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(共44张PPT)
5.4 数列的应用
探究点一 数列在分期付款中的应用
探究点二 数列在“乘数”效应中的应用
探究点三 数列在其他实际问题中的应用
【学习目标】
1.会构造等差数列模型求解数列应用问题；
2.会构造等比数列模型求解数列应用问题；
3.会构造递推数列模型求解数列应用问题.
知识点一 分期还款与数列
1.等额本金还款法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的
还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以_____
_______，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘
_______.因此，这种方式中，每期还款金额
_ __________________________________________.利用课本情境中的
符号有 __________________________.
等还款期数
利率
（贷款本金-已还本金总额） 利率
2.等额本息还款法
“等额本息还款法”是将____________平均分配到每一期进行偿还，
因此每一期所还钱数______，即 __________________.
本金和利息
相等
【诊断分析】
1.判断“等额本金还款法”中每一期还款数构成的数列 的单调性.
解：因为每一期还款数
，
且，所以数列 为递减数列.
2.“等额本息还款法”中，每一期还款数构成的数列是等比数列吗？是
等差数列吗？
解：“等额本息还款法”中，每一期还款数构成的数列是非零的常数列，
所以它既是等比数列，又是等差数列.
知识点二 政府支出的“乘数”效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，
那么就会产生“______”效应.
乘数
探究点一 数列在分期付款中的应用
例1 某企业于2020年8月初向银行贷款240 000元，与银行约定按“等
额本金还款法”分10年进行还款，从2020年9月初开始，每个月月初
还一次款，贷款月利率为 ，现因经营状况良好准备向银行申请
提前还款，计划于2025年8月初将剩余贷款一次还清，则该企业按现
计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少( )
A.180 00元 B.183 00元 C.283 00元 D.363 00元
√
[解析] 该企业从2020年9月初到2025年8月初这60个月每月应还本金
为（元），
年8月初还完后本金还剩（元）， 年9月初原计划应还的利息为 元，
2025年10月初原计划应还的利息为 元，
2025年11月初原计划应还的利息为元， ，最后一次原计划应还的利息为元，
（元）.故选B.
变式 某人于10月6日在电商平台上通过零首付购买了一台售价为
8000元的电脑，约定从次月6日开始，每月6日按等额本息
（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款 元，分12个月还清，其
中月利率为，则此人每月的还款数 _____.（精确到个位，参
考数据：；； ）
[解析] 此人每月的还款数 .
［素养小结］
两种还款方式比较而言，同样的金额、同样的期限，选择等额本金
可以少支付利息，因为它的月供里面扣除的本金部分比等额本息这
种方式多一些，那么，每还过一次后，剩余的本金越少，利息就越
少了.如果向银行贷款本金元，打算分成 期偿还，并且每一期的
利率为 ,则等额本金还款法公式：每期还款金额
（贷款本金-已还本金总额） 利率，符号表示为
；等额本息还款法公式：每月还款额
.
探究点二 数列在“乘数”效应中的应用
例2 某食品加工厂2024年的利润为20万元，经调整食品结构，开发
新产品.计划从2025年开始每年比上一年的利润增加 ，则这家加
工厂的年利润开始超过60万元的年份是( )
（参考数据：， ）
A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年
√
[解析] 设从2024年开始，第年的利润为 万元，
则数列为等比数列，其中2024年的利润为首项，即 ，
所以2025年的利润为 （万元），
2026年的利润为（万元）， ，
故数列 的通项公式为 .
由题意可得，即，
所以
，所以 ，
故从2031年开始这家加工厂的年利润超过60万元.故选C.
变式 某市计划2025年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保
障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均
比上一年增长 .另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均
比上一年增加5万平方米.
（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积
（以2025年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米
解：由题知每年保障性租赁住房面积成等差数列,
设数列为,其中首项,公差 ,
则，令 ,
即,，可得 ,
故到2034年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不
少于475万平方米.
（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住
房面积的比例首次大于
（参考数据：，， ）
解：由题知每年新建住房面积成等比数列,
设数列为，其中首项,公比 ,则,
若 ，则 ,
满足不等式的最小正整数 ,
故到2030年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房
面积的比例首次大于 .
