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5.3 等比数列
5.3.2 等比数列的前项和
第2课时 等比数列的前 项和的性质及其应用
探究点一 等比数列前项和的性质及应用
探究点二 等比数列奇数项与偶数项和的关系
探究点三 等比数列前项和公式的实际应用
探究点四 等比数列前项和的其他性质
探究点五 等差数列与等比数列综合问题
【学习目标】
1.掌握等比数列前 项和的性质及其应用；
2.会解决等比数列前 项和的应用问题；
3.能解决等差数列和等比数列的综合问题.
知识点一 等比数列前 项和的函数性质
在等比数列的前项和公式中,当时,如果令,那么
_________.从函数的角度看, 的图象必过______,可以将指数函
数 的图象上所有点的纵坐标变为原来的_____,再向上或向下平
移____个单位得到（时向下平移, 时向上平移）.
原点
倍
【诊断分析】
已知等比数列的前项和,则 ___.
1
[解析] 由，可得 .
知识点二 等比数列前 项和的性质
1.若数列是等比数列,是其前项和, ,那么___,_________,
__________成等比数列，公比为（注意：这连续 项的和必须非零
才能成立）.如图所示.
2.奇数项和与偶数项和的关系：设数列是公比为的等比数列,
是其奇数项和,是其偶数项和,则数列的前项和 ,
有如下性质：
（1）当为偶数时, ___;
（2）当为奇数时, ___.
3.，， .
4.当时，;当时， .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在等比数列中,是其前项和,则,, 成等比数列. ( )
×
[解析] 取常数列1,1,1, ,则,, ,不成等比数列.
（2）在等比数列中,是其前项和,则,, 成
等比数列.
( )
×
[解析] 取数列,1,, ,则,, ,不
成等比数列.
（3）在等比数列中,是其前项和,则, ,
成等比数列.
( )
√
[解析] 当时,, ,
,,, 成等比数列;
当时, ,,
,
因为,所以,, 构成公比为
的等比数列.
（4）对于公比的等比数列的前项和公式， 的系数为
.
( )
√
[解析] 设等比数列的前项和为，当 时，
，则的系数为 .
（5）已知数列的前项和 ，则数列
一定是等比数列.
( )
×
[解析] 当时， 不是等比数列.
探究点一 等比数列前 项和的性质及应用
［提问］ 在等差数列中,为其前项和，我们知道 ,
,, 仍构成等差数列.在等比数列中, 为其前
项和，若连续项的和不等于0,那么,,, 仍
构成等比数列吗 为什么
解：,,, 仍构成等比数列.
在等比数列中，,, .
同理, ,
则当时,,,, 仍构成等比数列.
例1（1） 记等比数列的前项和为，若, ，则
( )
A.24 B.28 C.48 D.84
[解析] 由等比数列前项和的性质，可得,, 成等比数列，
所以，即 ，
解得 .故选D.
√
（2）已知等比数列的前项和为12，前项和为48，则前 项
和为( )
A.324 B.480 C.108 D.156
[解析] 设等比数列的前项和为，则, ，
由等比数列前项和的性质知,,, 成等比数列，
则,可得 ,
又,所以 .故选B.
√
变式 [2024·南昌高二期末] 在各项均为正数的等比数列中，
为其前项和，若,，则 的值为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
[解析] 由,，得, ，
因为数列为等比数列，所以,, 成等比数列，
所以，所以 ，
整理得,解得或 ，
因为等比数列的各项都为正数，所以，所以 .故选D.
√
［素养小结］
若等比数列的前项和为，则，， ，
， 成等比数列（其中，，， 均不
为0）.这一性质可直接应用，但在解题中需注意该性质的使用条件，
即公比或公比且为奇数时，，，
成等比数列.
探究点二 等比数列奇数项与偶数项和的关系
例2（1） 已知等比数列共有 项，其和为240，且
，则公比 ___.
2
[解析] 由题意知，，
，， .
（2）在等比数列中，， ，
，则 ___.
3
[解析] 设等比数列的公比为 ，
则 ，
即，解得 ，
所以 ，
即，解得 .
变式（1） 已知等比数列共有32项，其公比 ，且奇数项之
和比偶数项之和小60，则数列 的所有项之和是( )
A.30 B.60 C.90 D.120
[解析] 设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 ,
则 ，
，
因为，所以，可得, ，
所以数列的所有项之和是 .故选D.
√
（2）[2024·云南保山腾冲八中高二期末] 已知等比数列 的首项
为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为 ，则这个等
比数列的公比 ___.
[解析] 设数列共有项， ,
由题意得 ，
，
则，解得 .
