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5.5 数学归纳法
探究点一 用数学归纳法证明（不）等式问题
探究点二 用数学归纳法证明平面几何和整除问题
探究点三 归纳、猜想及用数学归纳法证明
【学习目标】
1.能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题;
2.了解用数学归纳法证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤
缺一不可.
知识点 数学归纳法
数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题,如果
（1）当 时，命题成立;
（2）在假设（其中 ）时命题成立的前提下,能够推出
______时命题也成立.
那么，这个命题对大于等于 的所有自然数都成立.
在上述定义中，（1）是（2）的基础，即只有确定了 时命题成立，
后续的推导才会有意义.
【诊断分析】
1.数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1吗？
解：数学归纳法证明的第一步中的初始值 应根据命题的具体情况
来确定,不一定是1.
如用数学归纳法证明凸 边形的内角和为 时,其初始值
.
2.运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面
解：（1）两个步骤、一个结论缺一不可.
（2）第二步中,证明“当 时命题成立”的过程中,必须利用“归
纳假设”,即必须用上“当 时命题成立”这一条件,没有运用“归纳假
设”的证明不是数学归纳法.
（3）在第二步的证明中,“当 时命题成立”这一归纳假设起着已
知条件的作用,“当 时命题成立”则是求证的目标,在这一步中,
一般要先凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设.
探究点一 用数学归纳法证明（不）等式问题
例1（1） 用数学归纳法证明：
；
证明：①当时，左边 ，
右边，左边右边，故当 时，等式成立.
②假设当 时,等式成立，
即 ，
则当 时，
，即当 时，等式也成立.
由①②可知， .
（2）用数学归纳法证明： .
解：①当时，左边，右边，左边 右边，
故当 时，不等式成立.
②假设当 时，不等式成立，
即 ，
则当时， ，
因为，所以 ，
所以 .
即当 时，不等式也成立.
由①②可知， .
［素养小结］
用数学归纳法证明等式的考题，意在考查逻辑推理、数学运算的核心
素养，求解时需过双关：一是“看项关”，即看清等式两边的构成的规
律，等式的两边各有多少项，项的多少与 的取值是否有关；二是“归
纳递推关”，利用归纳假设，证明从到 ，等式都成立.
探究点二 用数学归纳法证明平面几何和整除问题
例2 求证：对任意的， 能被64整除.
证明： （1）当时， 能被64整除，命题成立.
（2）假设当时， 能被64整除,
则当 时，
，
因为， 均能被64整除，
所以 能被64整除，
即当 时，命题也成立.
由（1）（2）可知，对任意， 能被64整除.
例3 证明：凸边形的对角线的条数为 ，
.
证明：①当 时，凸四边形有2条对角线，
，命题成立.
②假设当时，命题成立，即 ，
则当 时，增加了1个顶点，凸多边形的对角线增加了
条，
则 ，
即当 时，命题也成立.
由①②可知，命题对任意， 都成立.
［素养小结］
解决整除性问题的关键是从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，
再证明剩余的式子也能被某式（数）整除.在几何问题中，常用到与
正整数 有关的几何证明，包括交点个数、内角和、将平面分成若干
部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元
素从个变成 个时，所证的几何量将增加多少.证题时可以先
用 得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明.
探究点三 归纳、猜想及用数学归纳法证明
例4 猜测使对任意正整数恒成立的正整数 的最小值为___.
3
[解析] 当,时， 不成立，
则 不合题意.
当时，不等式即为 ，
当时，不等式即为 ，
当时，不等式即为 ，
下面用数学归纳法证明该式对于, 成立.
①当时，不等式即为 ，不等式成立.
假设当时不等式成立，即 ,
则当时， ，
，
结合二次函数的性质可知，当时， ，
故当,时，,即 ，
所以，即当 时，不等式也成立.
综上可得，对任意的 均成立.
故正整数 的最小值为3.
变式 已知数列满足关系式 ，
.
（1）用表示，， ；
解： ，
，
.
（2）猜想的表达式（用和 表示），并用数学归纳法证明.
解：猜想 ，下面用数学归纳法证明：
①当时， ，猜想成立.
②假设当 时猜想成立，
即 ，
则当 时，
，
所以当 时，猜想也成立.
由①②可知，对一切 猜想都成立.