［素养小结］
“乘数”效应 是一种宏观的经济效应,是指经济活动
中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度.在经济学
中,“乘数”效应更完整地说是支出/收入“乘数”效应.高中涉及的支出
“乘数”效应更多的是等比数列模型的应用，因此涉及此类问题时要
注重对等比数列相关量、公式的应用.
探究点三 数列在其他实际问题中的应用
例3 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核
心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国
永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元
引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，
从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万
元，该生产线每年年产值保持在100万元.
（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？
解：设引进设备年后总盈利为 万元，设除去设备引进费用，
第年的成本为，则为等差数列，
前 年成本之和为万元,
故 ，，
所以当时， 取得最大值204.
故引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.
（2）引进该生产线几年后年平均盈利最多，最多是多少万元？
解：设年后年平均盈利为 万元，
则， .
因为，， ，
当且仅当，即时取得等号，所以 .
故引进生产线7年后年平均盈利最多，为24万元.
变式 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规
定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 ．
如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，
在停止喝酒后，血液中酒精含量大约以每小时 的速度减少，
则他可以驾驶机动车至少要经过（精确到小时）( )
A.1小时 B.2小时 C.4小时 D.6小时
√
[解析] 设 小时后才可以驾驶机动车，
根据题意可知，每小时血液中酒精含量成等比数列，公比为 ，
由等比数列的通项公式可得，即，
又，所以 ，
所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.
［素养小结］
等差、等比数列模型试题求解的关键：
（1）审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；
（2）建模，即将已知条件译成数列语言，将实际问题转化为数列问题；
（3）判型，即判断是否为等差、等比数列，并判断是求指定项的问
题还是求前 项和的问题，需明确首项、公差（公比）、项数、末项；
（4）求解，即求出该数列的解；
（5）还原，即将所求的结果还原到实际问题中.
1.银行一年定期的年利率为，三年定期的年利率为 ，为吸引长期
资金，鼓励储户存三年定期存款，则 的值应略大于( )
A. B.
C. D.
[解析] 三年定期存款要有吸引力，则需满足 ，
即 .故选B.
√
2.某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从
2015年到2024年这10年间每两年上升 ，2023年和2024年种植绿色
植被815万平方米．当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，
那么从2025年到2028年共种植绿色植被的面积约为（结果取整数）
( )
A.848万平方米 B.1679万平方米
C.1173万平方米 D.12 494万平方米
√
[解析] 2025年和2026年种植绿色植被面积为,
年和2028年种植绿色植被面积为 .
则2025年到2028年共种植绿色植被的面积为
（万平方米）.
故选B.
3.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运
营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，
该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了 年后，
年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则 等于
( )
A.6 B.5 C.4 D.3
√
[解析] 设该设备第年的营运费用为万元，则数列 是以2为首
项，2为公差的等差数列，则，
则该设备使用 年的营运费用总和为.
设第年的盈利总额为 ，
则 ，
故年平均盈利额为，
因为，当且仅当 时，等号成立，
故当 时，年平均盈利额取得最大值4.故选D.
4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一
周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为 保持不
变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子
18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的
钱的总数为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的
元产生的本利合计为 ，
同理，孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在3周岁生日时存入的 元产生的本利合计为， ，孩子在17周岁生日时存入的 元产生的本利合计为，
可以看成是以为首项， 为公比的等比数列，
此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为
.故选D.
5.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出了如下问题：“九百九十
六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.”其意
思是：将996斤棉分给八个孩子做盘缠，从第二个孩子开始，每个孩
子分得的棉都比前一个孩子多17斤，直到第八个孩子为止.以上问题
中第八个孩子分得的棉的斤数为( )
A.150 B.167 C.184 D.201
[解析] 设第个孩子分得 斤棉，
则由题意得，解得 ，
所以第八个孩子分得的棉的斤数为 .故选C.
√
数列的实际应用题的解题思路：审题——建模——研究模型——返
回实际.