［素养小结］
若等比数列共有项，则， ；若等比数列
共有项，则， ．要注意
公比和 两种情形．
探究点三 等比数列前 项和公式的实际应用
［提问］ 什么是复利问题？复利计算属于哪种数列模型？
解：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的
数额不同.以符号代表本金，代表存期，代表利率， 代表本金与
利息和（简称本利和），
那么 ，所以复利计算属于等比数列模型.
例3 某家庭打算以一年定期的方式向银行存款，计划从2025年起，
每年年初向银行存入元，年利率 保持不变，并按复利计算，到203
5年年初不再存款，直接将所有存款和利息全部取出，共取出多少元
解：设从2025年年初到2034年年初每年存入的 元到2035年年初的本
利和构成数列，
则 ，， ，，
故数列 是以为首项， 为公比的等比数列，
所以到2035年年初这个家庭共取出
（元）.
变式 [2024·山东烟台高二期末] 某商场计划销售， 两种品牌商品.
据市场调研，销售 品牌商品第一年的利润为3.8万元，预计以后每
年利润比上一年增加0.5万元；销售 品牌商品第一年的利润为4万元，
预计以后每年利润的增长率为.设，分别为销售， 两种品
牌商品第 年的利润（单位：万元）.
（1）试比较销售， 两种品牌商品前10年总利润的大小；
解：品牌商品年销售利润构成首项为 ，公差为0.5的等差数列，
B品牌商品年销售利润构成首项为4，公比为1.08的等比数列，
设销售，品牌商品前年总利润分别为， ，
则 （万元），
（万元），所以 ，
所以品牌商品前10年的总利润比 品牌商品前10年的总利润大.
（2）第几年销售品牌商品较销售 品牌商品在同一年的利润差
最大？
参考数据：，， ，
， .
解：因为， ，
所以 ，
则 ，
.
由，， ，
令，得 ，
令，得 ，
所以，，所以 .
故第7年时 最大.
［素养小结］
解数列应用题的具体方法步骤:
（1）认真审题，准确理解题意.
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题、等比数列
问题，还是含有递推关系的数列问题.明确是求，还是求 ，特别
要注意准确弄清项数是多少.
②明确题目中主要的已知量和关系.
（2）抓住数量关系，联系数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，
将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
（3）将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满
足题意的数学关系式.
探究点四 等比数列前 项和的其他性质
例4（1） 设等比数列的公比为，前项和为，前项积为 ，
若,， ，则下列说
法中不正确的是( )
A. B.
C. D.是数列 中的最大项
√
[解析] 因为， ，
所以或
又为等比数列， ,所以，
故A中说法不正确；
，故B中说法正确；
，故C中说法正确；
因为,, ,,,, ，
所以是数列 中的最大项，故D中说法正确.故选A.
（2）[2024·河北邢台高二期中] 已知等比数列的前项和为 ，
若，则 ____.
[解析] 设等比数列的公比为 ，
则 ，
因为，所以 .
变式 [2024·浙江温州高二期中]已知为等比数列，和 分别为
的前项和与前 项积，则下列说法错误的是( )
A.若，则 不一定是递增数列
B.若，则 不一定是递增数列
C.若为递增数列，则可能存在
D.为是递增数列，则 一定成立
√
[解析] 对于A，当为1,,1,,1,,1,, 时， ，
，，满足，但 ，
所以 不是递增数列，故A中说法正确；
对于B，当为1,,1,,1,,1,, 时， ，
，，满足，但 ，
所以 不是递增数列，故B中说法正确；
对于C，当时， 为递增数列，
此时 ，故C中说法正确；
对于D，当时，，满足 是递增数列，
但是 ，故D中说法错误.故选D.
［素养小结］
（1）数列是等比数列，通项公式为，数列 的通
项公式可看作指数型函数，即 ；
（2）数列是等比数列，前 项和为
，
是指数型函数.
（3）当时，若，则等比数列是递增数列；若 ，
则等比数列是递减数列．当时，等比数列 是非零的常
数列．当时，若，则等比数列 是递减数列；若
，则等比数列是递增数列．当时，等比数列 是
摆动数列．
探究点五 等差数列与等比数列综合问题
例5 （多选题）[2024·辽宁育明中学高二期中] 已知数列的前
项和为 ，下列说法正确的是( )
A.若是等差数列，,，则使 的
最大正整数 的值为15
B.若是等比数列，（为常数），则必有
C.若是等比数列，则
D.若,，则数列 为递增的等差数列
√
√
[解析] 对于A，若是等差数列，, ，
则,，则,，
所以使 的最大正整数 的值为30，故A错误；
对于B，若是等比数列， ，
则，
所以 是首项为4，公比为5的等比数列，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，若是等比数列，则 故C错误；
对于D，若 ,
则 ，
所以，所以 ，
即，所以，
所以 是以4为首项，4为公差的递增的等差数列，故D正确.故选 .
