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单元素养测评卷(一)
1.D　[解析] 将数列,-,,-,…变为,-,,-,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2,再结合各项的符号,可知其通项公式可以为an=(-1)n-1.
2.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1=1,a5=5,所以q4==5,所以q2=,所以a3=a1q2=.
3.C　[解析] ∵{an}是等差数列,∴a8+a24=2a16,即24+a24=2×8,解得a24=-8.故选C.
4.C　[解析] 因为等差数列{an}中,a1>a2>0,所以数列{an}是递减数列,又a7+a8=0,所以a7>0,a8<0,所以Sn取得最大值时,n=7,故选C.
5.D　[解析] 第1代“勾股树”中正方形的个数为1+2=3,面积的和为2;第2代“勾股树”中正方形的个数为1+2+22=7,面积的和为3;第3代“勾股树”中正方形的个数为1+2+22+23=15,面积的和为4……第n代“勾股树”中正方形的个数为1+2+…+2n=2n+1-1,面积的和为n+1.故选D.
6.A　[解析] 因为=+,所以-=,所以{}是首项为==2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=(n+1),所以an=2(n+1)2.故选A.
7.D　[解析] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,又a1=S1=2a1-1,所以a1=1,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,即an=2n-1.由an=2n-1<2025得n-1≤10,即n≤11,故数列{an}中的所有“和谐项”之和为S11==2047.故选D.
8.A　[解析] 由题意得2n+≥6+,∴-≤2n-6,即k·≤2(n-3).当n=3时,k∈R,不等式恒成立;当n≥4时,k≤6n,n∈N*;当n=2时,k≥12;当n=1时,k≥6.综上,实数k的取值范围为[12,24],故选A.
9.BC　[解析] 由题可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,所以S15==15a8为定值,但S16==8(a8+a9)不是定值.故选BC.
10.ACD　[解析] 由题意可得===,则====3+.若为整数,则n+1为15的正约数,又n+1≥2,所以n+1的可能取值为3,5,15,因此,正整数n的可能取值为2,4,14.故选ACD.
11.ABC　[解析] 由3an+1=2an+2,得3an+1-6=2an+2-6,则=,
因此{an-2}是以3-2=1为首项,为公比的等比数列,
故an-2=,故an=+2.
对于A,a3=+2=,故A正确;
对于B,(an+1-2)-(an-2)=-===-1,
所以数列{(an-2)}是等差数列,故B正确;
对于C,因为a2n=+2,
所以{a2n}的前n项和为+2n=+2n,故C正确;
对于D,an+1+=+2+≥2+2=4,
当且仅当=,即n=0时取等号,因为n是正整数,
所以上述不等式等号不成立,即an+1+>4,故D不正确.
故选ABC.
12.6　[解析] 每天种植树木的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,则该数列的前n项和Sn=,由Sn≥100,得2n≥51,因为25=32,26=64,所以n≥6,故至少需要的天数为6.
13.4072　[解析] 因为an=logn+1(n+2)(n∈N+),a1a2…ak为整数,
所以log23×log34×…×logk(k+1)×logk+1(k+2)=log2(k+2)为整数.
设log2(k+2)=m,则k+2=2m,k=2m-2.
因为211-2=2046,所以[1,2046]内所有的“理想数”为22-2,23-2,24-2,…,210-2,211-2,
其和为22-2+23-2+24-2+…+210-2+211-2=-20=4072.
14.8　[解析] 由题意可知,OA11=4 cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在OA11方向上的距离的范围,即可确定培养皿的半径的范围.依题意可知黏菌每次繁殖在OA11方向上前进的距离依次为4,2×,1,×,,×,…,则4+2×+1+×=5+>5+=7,又黏菌无限繁殖下去,每次繁殖在OA11方向上前进的距离之和为+×<+×=<=8,故培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8.
15.解:(1)由an=+++…++,
得2an=+++…++,
两式相减,得-an=+++…++-n=-n=1--n,所以an=n-1+.
(2)由(1)得a2n=2n-1+,所以Sn=+++…++ =[1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)]+ =+=n2+-.
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a6=-5,S4=-62,
所以a1+5d=-5,4a1+6d=-62,解得a1=-20,d=3,
所以an=a1+(n-1)d=-20+3(n-1)=3n-23.
(2)令an=3n-23≥0,解得n≥,
所以当n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0.
当n≤7时,Tn=-a1-a2-…-an=-(a1+a2+…+an)=-=-=-;
当n≥8时,Tn=-a1-a2-…-a7+a8+a9+…+an=-2(a1+a2+…+a7)+(a1+a2+…+an)=+154.
综上,Tn=
17.解:(1)证明:由题易知an+1>0,当n≥2时,==3,所以数列{an+1}是公比为3的等比数列.
