又a4a8==16,a6的符号与a4 和a8相同,所以a6=4.故选B.
【易错】 在等比数列{an}中,若=ap·aq,m,p,q∈N*,则当m与p或q的奇偶性相同时,am,ap,aq的符号一致.
4.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,∵log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22,∴a2a13=2且a2>0,a13>0,∴a13=a2q11>0,∴q>0.∵a2a13=a6a9=2,a5a6a8a9=16,∴a5a8=8,∴==q2=,∴q=.故选B.
5.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,则q===2,所以a4+a6+a8=(a2+a4+a6)q2=×4=10.故选C.
6.C　[解析] 设方程(x2-mx+27)(x2-nx+27)=0的四个根由小到大依次为a1,a2,a3,a4.不妨设x2-mx+27=0的一个根为1,则1-m+27=0,解得m=28,所以方程x2-mx+27=0的另一个根为27.由等比数列的性质可知a1a4=a2a3=27,所以a1=1,a4=27,所以等比数列a1,a2,a3,a4的公比q==3,所以a2=1×3=3,a3=1×32=9,则n=3+9=12,所以|m-n|=|28-12|=16.故选C.
7.C　[解析] 设等比数列{bn}的公比为q(q>0),
若q=1,则b3=b9,得a3=a9,则d=0,不符合题意,
所以q≠1,an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1.
令an=bn,得a1+(n-1)d=b1qn-1,即n+q=qn①,设A=,B=q,C=q,则A≠0,C>0且C≠1,
则①式可变为An+B=Cn,
由题意知n=3和n=9是方程An+B=Cn的两个解.
令f(x)=Ax+B(A≠0),g(x)=Cx(C>0且C≠1),
则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象至少有2个交点,
作出两个函数的大致图象,如图,
当函数f(x)与g(x)的单调性相同时,f(n)=g(n)(n∈N*)才会有2个解,且无论哪种情况,都有当n∈[1,3)时,f(n)当n∈(3,9)时,f(n)>g(n);当n∈(9,+∞)时,f(n)g(6),f(8)>g(8),f(12)b6,a8>b8,a128.AB　[解析] ∵公比q不为1,∴删去的数不是a1与a4.当删去的是a2时,∵a1,a3,a4成等差数列,∴2a3=a1+a4,即2a1q2=a1+a1q3,可得q=;当删去的是a3时,∵a1,a2,a4成等差数列,∴2a2=a1+a4,即2a1q=a1+a1q3,可得q=.综上,q=或q=.故选AB.
9.BCD　[解析] 对于A,若等差数列{an}的公差为0,则无意义,故A错误;
对于B,假设等差比数列的公差比为0,则=0,即an+2-an+1=0,an+1-an≠0,
此时≠0(n≥2),与题目矛盾,故B正确;
对于C,若an=-3n+2,则=3,所以数列{an}是等差比数列,故C正确;
对于D,若等比数列是等差比数列,则an=a1qn-1,q≠1,
则===q,故D正确.故选BCD.
10.8192　[解析] 因为{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a7-=0,解得a7=0或a7=2,又b7=a7,所以a7≠0,所以b7=a7=2,所以b1·b2·…·b13=(b1·b13)·(b2·b12)·…·b7==213=8192.
11.1012　[解析] 设{bn}的公差为d,∵数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*),
∴bn+1=log2an+1,则bn+1-bn=log2=d,∴=2d,∴{an}为等比数列,
∴b1+b2024=log2a1+log2a2024=log2(a1a2024)=log2(a10a2015)=1,
∴b1+b2+…+b2024==1012.
12.1024　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a2·a3=2a1,所以a1q·a1q2=2a1,所以a4=a1q3=2.因为a4与2a7的等差中项为,所以a4+2a7=2×,即a4+2a4·q3=2×,即2+4q3=,解得q=,所以a1==16,所以an=16×=25-n,所以a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,所以数列{an}的前4项或前5项的积最大,且最大值为16×8×4×2=1024.
13.解:(1)设{an}的公比为q,q>0,
∵a2+a3=12,∴a1q+a1q2=12,
又a1=2,∴2q+2q2=12,
解得q=2或q=-3(舍去),∴an=2n.