变式 在等差数列中，, .
（1）求数列的公差 及通项公式；
解：由题意知解得
所以 .
（2）记，求数列的前项和 .
解：由（1）知 ，
则 .
［素养小结］
等差数列与等比数列综合问题的求解,会涉及两类特殊数列各方面的
知识与思想方法,所以要记清两类数列的定义、公式、性质,以便于综
合运用,灵活解题.
1.记等比数列的前项和为，若，，则
( )
A.12 B.18 C.21 D.27
[解析] 因为为等比数列的前项和，且， ，
所以等比数列的公比,所以,, 成等比数列,
所以，即，解得 .
故选C.
√
2.[2023·沈阳高二期中]已知等比数列的前项和为,若 ,则
( )
A. B. C. D.
[解析] 是等比数列,,, 也成等比数列,
设,,由,得,, ,
, .故选D.
√
3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将
自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细
菌将病毒全部杀死至少需要( )
A.4秒钟 B.5秒钟 C.6秒钟 D.7秒钟
√
[解析] 1秒时，新被杀死的病毒为1个，细菌自身增长为3个；
2秒时，新被杀死的病毒为3个，细菌自身增长为 个；
3秒时，新被杀死的病毒为个，细菌自身增长为个；…；
以此类推, 秒时，新被杀死的病毒为个，细菌自身增长为个，
故 秒钟累计被杀死的病毒的个数为，
由 ，得，即，可得, .故选B.
4.已知等比数列的公比，且 ，
则 _____.
120
[解析] 在等比数列中，若项数为，则 ，
所以
.
5.[2023·江苏连云港高二期末] 在等比数列中，公比 ，前10
0项和，则 的值是____．
50
[解析] 设 ，
，
则 ，
则 ，
所以 .
1.等比数列与等差数列的联系
（1）一般地,如果是等差数列,公差为,且 且
,那么数列是等比数列,公比 .
（2）一般地,如果是各项均为正数的等比数列,公比为 ,且
且,那么数列为等差数列,公差 .
2.等比数列的前 项和公式与函数的关系
（1）当公比时,等比数列的前项和公式是 ,它可以
变形为,设,上式可写成 .
由此可见,非常数列的等比数列的前项和是由关于 的一个指数式
与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数互为相反数.当公比
时,因为,所以,是 的正比例函数（常数项为0的
一次函数）.
（2）当公比时,的图象是函数 图象上的一
群孤立的点.当公比时,的图象是正比例函数 图象
上的一群孤立的点.
1.等比数列基本量运算是等比数列的通项公式与前 项和公式的直接应
用,属通性通法.在等比数列的通项公式和前 项和公式中共有五个
量：,,,, ,一般可以“知三求二”,通过列方程组求出另外两个量.
例1 设等比数列的前项和为,已知, ，求
和 .
解：设的公比为,由题设得
解得或
当,时,, ;
当,时,, .
2.等比数列前项和的重要性质：（1）等比数列的前项和 ，
满足，，，， 成等比数列
（其中，，， 均不为0），这一性质可直接应
用.（2）等比数列的项数是偶数时， ；等比数列的项数是奇数
时， .
例2 [2023·武汉高二期中]已知等比数列的前项和为 ，且
，，，则 ( )
A.27 B.45 C.65 D.73
[解析] 由等比数列前项和的性质可知，， ，
成等比数列，
所以，即 ，
整理得，解得（舍去）或 .
因为 ，
所以，解得 .
故选C.
√
例3 若等比数列共有项，其和为 ，且奇数项的和比偶数
项的和大80，则的公比 ___.
2
[解析] 由题意知
.
例4 设等比数列的前项和为，已知， ，求
的值.
解：由等比数列前项和的性质，可知，，， ，
， 成等比数列.
由，，得 ，
所以 .第2课时　等比数列的前n项和的性质及其应用
【课前预习】
知识点一
Aqn-A　原点　A倍　|A|
诊断分析
1　[解析] 由Sn=Aqn-A=2n-a,可得a=1.
知识点二
1.Sk　S2k-Sk　-　2.(1)q　(2)q　
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　[解析] (1)取常数列1,1,1,…,则=2n,=4n,=6n,不成等比数列.
(2)取数列-1,1,-1,…,则=0,-=0,-=0,不成等比数列.
(3)当q=1时,=(2n+1)a1,-=(2n+1)a1,S6n+3-S4n+2=(2n+1)a1,S2n+1,S4n+2-S2n+1,S6n+3-S4n+2成等比数列;当q≠1时,=,-=,-=,因为1-≠0,所以S2n+1,S4n+2-S2n+1,S6n+3-S4n+2构成公比为q2n+1的等比数列.