(2)由(1)知,数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an+1=3n,所以bn=log3(an+1)=n,cn=n·3n,所以Sn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n①,所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1②,①-②可得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=-n·3n+1=-+,
所以Sn=+3n+1.
18.解:(1)因为{an}为等差数列,所以由题意可知应选择②,
即a1=1,a2=4,a3=7,所以数列{an}的公差d=3,
故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)由(1)可知=,
则Sn=+++…+,Sn=+++…+,
两式相减得Sn=3--1=3×--1,整理得Sn=4-.
若不等式Sn+≥4对任意的n∈N*恒成立,
则4-+≥4,即λ≥对任意的n∈N*恒成立.
令bn=,
则bn+1-bn=-=,
当n=1和2时,bn+1-bn>0,可得b3>b2>b1,
当n≥3时,bn+1-bn<0,可得b3>b4>b5>…,
则{bn}中的最大项为b3=,即λ≥,故λ的最小值为.
19.解:(1)由an+1=an+,令n=1,得a2=a1+=4,则{an}的公差d=2,
故an=2+2(n-1)=2n.
由an+1=an+,得bn=2n2,
故{bn}的通项公式为bn=2n2.
(2)由数列{bn}是公比为2的等比数列可得bn=2n,
又an+1=an+,所以a2=4,a3=8,a4=16,
故猜测{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.
下面用数学归纳法证明an=2n.
当n=1时,a1=2,此时等式成立.
假设n=k(k∈N*,k≥1)时,ak=2k成立,
则当n=k+1时,ak+1=2k+1.
由ak+1=ak+(k∈N*)可得ak+1=2k+=2k+1,
故n=k+1时,ak+1=2k+1也成立.
所以an=2n,
则=2n,所以Sn==2n+1-2.单元素养测评卷(一)
第五章
时间:120分钟　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.数列,-,,-,…的通项公式可能是 (　　)
A.an=(-1)n B.an=(-1)n-1
C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1
2.[2023·合肥高二期中] 在等比数列{an}中,a1=1,a5=5,则a3= (　　)
A.3 B. C.± D.
3.在等差数列{an}中,a8=24,a16=8,则a24= (　　)
A.-24 B.-16 C.-8 D.0
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>a2>0,a7+a8=0,则当Sn取得最大值时,n= (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
5.[2024·四川眉山高二期末] 图①是美丽的“勾股树”,它是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程得到的.图②是第1代“勾股树”,图③是第2代“勾股树”,已知最大的正方形的面积为1,则第n代“勾股树”中所有正方形的个数与面积的和分别为 (　　)
A.2n-1,n B.2n-1,n+1
C.2n-1-1,n D.2n+1-1,n+1
6.在数列{an}中,若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为 (　　)
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2 D.an=4n(n+1)
7.已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-1.若an∈(0,2025),则称项an为“和谐项”.数列{an}中的所有“和谐项”之和为 (　　)
A.1022 B.1023
C.2046 D.2047
8.在数列{an}中,an=2n+,若对任意n∈N*,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为 (　　)
A.[12,24] B.(12,24]
C.[3,12] D.(3,12]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有(　　)
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
10.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,若为整数,则正整数n的值可能为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.14
11.已知数列{an}满足a1=3,3an+1=2an+2,则 (　　)
A.a3=
B.数列{(an-2)}是等差数列
C.{a2n}的前n项和为+2n
D.数列的最小项为4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天种植2棵,以后每天种植树木的棵数是前一天的2倍,则至少需要的天数为　　　　.
13.设an=logn+1(n+2)(n∈N+),称使乘积a1a2…ak为整数的k(k∈N+)为“理想数”,则在[1,2046]内的所有“理想数”的和为　　　　.
14.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,如图①.通过观察发现,该黏菌繁殖有如下规律:(1)黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°),再沿直线繁殖;(2)每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图②所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到A11,然后分叉向A21与A22方向继续繁殖,其中∠A21A11A22=60°,且A11A21与A11A22关于OA11所在直线对称,A11A21=A11A22=OA11.若OA11=4 cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·山西吕梁高二期中] 在数列{an}中,an=+++…++.
(1)化简{an}的通项公式;
(2)求数列{a2n}的前n项和Sn.
16.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6=-5,S4=-62.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
17.(15分)已知数列{an}的首项a1=2,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),bn=log3(an+1),cn=anbn+n.
(1)证明:{an+1}为等比数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
18.(17分)已知{an}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任意两个数都不在表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行
第二行 4 6 9
第三行 12 8 7
请从①a1=2,②a1=1,③a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列{an}存在,并在此存在的数列{an}中,试解答下列问题:
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn,若不等式Sn+≥4对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
19.(17分)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=2,an+1=an+(n∈N*).
(1)若数列{an}为等差数列,求数列{bn}的通项公式;
(2)若数列{bn}是公比为2的等比数列,求数列的前n项和Sn.

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