审题时应注意：
（1）量（多个量）.（2）量间的关系（规律） 等差、等比规律，
递推关系及其他规律.（3）判断量是与通项公式有关还是与前 项
和 有关.
1.等差、等比数列类型（通项公式型或前项和 型）
例1 某地出现了虫害，农业科学家引入了虫害指数数列， 表示
第 周的虫害指数，虫害指数越大，虫害严重程度越高，为了治理虫
害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能
采用以下两个策略之一：
策略环境整治，虫害指数数列满足 ；
策略杀灭害虫，虫害指数数列满足 .
当某周的虫害指数小于1时，危机就在这周解除.
（1）设第1周的虫害指数 ，采用哪一个策略将使第2周的虫
害严重程度更低？
解：由题意可知，采用策略时，；
采用策略 时， .
令，得 ，
则当时，采用策略 将使第2周的虫害严重程度更低；
当 时，采用两个策略第2周的虫害严重程度一样；
当时，采用策略 将使第2周的虫害严重程度更低.
（2）设第1周的虫害指数 ，如果每周都采用最优的策略，虫害
的危机最快在第几周解除？（参考数据：, ）
解：由（1）可知，最优策略为策略 ，
即,故 ，
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，
所以，即 ，
令，可得 ，
所以虫害的危机最快在第9周解除.
2.一般数列（有时与等差、等比数列相关）
（1）通项公式 型（略）
（2）前项和 型（略）
（3）列举归纳规律类型
例2 在半径为1的圆中作内接正方形，作正方形 的内切
圆，再作圆的内接正方形 ，以此方法一直继续下去.我
们定义每作出一个正方形为一次操作，若要使所有正方形的面积之
和超过 ，则至少要操作的次数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
√
[解析] 第一个正方形的边长为，面积为 ，
第二个正方形的边长为 ，面积为1，
第三个正方形的边长为，面积为 ，
……
以此类推，可知正方形的面积是首项为2，公比为 的等比数列，
由，即，可得 ，
所以至少要操作11次才能使所有正方形的面积之和超过 .故选C.
3.递推关系类型
例3 [2023·太原师范学院附中高二月考] 森林资源是全人类共有的宝
贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作
用，某地林业管理部门着手制定当地的森林蓄积量规划.经统计，当
地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以 的增长率
自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要
砍伐掉万立方米的森林.设 为自2021年开始
（2021年记为第1年），第 年末当地的森林蓄积量（单位：万立方米）.
（1）请写出一个递推公式，表示， 两者间的关系；
解：由题意得 ，
.
（2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其
中， 为常数；
解：将化成 ，
可得 解得
所以递推公式为 .
（3）为了实现当地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍
伐量 最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）
参考数据：，， .
解：因为，且 ，
所以 ，
由（2）知 ，
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 .
2030年底的森林蓄积量为
，
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
所以，即 ，
即 ，
可得 .
故每年的砍伐量最大为19万立方米.5.4　数列的应用
【课前预习】
知识点一
(1)还款期数　利率　+(贷款本金-已还本金总额)×利率　+×r
(2)本金和利息　相等　a2=a3=…=am
诊断分析
1.解:因为每一期还款数an=+×r=-n++A0r+r,且-<0,所以数列{an}为递减数列.
2.解:“等额本息还款法”中,每一期还款数构成的数列是非零的常数列,所以它既是等比数列,又是等差数列.
知识点二
乘数
【课中探究】
探究点一
例1　B　[解析] 该企业从2020年9月初到2025年8月初这60个月每月应还本金为240 000÷120=2000(元),∴2025年8月初还完后本金还剩240 000-2000×60=120 000(元),∴2025年9月初原计划应还的利息为(120 000×0.5%)元,2025年10月初原计划应还的利息为[(120 000-2000)×0.5%]元,2025年11月初原计划应还的利息为[(120 000-2000×2)×0.5%]元,…,最后一次原计划应还的利息为[(120 000-2000×59)×0.5%]元,∴该企业原计划后60个月应还的利息的总和为120 000×0.5%+(120 000-2000)×0.5%+(120 000-2000×2)×0.5%+…+(120 000-2000×59)×0.5%=0.5%×[120 000+(120 000-2000)+(120 000-2000×2)+…+(120 000-2000×59)]=0.5%×=18 300(元).故选B.