(2)ln a1=ln 2,
当n≥2时,ln an-ln an-1=ln =ln 2,
∴数列{ln an}是首项为ln 2,公差为ln 2的等差数列,
∴ln a1+ln a2+…+ln an=n·ln 2+ln 2=ln 2.
14.解:设数列{an}的公比为q(q>0),
因为a1+a2=2·,
所以a1+a1q=2=2·,即a1=①.
因为a3+a4+a5=64,
所以a3(1+q+q2)=64=64·,即a3=②.
由①②可得q=2,a1=1,
所以an=2n-1(n∈N*).
15.A　[解析] 由log2a1+log2a2+…+log2a2024=
log2(a1a2·…·a2024)<0,
得0又a1>0,q>1,所以0由log2a1+log2a2+…+log2a2025=log2(a1a2·…·a2025)>0,
得a1a2·…·a2025>1,即>1,则a1013>1,
所以0所以当a1a2…an最小时n=1012.故选A.
16.解:∵-anan-1-3an-1-9=0,
∴(an+3)(an-3)-an-1(an+3)=0,
即(an+3)(an-3-an-1)=0,
∵a1=1,∴an-an-1=3,∴{an}是首项为1,公差为3的等差数列,∴an=1+3×(n-1)=3n-2(n∈N*).
若a1,an,am成等比数列,则=a1·am,
即(3n-2)2=3m-2,
整理得m=3n2-4n+2=3+.
∵n>1且n为正整数,∴当n=2时,m取得最小值6,
故存在大于2的自然数m,使得a1,an,am成等比数列,m的最小值为6.第2课时　等比数列的性质
一、选择题
1.与的等比中项是 (　 )
A. B.-
C.-或 D.
2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则= (　 )
A.- B.
C.± D.
★3.[2023·哈尔滨师大附中高二期中] 在等比数列{an}中,a4与a8是方程x2-9x+8=0的两个根,则a6= (　 )
A.±4 B.4 C.-2 D.-4
4.[2023·天津河东区高二期末] 已知等比数列{an}满足log2a2+log2a13=1,且a5a6a8a9=16,则等比数列{an}的公比为 (　 )
A.2 B.
C.±2 D.±
5.[2024·四川达州外国语学校高二月考] 在等比数列{an}中,a1+a3+a5=,a2+a4+a6=,则a4+a6+a8= (　 )
A. B.5 C.10 D.20
6.已知方程(x2-mx+27)(x2-nx+27)=0的四个根组成以1为首项的等比数列,则|m-n|=(　 )
A.8 B.12 C.16 D.20
7.已知等差数列{an}的公差d≠0,数列{bn}是各项都为正数的等比数列,且a3=b3,a9=b9,则下列结论中正确的是 (　 )
A.a2>b2 B.a6C.a8>b8 D.a12>b12
8.(多选题)已知a1,a2,a3,a4依次成等比数列,且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序排列)是等差数列,则正数q的值可以是 (　 )
A. B.
C. D.
9.(多选题)在数列{an}中,若对任意n∈N*都有=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k称为公差比.下列说法中正确的是 (　 )
A.等差数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列
D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比
二、填空题
10.[2023·武汉华中科大附中高二月考] 在公差不为零的等差数列{an}中,a3-+a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b1·b2·…·b13=　　　　.
11.已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*),其中{bn}是等差数列,若a10a2015=2,则b1+b2+…+b2024=　　　　.
12.已知数列{an}为等比数列,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则a1·a2·a3·…·am的最大值为　　　　.
三、解答题
13.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=2,a2+a3=12.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求ln a1+ln a2+…+ln an.
14.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2,a3+a4+a5=64,求数列{an}的通项公式.
15.[2024·山西晋城高二期末] 已知等比数列{an}满足a1>0,公比q>1,且log2a1+log2a2+…+log2a2024<0,log2a1+log2a2+…+log2a2025>0,则当a1a2…an最小时n= (　 )
A.1012 B.1013
C.2022 D.2023
16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,-an·an-1-3an-1-9=0,则对大于1的自然数n,是否存在大于2的自然数m,使得a1,an,am成等比数列 若存在,求出m的最小值;若不存在,说明理由.

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