(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn,当q≠1时,Sn==-,则qn的系数为.
(5)当b≠-1时,{an}不是等比数列.
【课中探究】
探究点一
提问 解:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等比数列.
∵在等比数列{an}中,am+n=amqn,∴Sm=a1+a2+…+am,S2m-Sm=++…+a2m=a1qm+a2qm+…+amqm=(a1+a2+…+am)qm=Sm·qm.同理S3m-S2m=Sm·q2m,…,
则当Sm≠0时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等比数列.
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)由等比数列前n项和的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=S2×(S6-S4),即(20-4)2=4×(S6-20),解得S6=84.故选D.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk=12,S2k=48,由等比数列前n项和的性质知Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k成等比数列,则(S2k-Sk)2=Sk(S3k-S2k),可得S3k=156,又(S3k-S2k)2=(S2k-Sk)(S4k-S3k),所以S4k=480.故选B.
变式　D　[解析] 由S30=3S10,S10+S30=80,得S10=20,S30=60,因为数列{an}为等比数列,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),所以(S20-20)2=20(60-S20),整理得-20S20-800=0,解得S20=-20或S20=40,因为等比数列{an}的各项都为正数,所以Sn>0,所以S20=40.故选D.
探究点二
例2　(1)2　(2)3　[解析] (1)由题意知S奇+S偶=240,S奇-S偶=-80,∴S奇=80,S偶=160,∴q==2.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2kq=85,
即a1+q(a2+…+a2k)=1+42q=85,解得q=2,
所以a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=,即128=22k+1,解得k=3.
变式　(1)D　(2)　[解析] (1)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,
则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1,
因为S1+60=S2,所以S1+60=3S1,可得S1=30,S2=90,
所以数列{an}的所有项之和是30+90=120.故选D.
(2)设数列{an}共有(2m+1)项,m∈N*,
由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=,S偶=a2+a4+…+a2m=,则S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+q=,解得q=.
探究点三
提问 解:把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额不同.以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(简称本利和),那么S=P(1+r)n,所以复利计算属于等比数列模型.
例3　解:设从2025年年初到2034年年初每年存入的a元到2035年年初的本利和构成数列{an}(1≤n≤10),则a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,…,a10=a(1+p),故数列{an}(1≤n≤10)是以a(1+p)10为首项,为公比的等比数列,所以到2035年年初这个家庭共取出=[(1+p)11-(1+p)](元).
变式　解:(1)A品牌商品年销售利润构成首项为3.8,公差为0.5的等差数列,
B品牌商品年销售利润构成首项为4,公比为1.08的等比数列,
设销售A,B品牌商品前n年总利润分别为Sn,Tn,
则S10=10×3.8+×0.5=60.5(万元),
T10=≈57.95(万元),所以S10>T10,
所以A品牌商品前10年的总利润比B品牌商品前10年的总利润大.
(2)因为an=0.5n+3.3,bn=4×(1.08)n-1,
所以cn=an-bn=0.5n+3.3-4×(1.08)n-1,
则cn+1=0.5(n+1)+3.3-4×(1.08)n,cn-1=0.5(n-1)+3.3-4×(1.08)n-2.
由1.085≈1.469,1.086≈1.587,1.087≈1.714,
令cn≥cn-1,得1.08n-2≤1.562 5,
令cn≥cn+1,得1.08n-1≥1.562 5,
所以n-1>5,n-2<6,所以n=7.
故第7年时cn=an-bn最大.
探究点四
例4　(1)A　(2)-　[解析] (1)因为a2023·a2024>1,(a2023-1)·(a2024-1)<0,所以或又{an}为等比数列,a1>1,所以0S2024=S2023+a2024>S2023,故B中说法正确;
a2023·a2025=<1,故C中说法正确;
因为a1>1,a2>1,…,a2023>1,0(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠1),则Sn==-,
因为Sn=4×3n-1+t=×3n+t,所以t=-.
变式　D　[解析] 对于A,当{an}为1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…时,S2023=1,S2022=0,S2021=1,满足S2023≥S2022,但S2021>S2022,所以{Sn}不是递增数列,故A中说法正确;
对于B,当{an}为1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…时,T2023=-1,T2024=1,T2026=-1,满足T2024≥T2023,但T2026对于C,当an=时,{Sn}为递增数列,此时a2022=对于D,当an=2时,Tn=2n,满足{Tn}是递增数列,但是a2022=a2021=2,故D中说法错误.故选D.