变式　685　[解析] 此人每月的还款数a=≈685.
探究点二
例2　C　[解析] 设从2024年开始,第n(n∈N*)年的利润为an万元,则数列{an}为等比数列,其中2024年的利润为首项,即a1=20,所以2025年的利润为a2=20×(1+20%)=20×(万元),2026年的利润为a3=20×(1+20%)2=20×(万元),…,故数列{an}的通项公式为an=20×(n∈N*).由题意可得an=20×>60,即>3,所以n-1>3====≈≈6.031 6>6,所以n≥8,故从2031年开始这家加工厂的年利润超过60万元.故选C.
变式　解:(1)由题知每年保障性租赁住房面积成等差数列,
设数列为{an},其中首项a1=25,公差d=5,
则Sn=25n+×5=(5n2 +45n),令(5n2+45n)≥475,即n2 + 9n-190≥0,n∈N*,可得n≥10,
故到2034年底,该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不少于475万平方米.
(2)由题知每年新建住房面积成等比数列,
设数列为{bn},其中首项b1=40,公比q=1.08,
则bn=40×1.08n-1,若an>0.85bn,则25+(n-1)×5>0.85×40×1.08n-1,满足不等式的最小正整数n=6,
故到2030年底,当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
探究点三
例3　解:(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设备引进费用,第n年的成本为an,则{an}为等差数列,前n年成本之和为万元,故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,n∈N*,所以当n=10时,f(n)取得最大值204.
故引进生产线10年后总盈利最大,为204万元.
(2)设n年后年平均盈利为g(n)万元,则g(n)==-4n-+80,n∈N*.因为g(n)=-4+80,n∈N*,n+≥2=14,当且仅当n=,即n=7时取得等号,所以g(n)max=g(7)=24.
故引进生产线7年后年平均盈利最多,为24万元.
变式　C　[解析] 设n小时后才可以驾驶机动车,根据题意可知,每小时血液中酒精含量成等比数列,公比为,由等比数列的通项公式可得0.3×≤0.02,即≤,又n∈N*,所以n≥4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.
【课堂评价】
1.B　[解析] 三年定期存款要有吸引力,则需满足3q>(1+r)3-1,即q>[(1+r)3-1].故选B.
2.B　[解析] 2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1+2%), 2027年和2028年种植绿色植被面积为815×(1+2%)×(1+2%). 则2025年到2028年共种植绿色植被的面积为815×(1+2%)+815×(1+2%)×(1+2%)≈1679(万平方米).故选B.
3.D　[解析] 设该设备第n年的营运费用为an万元,则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,则an=2n,则该设备使用n年的营运费用总和为Tn=n2+n.设第n年的盈利总额为Sn,则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9,故年平均盈利额为10-,因为n+≥2=6,当且仅当n=3时,等号成立,故当n=3时,年平均盈利额取得最大值4.故选D.
4.D　[解析] 根据题意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)17,同理,孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)16,孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)15,…,孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r),可以看成是以a(1+r)为首项,1+r为公比的等比数列,此时将存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为S=a(1+r)17+a(1+r)16+…+a(1+r)==[(1+r)18-(1+r)].故选D.
5.C　[解析] 设第n(n≤8,n∈N*)个孩子分得an斤棉,则由题意得8a1+×17=996,解得a1=65,所以第八个孩子分得的棉的斤数为a8=65+7×17=184.故选C.5.4　数列的应用
【学习目标】
1.会构造等差数列模型求解数列应用问题;
2.会构造等比数列模型求解数列应用问题;
3.会构造递推数列模型求解数列应用问题.
◆ 知识点一　分期还款与数列
1.等额本金还款法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以　　　　　,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘　　　　　.因此,这种方式中,每期还款金额=　　　.
利用课本情境中的符号有an=　.