［素养小结］
归纳、猜想及用数学归纳法证明的考题，意在考查逻辑推理、数学
运算的核心素养.破解关键：一是先根据已知不等式或数列的前几项，
观察其规律，归纳出结论，即猜想出结论；二是利用数学归纳法，
对所猜想的结论进行证明，从而得出猜想是正确的.
1.用数学归纳法证明 这一不等式时,应注意( )
A. B., C., D.,
[解析] 当,,时,显然不等式不成立,
当 时,不等式成立,
故用数学归纳法证明 这一不等式时,应注意,
.故选D.
√
2.用数学归纳法证明等式
时，从 到
等式左边需增添的项是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，左边，共 个
连续自然数相加，
当 时，左边
，所以从 到，
等式左边需增添的项是 .故选C.
√
3.现有命题：
，
用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是( )
A.不能用数学归纳法判断此命题的真假
B.此命题一定为真命题
C.此命题加上条件 后才是真命题，否则为假命题
D.存在一个无限大的常数，当 时，此命题为假命题
√
[解析] ①当时，左边，右边，左边 右边，等式成立.
②假设当 时，等式成立，
即 ，
则当时， ，
即当时，等式也成立.
由①②可知，对任意 ，等式 恒成立.故选B.
4.用数学归纳法证明，假设当 时，
不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是
____________________________________.
[解析] 观察不等式中分母的变化便知.
1.如何正确使用数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于“两个步骤要做到,递推基础不可少,归
纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点：
（1）验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数,这个 就是我
们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此
“找准起点,奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
（2）递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“ ”的过程,必
须把归纳假设“”时的命题成立作为条件来导出“ ”时的
命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.
（3）正确寻求递推关系
①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递
推关系是有帮助的.
②探求数列通项问题要善于观察式子或命题的变化规律,观察 处在
哪个位置.
③在书写时,一定要把包含的式子写出来,尤其是 中
的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
2.使用数学归纳法证明问题的题型与技巧
（1）数学归纳法的题型：①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面
几何中的问题;④探求数列的通项;⑤不等式的证明.
（2）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题的关键在于
“看项”,弄清两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 的取
值的关系,从到 时,等式的两边会增加多少项、增加怎
样的项.
（3）用数学归纳法证明不等式常用放缩法,即在假设的基础上,通过
放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式.
（4）用数学归纳法证明整除时,常从中分离出 或利用
的差能被整除,使问题简化.
（5）探索性问题中,通过观察 分析 归纳 猜想,探索一般规律,
再用数学归纳法证明.
1.没有给出猜想信息,先创造条件得出结论,再证明.
例1 给出下列等式：
；
；
；
.
根据给出的等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论，并证明你的
猜想.
解：由题意猜想：
,
.
下面利用数学归纳法进行证明：
（1）当 时，猜想显然成立.
（2）假设当 时等式成立，
即 ，
那么当 时，
，
所以当 时猜想成立.
根据（1）（2）可知对任意正整数猜想均成立.
2.赋值、猜想、证明.
例2 已知是定义在上的不恒为零的函数,且对任意的, 都
满足,若, ,求证：
.
分析：用归纳的思想方法,通过赋值、计算、猜想、证明四步完成.
证明:令, ，
当时, ;
当时, ;
当时, ;
……
猜想
用数学归纳法证明如下：
（1）当时,, 式成立.
（2）假设当时式成立,即 ,
则当 时,
,
当时, 式成立.
由知,对, 成立，
.
要证明结论成立,只需证明 ,
,
.
3.求值、猜想、证明.
例3 已知，， .
（1）当，2，3时，试比较与 的大小关系；
解：当时，，，所以 ；
当时，，，所以 ；
当时，，，所以 .
（2）猜想与 的大小关系，并给出证明.
解：由（1）猜想： ，用数学归纳法证明.
①当 时，不等式显然成立.
②假设当 时不等式成立，
即 ，
则当 时，
，
因为 ，
所以 .
由①②可知，对一切，都有 成立.5.5　数学归纳法
【课前预习】
知识点
(2)k+1
诊断分析
1.解:数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0应根据命题的具体情况来确定,不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n-2)·180°时,其初始值n0=3.
2.解:(1)两个步骤、一个结论缺一不可.
(2)第二步中,证明“当n=k+1时命题成立”的过程中,必须利用“归纳假设”,即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件,没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.