探究点五
例5　BD　[解析]　对于A,若{an}是等差数列,a15+a16>0,a15+a17<0,则a1+a30>0,a1+a31<0,则S30>0,S31<0,所以使Sn>0的最大正整数n的值为30,故A错误;
对于B,若{an}是等比数列,Sn=5n+c,则an=Sn-Sn-1=5n+c-5n-1-c=4×5n-1(n≥2),所以{an}是首项为4,公比为5的等比数列,所以Sn==5n-1,所以c=-1,故B正确;
对于C,若{an}是等比数列,则Sn=故C错误;
对于D,若an+4Sn-1Sn=0(n≥2),则Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0(n≥2),所以Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn(n≥2),所以=-4(n≥2),即-=-4(n≥2),所以-=4(n≥2),所以是以4为首项,4为公差的递增的等差数列,故D正确.故选BD.
变式　解:(1)由题意知解得
所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.
(2)由(1)知bn=2n+1+n,则Sn=(22+1)+(23+2)+…+(2n+1+n)=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)=+=2n+2+-4.
【课堂评价】
1.C　[解析] 因为Sn为等比数列{an}的前n项和,且S4=3,S8=9,所以等比数列{an}的公比q≠-1,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即62=3(S12-9),解得S12=21.故选C.
2.D　[解析] ∵{an}是等比数列,∴S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,设S5=2k,k≠0,由=,得S10=k,∴S10-S5=-k,∴S15-S10=,∴S15=,∴==.故选D.
3.B　[解析] 1秒时,新被杀死的病毒为1个,细菌自身增长为3个;2秒时,新被杀死的病毒为3个,细菌自身增长为32个;3秒时,新被杀死的病毒为32个,细菌自身增长为33个;…;以此类推,n秒时,新被杀死的病毒为3n-1个,细菌自身增长为3n个,故n秒钟累计被杀死的病毒的个数为Sn=1+3+32+33+…+3n-1,由Sn≥110,得≥110,即3n≥221,可得n≥5,n∈N*.故选B.
4.120　[解析] 在等比数列中,若项数为2n,则=q,
所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)
=(a1+a3+a5+…+a99)+(a1+a3+a5+…+a99)=90+×90=120.
5.50　[解析] 设T1=a1+a3+a5+…+a99,T2=a2+a4+a6+…+a100,
则==,
则S100=T1+T2=2T2+T2=3T2=150,
所以T2=a2+a4+a6+…+a100=50.第2课时　等比数列的前n项和的性质及其应用
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用;
2.会解决等比数列前n项和的应用问题;
3.能解决等差数列和等比数列的综合问题.
◆ 知识点一　等比数列前n项和的函数性质
在等比数列的前n项和公式中,当q≠1时,如果令A=,那么Sn=　　　　.从函数的角度看,y=Sn的图象必过　　　　,可以将指数函数y=qn的图象上所有点的纵坐标变为原来的　　　　,再向上或向下平移　　　　个单位得到(A>0时向下平移,A<0时向上平移).
【诊断分析】 已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,则a=　　　　.
◆ 知识点二　等比数列前n项和的性质
1.若数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,k∈N*,那么　　　　,　　　　,　　　　成等比数列,公比为qk(注意:这连续k项的和必须非零才能成立).如图所示.
2.奇数项和与偶数项和的关系:设数列{an}是公比为q的等比数列,S奇是其奇数项和,S偶是其偶数项和,则数列{an}的前n项和Sn=S奇+S偶,有如下性质:
(1)当n为偶数时,=　　　　;
(2)当n为奇数时,=　　　　.
3.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.
4.当q=1时, =;当q≠±1时, =.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则S2n,S4n,成等比数列. (　 )
(2)在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则S2n,S4n-S2n,-S4n成等比数列. (　 )
(3)在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则,-,-成等比数列.(　 )
(4)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式,qn的系数为. (　 )
(5)已知数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠0,a≠1),则数列{an}一定是等比数列. (　 )
◆ 探究点一　等比数列前n项和的性质及应用
[提问] 在等差数列{an}中,Tn为其前n项和,我们知道Tm,T2m-Tm,T3m-T2m,…仍构成等差数列.在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若连续m项的和不等于0,那么Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等比数列吗 为什么
　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6= (　 )
A.24 B.28 C.48 D.84
(2)已知等比数列{an}的前k项和为12,前2k项和为48,则前4k项和为 (　 )
A.324 B.480 C.108 D.156
变式 [2024·南昌高二期末] 在各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若S30=3S10,S10+S30=80,则S20的值为 (　 )
A.10 B.20 C.30 D.40
[素养小结]
若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0).这一性质可直接应用,但在解题中需注意该性质的使用条件,即公比q≠-1或公比q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.