2.等额本息还款法
“等额本息还款法”是将　　　　　　　　平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数　　　　,即a1=　　　　　　　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断“等额本金还款法”中每一期还款数构成的数列{an}的单调性.
2.“等额本息还款法”中,每一期还款数构成的数列是等比数列吗 是等差数列吗
◆ 知识点二　政府支出的“乘数”效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出,如果政府的支出增加,那么就会产生“　　　　”效应.
◆ 探究点一　数列在分期付款中的应用
例1 某企业于2020年8月初向银行贷款240 000元,与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款,从2020年9月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为0.5%,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款,计划于2025年8月初将剩余贷款一次还清,则该企业按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少 (　 )
A.180 00元 B.183 00元
C.283 00元 D.363 00元
变式 某人于10月6日在电商平台上通过零首付购买了一台售价为8000元的电脑,约定从次月6日开始,每月6日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,分12个月还清,其中月利率为0.5%,则此人每月的还款数a=　　　　.(精确到个位,参考数据:1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)
[素养小结]
两种还款方式比较而言,同样的金额、同样的期限,选择等额本金可以少支付利息,因为它的月供里面扣除的本金部分比等额本息这种方式多一些,那么,每还过一次后,剩余的本金越少,利息就越少了.如果向银行贷款本金A0元,打算分成m期偿还,并且每一期的利率为r(r>0),则等额本金还款法公式:每期还款金额=+(贷款本金-已还本金总额)×利率,符号表示为an=+×r;等额本息还款法公式:每月还款额x=.
◆ 探究点二　数列在“乘数”效应中的应用
例2 某食品加工厂2024年的利润为20万元,经调整食品结构,开发新产品.计划从2025年开始每年比上一年的利润增加20%,则这家加工厂的年利润开始超过60万元的年份是 (　 )
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
A.2029年 B.2030年
C.2031年 D.2032年
变式 某市计划2025年新建住房40万平方米,其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.
(1)到哪一年底, 该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2025年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米
(2)到哪一年底,当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
(参考数据:1.084≈1.360,1.085≈1.469,1.086≈1.587)
[素养小结]
“乘数”效应(Multiplier Effect)是一种宏观的经济效应,是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度.在经济学中,“乘数”效应更完整地说是支出/收入“乘数”效应.高中涉及的支出“乘数”效应更多的是等比数列模型的应用,因此涉及此类问题时要注重对等比数列相关量、公式的应用.
◆ 探究点三　数列在其他实际问题中的应用
例3 近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.
(1)引进该生产线几年后总盈利最大,最大是多少万元
(2)引进该生产线几年后年平均盈利最多,最多是多少万元
变式 调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量大约以每小时50%的速度减少,则他可以驾驶机动车至少要经过(精确到小时) (　 )
A.1小时 B.2小时
C.4小时 D.6小时
[素养小结]
等差、等比数列模型试题求解的关键:
(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;
(2)建模,即将已知条件译成数列语言,将实际问题转化为数列问题;
(3)判型,即判断是否为等差、等比数列,并判断是求指定项的问题还是求前n项和的问题,需明确首项、公差(公比)、项数、末项;
(4)求解,即求出该数列的解;
(5)还原,即将所求的结果还原到实际问题中.
1.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为q,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期存款,则q的值应略大于 (　 )
A.