(3)在第二步的证明中,“当n=k时命题成立”这一归纳假设起着已知条件的作用,“当n=k+1时命题成立”则是求证的目标,在这一步中,一般要先凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设.
【课中探究】
探究点一
例1　证明:(1)①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边,故当n=1时,等式成立.
②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=,
则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4) =,即当n=k+1时,等式也成立.
由①②可知,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).
(2)①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,故当n=1时,不等式成立.
②假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即1+++…+<2,
则当n=k+1时,1+++…++<2+,
因为4k2+4k<4k2+4k+1,所以2 <2k+1,
所以2+==<=2.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可知,1+++…+<2(n∈N*).
探究点二
例2　证明:(1)当n=1时,34-8-9=64能被64整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,32k+2-8k-9能被64整除,
则当n=k+1时,32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64k+64=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),
因为32k+2-8k-9,64(k+1)均能被64整除,
所以9(32k+2-8k-9)+64(k+1)能被64整除,
即当n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)可知,对任意n∈N*,32n+2-8n-9能被64整除.
例3　证明:①当n=4时,凸四边形有2条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立.
②假设当n=k(k≥4)时,命题成立,即f(k)=k(k-3),
则当n=k+1时,增加了1个顶点,凸多边形的对角线增加了(k-1)条,
则f(k+1)=f(k)+k-1=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],
即当n=k+1时,命题也成立.
由①②可知,命题对任意n≥4,n∈N*都成立.
探究点三
例4　3　[解析] 当a=2,n=4时,an>n2不成立,
则a=2不合题意.
当a=3时,不等式即为3n>n2,
当n=1时,不等式即为3>1,
当n=2时,不等式即为9>4,
下面用数学归纳法证明该式对于n∈N*,n≥3成立.
①当n=3时,不等式即为27>9,不等式成立.
假设当n=k(k≥3,k∈N*)时不等式成立,即3k>k2,
则当n=k+1时,3k+1=3·3k>3k2,
3k2-(k+1)2=2k2-2k-1,
结合二次函数的性质可知,当k≥3时,2k2-2k-1>0,
故当k≥3,k∈N*时,3k2-(k+1)2>0,即3k2>(k+1)2,所以3k+1>(k+1)2,即当n=k+1时,不等式也成立.
综上可得,3n>n2对任意的n∈N*均成立.
故正整数a的最小值为3.
变式　解:(1)a2=,a3===,a4===.
(2)猜想an=,下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1==a,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,
即ak=,则当n=k+1时,
ak+1====,
所以当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对一切n∈N*猜想都成立.
【课堂评价】
1.D　[解析] 当n=1,n=2,n=3时,显然不等式不成立,当n=4时,不等式成立,故用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意n∈N*,n≥4.故选D.
2.C　[解析] 当n=k时,左边=1+2+3+…+(2k+1),共(2k+1)个连续自然数相加,当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是(2k+2)+(2k+3).故选C.
3.B　[解析] ①当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即1-2+3-4+5-6+…+(-1)k+1k=+(-1)k+1,则当n=k+1时,1-2+3-4+5-6+…+(-1)k+1k+(-1)k+2(k+1)=+(-1)k+1+(-1)k+2(k+1)=+(-1)k+2=+(-1)k+2,即当n=k+1时,等式也成立.由①②可知,对任意n∈N*,等式1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1n=+(-1)n+1恒成立.故选B.
4.++…++>-　[解析] 观察不等式中分母的变化便知.5.5　数学归纳法
【学习目标】
1.能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题;
2.了解用数学归纳法证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可.
◆ 知识点　数学归纳法
数学归纳法的定义:一个与自然数有关的命题,如果
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=　　　　时命题也成立.
那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
在上述定义中,(1)是(2)的基础,即只有确定了n0时命题成立,后续的推导才会有意义.
【诊断分析】 1.数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0只能是1吗
2.运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面
◆ 探究点一　用数学归纳法证明(不)等式问题
例1 (1)用数学归纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*);
(2)用数学归纳法证明:1+++…+<2(n∈N*).
[素养小结]
用数学归纳法证明等式的考题,意在考查逻辑推理、数学运算的核心素养,求解时需过双关:一是“看项关”,即看清等式两边的构成的规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关;二是“归纳递推关”,利用归纳假设,证明从n=k到n=k+1,等式都成立.
◆ 探究点二　用数学归纳法证明平面几何和
整除问题
例2 求证:对任意的n∈N*,32n+2-8n-9能被64整除.