◆ 探究点二　等比数列奇数项与偶数项和的关系
例2 (1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=-80,则公比q=　　　　.
(2)在等比数列{an}中,a1=1,a1+a3+…+a2k+1=85,a2+a4+…+a2k=42,则k=　　　　.
变式 (1) 已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和小60,则数列{an}的所有项之和是 (　 )
A.30 B.60 C.90 D.120
(2)[2024·云南保山腾冲八中高二期末] 已知等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,则这个等比数列的公比q=　　　　.
[素养小结]
若等比数列{an}共有2n项,则=q,S偶+S奇=;若等比数列{an}共有(2n+1)项,则S奇=a1+qS偶,S偶+S奇=.要注意公比q=1和q≠1两种情形.
◆ 探究点三　等比数列前n项和公式的实际应用
[提问] 什么是复利问题 复利计算属于哪种数列模型
例3 某家庭打算以一年定期的方式向银行存款,计划从2025年起,每年年初向银行存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2035年年初不再存款,直接将所有存款和利息全部取出,共取出多少元
变式 [2024·山东烟台高二期末] 某商场计划销售A,B两种品牌商品.据市场调研,销售A品牌商品第一年的利润为3.8万元,预计以后每年利润比上一年增加0.5万元;销售B品牌商品第一年的利润为4万元,预计以后每年利润的增长率为8%.设an,bn分别为销售A,B两种品牌商品第n年的利润(单位:万元).
(1)试比较销售A,B两种品牌商品前10年总利润的大小;
(2)第几年销售A品牌商品较销售B品牌商品在同一年的利润差cn=an-bn最大
参考数据:1.085≈1.469,1.086≈1.587,1.087≈1.714,1.0810≈2.159,1.0811≈2.332.
[素养小结]
解数列应用题的具体方法步骤:
(1)认真审题,准确理解题意.
①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题、等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题.明确是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数是多少.
②明确题目中主要的已知量和关系.
(2)抓住数量关系,联系数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
◆ 探究点四　等比数列前n项和的其他性质
例4 (1)设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,前n项积为Tn,若a1>1,a2023·a2024>1,(a2023-1)·(a2024-1)<0,则下列说法中不正确的是(　 )
A.q>1
B.S2024>S2023
C.a2023·a2025<1
D.T2023是数列{Tn}中的最大项
(2)[2024·河北邢台高二期中] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=4×3n-1+t,则t=　　　　.
变式 [2024·浙江温州高二期中] 已知{an}为等比数列,Sn和Tn分别为{an}的前n项和与前n项积,则下列说法错误的是 (　 )
A.若S2023≥S2022,则{Sn}不一定是递增数列
B.若T2024≥T2023,则{Tn}不一定是递增数列
C.若{Sn}为递增数列,则可能存在a2022D.为{Tn}是递增数列,则a2022>a2021一定成立
[素养小结]
(1)数列{an}是等比数列,通项公式为an=a1qn-1,数列{an}的通项公式可看作指数型函数,即an=a1qx-1;
(2)数列{an}是等比数列,前n项和为Sn==-qn=r-rqn,Sn=r-rqn是指数型函数.
(3)当 q>1 时,若a1>0,则等比数列{an}是递增数列;若a1<0,则等比数列{an}是递减数列.当q=1时,等比数列{an}是非零的常数列.当00,则等比数列{an}是递减数列;若a1<0,则等比数列{an}是递增数列.当 q<0时,等比数列{an}是摆动数列.
◆ 探究点五　等差数列与等比数列综合问题
例5 (多选题)[2024·辽宁育明中学高二期中] 已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),下列说法正确的是 (　 )
A.若{an}是等差数列,a15+a16>0,a15+a17<0,则使Sn>0的最大正整数n的值为15
B.若{an}是等比数列,Sn=5n+c(c为常数),则必有c=-1
C.若{an}是等比数列,则Sn=
D.若an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,则数列为递增的等差数列
变式 在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=5.
(1)求数列{an}的公差d及通项公式;
(2)记bn=+n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
[素养小结]
等差数列与等比数列综合问题的求解,会涉及两类特殊数列各方面的知识与思想方法,所以要记清两类数列的定义、公式、性质,以便于综合运用,灵活解题.
1.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S12= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.12 B.18 C.21 D.27
2.[2023·沈阳高二期中] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则= (　 )
A. B. C. D.
3.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个,现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要 (　 )
A.4秒钟 B.5秒钟
C.6秒钟 D.7秒钟
4.已知等比数列{an}的公比q=,且a1+a3+a5+…+a99=90,则a1+a2+a3+…+a100=　　　　.