B.[(1+r)3-1]
C.(1+r)3-1
D.r
2.某地区重视环境保护,绿色植被种植面积呈上升趋势,经调查,从2015年到2024年这10年间每两年上升2%,2023年和2024年种植绿色植被815万平方米.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去,那么从2025年到2028年共种植绿色植被的面积约为(结果取整数) (　 )
A.848万平方米 B.1679万平方米
C.1173万平方米 D.12 494万平方米
3.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于 (　 )
A.6 B.5
C.4 D.3
4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为(　 )
A.a(1+r)17
B.[(1+r)17-(1+r)]
C.a(1+r)18
D.[(1+r)18-(1+r)]
5.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出了如下问题:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.”其意思是:将996斤棉分给八个孩子做盘缠,从第二个孩子开始,每个孩子分得的棉都比前一个孩子多17斤,直到第八个孩子为止.以上问题中第八个孩子分得的棉的斤数为 (　 )
A.150 B.167
C.184 D.2015.4　数列的应用
1.C　[解析] 设该种日用品第n个月的需求量为an,因为该种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),所以a1=S1=<5,第n(n≥2)个月的需求量an=Sn-Sn-1=,令>5,即3n2-45n+27×6<0,即n2-15n+54<0,解得62.C　[解析] 由题意,2024年存的2万元共存了10年,本利和为[2×(1+0.02)10]万元,2025年存的2万元共存了9年,本利和为[2×(1+0.02)9]万元,…,2033年存的2万元共存了1年,本利和为[2×(1+0.02)]万元,所以到2034年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的金额约为2×(1+0.02)10+2×(1+0.02)9+…+2×(1+0.02)=2×≈22.3(万元).故选C.
3.B　[解析] 由题可知cn=(1+10%)cn-1-100=1.1cn-1-100,即cn-1000=1.1(cn-1-1000),所以数列{cn-1000}是首项为200,公比为1.1的等比数列,所以cn-1000=200×1.1n-1,所以cn=200×1.1n-1+1000,所以c10=200×1.19+1000≈200×2.358+1000≈1472.
4.A　[解析] 由题意得消去bn,可得an+1=an+150,则an+1-300=(an-300),由a1=300,可得a2=300,从而可得a10=300.故选A.
5.D　[解析] 设每年偿还的金额为x,则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x,可得x=.故选D.
6.C　[解析] 由题意可得从第3行起每行第3个数1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以第k(k≥3,n∈N*)行的第3个数为1+2+…+(k-2),在该数列中,第37项为第21行的第3个数,所以该数列的第37项为1+2+…+19==190.故选C.
7.C　[解析] 由题意知这5人分得的橘子数构成等差数列,
设“伯”分得t个橘子,则(t-2m)+(t-m)+t+(t+m)+(t+2m)=80,解得t=16,
因为t-2m=16-2m>0,m为正整数,所以m的取值集合为{1,2,3,4,5,6,7},
由20<16+m<23,得4故选C.
8.ABD　[解析] 由题意知,A点处里程碑刻着数字39,B点处里程碑刻着数字84,里程碑上的数字成等差数列,公差为3,则从始发车站到A点的所有里程碑个数为+1=14,故A选项正确;从A点到B点的所有里程碑个数为+1=16,故B选项正确;从A点到B点的所有里程碑上的数字之和为16×39+×3=984,故D选项正确,C选项错误.故选ABD.
9.ACD　[解析] 根据题意,经过1年之后,该项目的资金为a1=2000×(1+20%)-200=2200(万元),故A正确;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,故B不正确;因为an+1=1.2an-200,所以an+1-1000=1.2(an-1000),即数列{an-1000}是首项为1200,公比为1.2的等比数列,故C正确;an-1000=1200×1.2n-1=1000×1.2n,即an=1000(1.2n+1),令an=1000(1.2n+1)≥4000,得n≥log1.23=≈6,则至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番的目标,故D正确.故选ACD.
10.6　[解析] 由题可知,经过n(n∈N*)轮传染,总感染人数为1+R0++…+=,
R0=3,令>1000,可得3n>667,
∵35=243,36=729,n∈N*,∴n≥6,∴感染人数超过1000需要的轮数为6.
11.2025　[解析] 由表知,每年比上一年多植树400亩.因为2023年新植树1400亩,故当年沙地面积应降为25 200-1400=23 800(亩),但当年实际沙地面积为24 000亩,所以2023年沙化的土地为200亩.同理2024年沙化的土地为200亩.设从2024年起(2024年为第1年),第n年新植树亩数为an,则数列{an}是首项为1800,公差为400的等差数列,则这n年植树面积的总和Sn=1800n+×400.由题意知Sn≥24 000+200n,化简得n2+7n-120≥0,解得n≥8,故到第8年,即到2031年可绿化完全部沙地.