例3 证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).
[素养小结]
解决整除性问题的关键是从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,再证明剩余的式子也能被某式(数)整除.在几何问题中,常用到与正整数n有关的几何证明,包括交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题,利用数学归纳法证明时,关键是“找增量”,即几何元素从k个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少.证题时可以先用f(k+1)-f(k)得出结果,再结合几何图形给予严谨的证明.
◆ 探究点三　归纳、猜想及用数学归纳法证明
例4 猜测使an>n2对任意正整数n恒成立的正整数a的最小值为　　　　.
变式 已知数列{an}满足关系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
[素养小结]
归纳、猜想及用数学归纳法证明的考题,意在考查逻辑推理、数学运算的核心素养.破解关键:一是先根据已知不等式或数列的前几项,观察其规律,归纳出结论,即猜想出结论;二是利用数学归纳法,对所猜想的结论进行证明,从而得出猜想是正确的.
1.用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意 (　 )
A.n∈N*　　　　　　　B.n∈N*,n≥2
C.n∈N*,n≥3 D.n∈N*,n≥4
2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1等式左边需增添的项是 (　 )
A.2k+2
B.2(k+1)+1
C.(2k+2)+(2k+3)
D.[(2k+1)+1][2(k+1)+1]
3.现有命题:1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1n=+(-1)n+1(n∈N*),用数学归纳法探究此命题的真假情况,下列说法正确的是 (　 )
A.不能用数学归纳法判断此命题的真假
B.此命题一定为真命题
C.此命题加上条件n>9后才是真命题,否则为假命题
D.存在一个无限大的常数m,当n>m时,此命题为假命题
4.用数学归纳法证明++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 5.5　数学归纳法
1.A　[解析] 由题意,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么当n=k+1时该命题也成立,所以若n=5时命题不成立,则n=4时命题不成立(否则当n=5时命题成立).故选A.
2.B　[解析] 由题意得,当n=2时,不等式为1++<2.故选B.
3.D　[解析] ∵n为正奇数,∴n=2k-1,k∈N*.故选D.
4.D　[解析] 当n=k(k∈N*)时,不等式左边为+++…+,当n=k+1时,不等式左边为+++…++,故不等式左边增加的项为++-=+-.故选D.
5.C　[解析] 当n=2时,+a2=(2×3)a2,所以a2=.当n=3时,++a3=(3×5)a3,所以a3=.故猜想an=.故选C.
6.C　[解析] 凸(n+1)边形比凸n边形的边数增加1,即增加了一个顶点,自这一顶点向与它不相邻的(n-2)个顶点可引(n-2)条对角线,原来的一条边变为对角线,所以共增加了(n-1)条对角线.故选C.
7.C　[解析] 因为Sn=n2,所以a1=1,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又a1=1也满足上式,所以an=2n-1,
所以bn=loga,
所以Tn=loga+loga+loga+…+loga=loga,
Mn=logaan+1=loga(2n+1)=loga.
下面利用数学归纳法证明不等式××…×<(n∈N*).
(1)当n=1时,左边=,右边=,左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k时,不等式成立,即××…×<,则当n=k+1时,××…××<·=<,
即当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知不等式对任意正整数n都成立,所以×××…×>,
因为08.CD　[解析] 取n=1,则=,=,>不成立;取n=2,则=,=,>不成立;取n=3,则=,=,>成立;取n=4,则=,=,>成立.故选CD.
9.BC　[解析] 对于A,2n>2n+1(n≥3,n∈N*),当n=3时,有8>7,故当n为给定的初始值时命题成立,故A不满足题意;对于B,假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即2+4+6+…+2k=k2+k+2,当n=k+1时,有2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+2+2(k+1)=k2+2k+1+k+3=(k+1)2+(k+1)+2,故当n=k+1时命题也成立,当n=1时,等号左边为2,右边为1+1+2=4,2≠4,所以当n=1时,命题不成立,故B满足题意;对于C,假设当n=k(k∈N*,k≥3)时命题成立,即f(k)=(k-1)π,当n=k+1时,有f(k+1)=f(k)+π=kπ,故当n=k+1时,命题也成立,当n=3时,内角和为π,命题不成立,故C满足题意;对于D,假设当n=k(k≥4,k∈N*)时命题成立,即g(k)=,当n=k+1时,有g(k+1)=g(k)+k-1=+k-1=≠,故D不满足题意.故选BC.