5.[2023·江苏连云港高二期末] 在等比数列{an}中,公比q=,前100项和S100=150,则a2+a4+a6+…+a100的值是　　　　. 第2课时　等比数列的前n项和的性质及其应用
1.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,
则====,解得q=2,
所以===1+q5=33.故选D.
2.C　[解析] 根据题意知S3=a1+a2+a3=2,S6=9S3=18,则S6-S3=18-2=16,根据等比数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,所以=S3(S9-S6),可得S9-S6=128,所以S9=S6+128=146.故选C.
3.A　[解析] 由题意知该厂今年的产值为1.1a亿元,从今年起该厂每年的产值构成首项为1.1a,公比为1.1的等比数列,所以从今年起到第10年末该厂的总产值是=11a(1.110-1)(亿元).故选A.
4.A　[解析] 设数列{an}的公比为q,则Sn=-qn,又Sn=2×3n+a,所以a=-2,q=3,所以Sn=2×3n-2,所以a1=S1=6-2=4,所以数列是首项为,公比为的等比数列,其前n项和为=×.故选A.
5.A　[解析] 当n为奇数时,an+2=2an,所以奇数项构成以1为首项,2为公比的等比数列;当n为偶数时,an+2=4an,所以偶数项构成以3为首项,4为公比的等比数列.所以S2n=S奇+S偶=+=4n+2n-2.故选A.
6.C　[解析] 由题意可得S奇+S偶=4S偶,即S偶=S奇.设等比数列{an}的公比为q,且该等比数列共有2k(k∈N*)项,则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=.因为a1a2a3==64,所以a2=4,所以a1==12.故选C.
7.B　[解析] 若等比数列{an}的公比为1,
因为S1=1+t,S2=4+t,S3=16+t,
所以4+t=2(1+t),16+t=3(1+t),两者矛盾,故q≠1.
设等比数列{an}的公比为q(q≠1),则Sn==-,因为Sn=4n-1+t=×4n+t,所以-=,t=,所以t=-.故选B.
8.BD　[解析] 当n=1时,S1=2a1-2,可得a1=2,当n≥2时,由Sn=2an-2,得Sn-1=2an-1-2,两式相减得an=2an-1,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,则=4n,故数列{}的前n项和为=.bn=log2an=log22n=n,所以==-,所以Tn=+++…+=1-<1.故选BD.
9.AB　[解析] 因为a1+a2>0,即a1(1+q)>0,且a1>0,q<0,所以-10,所以S1>S3>S5>…>,>…>S6>S4>S2>0,
所以数列{Sn}的最小项为S2,最大项为S1,故A,B正确,D错误.故选AB.
10.12 000　[解析] 设今年为第1年,该公司第n年获得的利润为an万元,则an+1=an+an×30%=1.3an,则=1.3,所以数列{an}是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以从今年起经过8年后该公司获得的总利润为≈=12 000(万元).
11.36　[解析] 由题意可得,当n为奇数时,an+1-an=2n-1,an+2+an+1=2n+1,两式相减得an+2+an=2;当n为偶数时,an+1+an=2n-1,an+2-an+1=2n+1,两式相加得an+2+an=4n.故S8=(a1+a3+a5+a7)+(a2+a4+a6+a8)=(2+2)+(8+24)=36.
12.4　[解析] 由题意得a1a2=2,又a1=1,所以a2=2,由==2,可得an+2=2an,
所以当n为奇数时,an=,当n为偶数时,an=.
设{an}的前n项和为Sn,则S2k=+=3×(2k-1),S2k+1=S2k+a2k+1=3×(2k-1)+2k=2k+2-3.
若m为奇数,则am+am+1+…+am+9为3的整数倍,但248不是3的整数倍,不合题意;
若m为偶数,则am+am+1+…+am+9=Sm+9-Sm-1=-=(-3)-(-3)=-=(26-2)=62×=248,即=4,所以m=4.
13.解:方法一:设等比数列{an}的公比为q,项数为2m(m∈N*).由题知a1=1,q≠1,则由②÷①得q=2,所以=85,即4m=256,解得m=4,故等比数列{an}的公比为2,项数为8.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,项数为2n(n∈N*),奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,前n项和为Sn.因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q,所以q===2.又Sn=85+170=255,所以由S2n=,得=255,所以22n=256,所以2n=8,即等比数列{an}的公比为2,项数为8.
【点睛】 (1)若等比数列{an}的项数为2n,则S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,则有=q.
(2)若等比数列{an}的项数为2n+1,则S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,则S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,
即S奇=a1+qS偶.
14.解:(1)由an是Sn与2的等差中项,得2an=Sn+2,所以2a1=S1+2,即2a1=a1+2,解得a1=2.
(2)Sn=2an-2①,Sn-1=2an-1-2(n≥2)②,
由①-②得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),整理得=2(n≥2),
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n.