12.24　[解析] 由题知,2024年的投资在结算时为10×10%×(1+10%)10,2025年的投资在结算时为11×10%×(1+10%)9,…,2033年的投资在结算时为19×10%×(1+10%)1.故结算时的总投资以及收益S=10×10%×1.110+11×10%×1.19+…+19×10%×1.11①,则1.1S=10×10%×1.111+11×10%×1.110+…+19×10%×1.12②.由①-②得-0.1S=-10×10%×1.111-1×10%×1.110-1×10%×1.19-…-1×10%×1.12+19×10%×1.11,则S=10×1.111+1.110+1.19+…+1.12-19×1.11=10×1.111+-20.9≈28.5+16.4-20.9=24.
13.解:(1)设从2024年起,该厂第n年啤酒和葡萄酒的年生产量分别为an吨和bn吨,
设第n年啤酒和葡萄酒的年生产量之和为Dn吨,
则an=16 000×(1-50%)n-1=,
bn=1000×(1+100%)n-1=500×2n,
则Dn=an+bn=+500×2n=500≥500×2=8000,
当且仅当=2n,即n=3时取等号,故2026年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最小.
(2)设经过n年啤酒和葡萄酒的生产总量分别为An吨和Bn吨,
则≥,即Bn≥2An.
由(1)知,第n年啤酒年生产量为an吨,数列{an}是以16 000为首项,为公比的等比数列,
因为An是数列{an}的前n项和,所以An==32 000×.
由(1)知,第n年葡萄酒年生产量为bn吨,数列{bn}是以1000为首项,2为公比的等比数列,
因为Bn是数列{bn}的前n项和,
所以Bn==1000×(2n-1).
则1000×(2n-1)≥32 000××2,解得n≥6,
故经过6年之后,葡萄酒的生产总量不低于啤酒与葡萄酒生产总量之和的.
14.解:(1)由题知,每年的投入金额是以40为首项,为公比的等比数列,
所以an=40×=200-200×.
每年牧草的销售收入是以30为首项,为公比的等比数列,
所以bn=30×=120×-120.
(2)令bn-an>0,
则120×-120-=120×+200×-320>0,
令t=,则00,即5t2-8t+3>0,
可得0则n>==≈2.2,所以n≥3.
故至少经过3年,牧草销售总收入才能超过总投入.
15.D　[解析] 由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n-1)=2n+6(千万元),第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×+×+…+×==-1(千万元),∴f(n)=-1-(2n+6)=-2n-7(千万元).∵f(n+1)-f(n)=-=×,∴当n≤3时,f(n+1)-f(n)<0,当n≥4时,f(n+1)-f(n)>0,又f(1)=-<0,f(7)=-21<0,f(8)=-23>0,∴该项目将从第8年即2030年开始并持续盈利.故选D.
16.解:(1)由题得an=an-1+(1-an-1),所以an=an-1+,
则an-=,又a0-=-,所以an-=-×,所以an=-×.
(2)令an=-×>,得×<,所以n>lo==≈=,
所以截至第4年年底,该地区绿洲面积超过.5.4　数列的应用
一、选择题
1.根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)满足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,该种日用品的需求量超过5万件的月份是 (　 )
A.5月、6月 B.6月、7月
C.7月、8月 D.8月、9月
2.某人从2024年起,每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期),若年利率为2%保持不变,且每年到期存款和利息均自动转为新的一年定期,到2034年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的金额约为 (　 )
参考数据:1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243.
A.2.438万元 B.19.9万元
C.22.3万元 D.24.3万元
3.[2023·广东佛山顺德区华侨中学高二月考] 某牧场今年年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为10%,且在每年年底卖出100头牛,牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn},则c10大约为 (　 )
(参考数据:1.18≈2.144,1.19≈2.358,1.110≈2.594,1.111≈2.853)
A.1429 B.1472 C.1519 D.1571
4.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每个星期一都有A,B两种套餐可供选择(每人都会选且只能选一种套餐),调查资料表明,凡是在星期一选A种套餐的学生,下星期一会有20%的人改选B种套餐,而选B种套餐的学生,下星期一会有30%的人改选A种套餐,用an,bn分别表示在第n个星期一选A种套餐的人数和选B种套餐的人数,如果a1=300,那么a10为(　 )
A.300 B.350 C.400 D.450
5.[2024·成都高二期中] 某企业于2023年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该企业从2024年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该企业每年的偿还金额是 (　 )