10.k+2　[解析] 因为是所有正偶数,所以还需要用归纳假设证n=k+2时等式成立.
11.1-=　-　[解析] 用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”时,第一步应验证的等式为1-=.从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是1-+-+…+-+--1-+-+…+-=-.
12.从n=k到n=k+1的推理不正确　[解析] 由数学归纳法证明的步骤,易知该证明过程的错误之处为从n=k到n=k+1时没有用到归纳假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确.
13.解:(1)上述证法从n=k到n=k+1的推理不正确.
(2)证明:①当n=1时,<1+1,不等式成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即则当n=k+1时,==<=<==(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,该不等式成立.
14.解:假设存在常数a,b,使等式成立,
将n=1,n=2分别代入等式,得
解得
下证++…+=对任意的n∈N*恒成立.
(1)当n=1时,左边==,右边==,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即++…+=,
则当n=k+1时,
++…++=+==·=·==,
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,等式+++…+=对任意的n∈N*恒成立.
15.A　[解析] 因为从n=k到n=k+1增加了(k+3)3,减少了k3,故利用归纳假设,只需将(k+3)3展开,证明余下的项9k2+27k+27能被9整除即可.
16.解:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+2×5+2×3=41.
(2)f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,由以上规律得出f(n+1)-f(n)=4n,
当n≥2时,f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4(n-3),…,f(3)-f(2)=4×2,f(2)-f(1)=4×1,累加得f(n)-f(1)=4×[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]=2(n-1)n,∴f(n)=2n2-2n+1(n≥2),
又当n=1时,f(1)=1,满足上式,∴f(n)=2n2-2n+1(n∈N*).
(3)证明:①当n=2时,+=1+==-成立.
②假设当n=k(k≥2)时,等式成立,即+++…+=-,则当n=k+1时,+++…++=-+=-+=-,即当n=k+1时,等式也成立.
由①②可知,+++…+=-(n≥2).5.5　数学归纳法
一、选择题
1.某个与正整数n有关的命题,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时命题不成立,那么可推得(　 )
A.当n=4时该命题不成立
B.当n=6时该命题不成立
C.当n=4时该命题成立
D.当n=6时该命题成立
2.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式 (　 )
A.1+<2 B.1++<2
C.1++<3 D.1+++<3
3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应该写成(　 )
A.假设当n=k(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除
B.假设当n=2k(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除
C.假设当n=2k+1(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除
D.假设当n=2k-1(k∈N*)时,x2k-1+y2k-1能被x+y整除
4.用数学归纳法证明“+++…+>1”时,假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,则当n=k+1时,不等式左边增加的项为(　 )
A.
B.-
C.++
D.+-
5.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为 (　 )
A.
B.
C.
D.
6.若凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为 (　 )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
7.[2024·山东青岛高二期中] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}满足bn=loga(0A.Tn≥Mn B.Tn>Mn
C.Tn8.(多选题)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n,k∈N)的自然数都成立,则以下满足条件的k的值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.(多选题)以下四个命题,其中满足“假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,则当n=k+1时命题也成立”,但不满足“当n=n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是 (　 )
A.2n>2n+1(n≥3,n∈N*)
B.2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1,n∈N*)
C.凸n边形的内角和f(n)=(n-1)π(n≥3,n∈N*)
D.凸n边形的对角线条数g(n)=(n≥4,n∈N*)
二、填空题
10.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=　　　　时等式成立.
11.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”时,第一步应验证的等式是　　　　　　　　;从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是　　　　　　　　　　　　.
12.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
①当n=1时,左边=20=1,右边=21-1=1,等式成立;
②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1+2+22+…+=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…++2k==-1,所以当n=k+1时等式也成立.由①②可知对任意正整数n,等式都成立.
以上证明过程的错误之处为　.
三、解答题
13.[2024·辽宁锦州高二期末] 对于不等式(1)上述证法全部正确吗 若有不正确的,请指出.
(2)请用数学归纳法证明该不等式.
14.是否存在常数a,b,使等式+++…+=对任意的n∈N*恒成立 若存在,请用数学归纳法证明;若不存在,请说明理由.
15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”时,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开 (　 )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
16.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图为四个简单的刺绣图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5);
(2)归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;
(3)用数学归纳法证明:+++…+=-(n≥2).

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