由b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
得bn-bn+1+2=0,即bn+2=bn+1,所以数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,所以bn=1+2(n-1)=2n-1.
(3)由(2)知cn=anbn=(2n-1)×2n,则数列{cn}的前n项和Tn=1×2+3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n,则2Tn=1×22+3×23+5×24+7×25+…+(2n-1)×2n+1,所以-Tn=1×2+(2×22+2×23+2×24+…+2×2n)-(2n-1)×2n+1,可得Tn=(2n-3)×2n+1+6.
15.(-∞,-1]　[解析] 依题意a1>0,q≠0,
若q>0,则an>0,Sn>0,此时不存在符合题意的k.
若q=-1,则Sn=a1×=[1-(-1)n],
当n为正偶数时,Sn=0,所以存在无穷多个正整数k,使Sk≤0.
若-10,
此时不存在符合题意的k.
若q<-1,则Sn==(1-qn),
其中>0,
当n是正偶数时,1-qn<0,Sn<0,所以存在无穷多个正整数k,使Sk≤0.
综上所述,q的取值范围是(-∞,-1].
16.解:(1)Tn=,当n=1时,1=,解得p=0或p=2.
当p=0时,Tn=,
当n=2时,1+=,解得a2=0或a2=-,
又an>0,所以p=0不符合题意,所以p=2.
(2)证明:由(1)知,Tn=-①,
则Tn+1=-②,
由②-①并化简整理得3an+1=4-Sn+1-Sn③,
则3an+2=4-Sn+2-Sn+1④,
由④-③并化简整理得an+2=an+1(n∈N*).当n=2时,1+=-(1+a2-2)2,可得a2=,所以a2=a1,
所以数列为等比数列.
(3)证明:由(2)知,an=,则=2n-1,所以An==2n-1,
所以==-<.
因为n∈N*,所以≤,所以2-≥,
即≥,所以2×(2n+1-1)≥3×2n,
所以×≥,
所以-≥-×,即≥-×,
所以++…+≥-=-+×>-,又++…+<,
所以 -<++…+< .第2课时　等比数列的前n项和的性质及其应用
一、选择题
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则= (　 )
A.-3 B.5 C.-31 D.33
2.[2023·四川内江二中高二期末] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若a1+a2+a3=2,S6=9S3,则S9= (　 )
A.50 B.100
C.146 D.128
3.某厂去年的产值是a亿元,若产值的年平均增长率是10%,则从今年起到第10年末该厂的总产值是 (　 )
A.11a(1.110-1)亿元
B.10a(1.110-1)亿元
C.11a(1.19-1)亿元
D.10a(1.19-1)亿元
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2×3n+a,则数列的前n项和为 (　 )
A.× B.×
C.×(3n-1) D.×(3n-1)
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=3,an+2=3an+(-1)nan,则S2n= (　 )
A.4n+2n-2 B.-+2n-
C.4n+2n+2 D.4n+2n
6.已知一个项数为偶数的等比数列{an}中,所有项之和为所有偶数项之和的4倍,其前3项之积为64,则a1= (　 )
A.1 B.4
C.12 D.36
7.已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n-1+t,则t= (　 )
A.-1 B.- C. D.
8.(多选题)若数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-2,数列{bn}满足bn=log2an,则下列说法正确的是 (　 )
A.数列{an}是等差数列
B.an=2n
C.数列{}的前n项和为
D.数列的前n项和为Tn,则Tn<1
9.(多选题)设首项为正且大于1的无穷等比数列{an}的公比为q(q<0),若{an}的前n项和为Sn,且a1+a2>0,则 (　 )
A.数列{Sn}的最大项为S1
B.数列{Sn}的最小项为S2
C.数列{Sn}是递增数列
D.数列{Sn}的最大值为
二、填空题
10.某公司今年获得利润500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年的利润比上一年增加30%,则从今年起经过8年后该公司获得的总利润约为　　　　万元.(参考数据:1.37≈6.3,1.38≈8.2)
11.[2023·北京海淀区高二期中] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1+(-1)nan=2n-1,则S8=　　　　.
12.在数列{an}中,a1=1,anan+1=2n,若am+am+1+…+am+9=248,则m=　　　　.
三、解答题
★13.已知等比数列{an}的首项是1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求等比数列{an}的公比和项数.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,在数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
15.[2024·北京西城区高二期末] 设{an}是首项为正数,公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn.若存在无穷多个正整数k,使Sk≤0,则q的取值范围是　　　　.
16.已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn,a1=1,数列的前n项和为Tn,Tn=,其中p为常数.
(1)求p的值;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)若数列的前n项和为An,证明:-<++…+<.

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