A. B.
C. D.
6.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中就有出现.在欧洲,帕斯卡(1623~1662)在1654年发现这一规律,比杨辉要迟了393年.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是 (　 )
A.153 B.171 C.190 D.210
7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.书中记载,有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人,共5人,要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级别每高一级就多分m个(m为正整数).若按这种方法分橘子,当“侯”分得的橘子数大于20且小于23时,m的取值可能为 (　 )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.(多选题)苏州码子是中国早期民间的“商业数字”,被广泛应用于各种商业场合.苏州码子0~9的写法依次为、、、、、、、、、.某铁路的里程碑上所刻数字代表距离始发车站的里程,如某处里程碑上刻着“”代表距离始发车站60公里.已知每隔3公里摆放一个里程碑,若始发车站里有一里程碑,在A点处里程碑上刻着“”,在B点处里程碑上刻着“”,则 (　 )
A.从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B.从A点到B点的所有里程碑个数为16
C.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
9.(多选题)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元.已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,设经过n年之后,该项目的资金为an万元,则下列叙述正确的是(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　 )
A.a1=2200
B.数列{an}的递推关系是an+1=1.2an
C.数列{an-1000}为等比数列
D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番的目标
二、填空题
10.[2024·湖南常德高二期末] 在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于R0>1,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R0=3,初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染…,那么感染人数超过1000需要的轮数为　　　　.
11.某地为了防止水土流失植树造林,每年比上一年多植相同亩数的树,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况如下表所示:
年份 2022 2023 2024
新植树亩数 1000 1400 1800
剩余沙地亩数 25 200 24 000 22 400
若土地一旦植完树,则不会被沙化,那么绿化完全部沙地,需到　　　　年.
12.某人实施一项投资计划,从2024年起,每年1月1日,把上一年工资的10%投资某个项目.已知2023年他的工资是10万元.预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元;若投资年收益是10%,一年结算一次,当年的投资收益自动转入下一年的投资本金,若2034年1月1日结束投资计划,则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有　　　　万元.(参考数据:1.110≈2.59,1.111≈2.85,1.112≈3.14)
三、解答题
13.某啤酒厂为适应市场需要,2024年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2024年啤酒的生产量为16 000吨,葡萄酒的生产量为1000吨.该厂计划从2025年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%,葡萄酒的生产量比上一年增加100%.
(1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最小
(2)从2024年起(包括2024年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于啤酒与葡萄酒生产总量之和的 (生产总量是指各年年产量之和)
14.[2024·沈阳高二期末] 牧草再生力强,一年可收割多次,富含各种微量元素和维生素,因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量,决定在本年度(第一年)投入40万元用于牧草的养护管理,以后每年投入金额比上一年减少,本年度牧草销售收入估计为30万元,由于养护管理更加精细,预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内总投入金额为an万元,牧草销售总收入为bn万元,求an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,牧草销售总收入才能超过总投入 (lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
15.2023年某市政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2024年起,在今后的若干年内,每年继续投资2千万元用于此项目.2023年该项目的净收入为5百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2023年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润=累计净收入-累计投入),且当f(n)为正值时,认为该项目盈利.根据预测,该项目开始并持续盈利的年份为(　 )
A.2026年 B.2027年
C.2029年 D.2030年
16.某沙漠地区的绿化率为,计划从今年开始进行大面积的植树造林,每年原来沙漠面积的将被改为绿洲,但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.设该沙漠地区的面积为1,则今年年初绿洲面积为a0=,经过一年绿洲面积为a1,…,经过n年绿洲面积为an,
(1)求经过n年绿洲的面积an;
(2)截至哪一年年底,才能使该地区绿洲面积超过 (lg 2≈0.30,lg 3≈0.48

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