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(共33张PPT)
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
探究点一 平均变化率
探究点二 平均变化率的几何意义
探究点三 平均速度
【学习目标】
1.掌握平均变化率的概念；
2.能熟练计算函数在指定区间上的平均变化率；
3.能理解平均变化率的实际意义.
知识点一 函数的平均变化率
1.函数的平均变化率
一般地,若函数的定义域为，且,, ,
,,则称 ________为自变量的改变量；称
或 为相应的因变量的改变量；称
______（或_ _________）为函数在以, 为端点
的闭区间上的平均变化率，其中“以, 为端点的闭区间”，在
时指的是，而时指的是 .
2.函数的平均变化率的实际意义
平均变化率的实际意义是，在以, 为端点的闭区间上，自变量
每增加1个单位，因变量平均将增加 个单位.因此，如果自变量
增加 个单位，那么因变量将增加_____个单位.
依照定义可知，函数在一个区间内的平均变
化率，等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的斜率.例如，图中函数 在
上的平均变化率，等于直线 的斜率，
其中, .
因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的
曲线（即函数图象）在某一区间上的变化趋
势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾
斜程度是平均变化率的“直观化”.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）表示，是相对于的一个增量， 的值可正可负，
但不可为零.
( )
√
（2）表示， 的值可正可负，也可以为零. ( )
√
（3）表示曲线上两点， 连线的斜率.
( )
√
（4）函数在区间上的平均变化率为 . ( )
×
（5）当平均变化率等于0时,说明函数在该区间上一定为常数. ( )
×
[解析] 当平均变化率 时,并不能说明函数在该区间上一定为常数.
例如函数在区间上的平均变化率是0,但 在 上
不是常数.
2.求函数在区间 上的平均变化率,并思考当
,时,平均变化率随, 的变化情况.
解：由平均变化率的定义可得函数在区间 上
的平均变化率.
当,时,,且 或 为定值时,平均变化率随着另一
个值的增大而增大.
知识点二 平均速度与平均变化率
平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位
移与时间的关系为，则物体在时 或
时这段时间内的平均速度为_ _________ .这就是
说，物体在某段时间内的平均速度等于 在该段时间内的平均
变化率.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若物体在某段时间内的平均速度为零，则此段时间内该物体处
于静止状态.
( )
×
（2）进行匀速直线运动的物体，在任何时间段内， 的平均
变化率都相等.
( )
√
探究点一 平均变化率
例1 已知函数 .
（1）求在区间 上的平均变化率；
解：由题得，
所以 在 上的平均变化率为0.9.
（2）求在区间 上的平均变化率.
解：因为 ，
所以函数在区间 上的平均变化率为
.
变式（1） [2024·江苏连云港灌南中学高二月考]函数
在区间 上的平均变化率为( )
A.1 B.2 C. D.0
[解析] 在区间 上的平均变化率为
，故选A.
√
（2）已知函数，分别计算在自变量 从1变到2和从
3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
解：自变量从1变到2时，函数 的平均变化率为
；
自变量从3变到5时，函数 的平均变化率为
.
因为，所以函数在自变量 从3变到5时函数值变化
得较快.
［素养小结］
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自
变量的增量与函数值的增量 .求平均变化率的主要步骤：
探究点二 平均变化率的几何意义
［提问］ 若函数的图象上有两点, ,
则_ _________，函数在区间 上的平均变化率
_ _________.
例2 已知和为函数 的图
象上的两点，若直线的斜率为2，求 的值.
解：直线的斜率即为函数在以1， 为端点的闭区间上的
平均变化率 .
，
直线的斜率为 .
又 直线的斜率为2，， .
［素养小结］
函数在以， 为端点的闭区间上的平均变化率的实质是函数
图象上两点，的连线 的斜率，即
.
探究点三 平均速度
例3 某物体运动的位移与时间之间的函数关系式为 ，
.
（1）分别求该物体在时间段和 内的平均速度；
解：该物体在时间段内的平均速度 .
该物体在时间段内的平均速度 .
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
解：因为 ，
所以.
作出函数在 上的图象，
如图所示，
可以发现， 在上随着的增大，
函数值 变化得越来越慢．
变式 [2024·四川广元苍溪中学高二期中] 在高台跳水运动中，运动
员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间 （单位： ）之
间的函数关系式为 .
（1）求运动员在第一个 内的平均速度；
解：运动员在第一个内的平均速度为 .
（2）求运动员在时间段 内的平均速度.
解：运动员在时间段内的平均速度为
［素养小结］
求物体的平均速度的一般步骤：首先依题设条件寻找物体的运动方
程，其次求时间改变量和位移改变量 ，最后利用平均速
度公式 求出平均速度.
1.[2024·湖北鄂北六校高二期中]函数，当自变量 由1
增加到 时，函数的平均变化率为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 由题得 ，
，故选C.
√
2.下列4个函数在区间 上的平均变化率最大的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据平均变化率的定义可求得，， ，
这4个函数在上的平均变化率依次为，, ,1.
故选B.
√
3.已知函数的图象上一点 及附近一点
，则 ( )
A. B.2 C. D.
[解析] 由题得
.故选D.
√
4.函数在区间上的平均变化率为 ，在区间
上的平均变化率为，则与 的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
√
[解析] 令,因为函数在区间 上的函数
值的平均变化量
，
所以.
因为函数在区间 上的函数值的平均变化量
，
所以.
所以，由题知 ，所以 ，故选A.
5.过曲线上两点和 作直线，当
时，直线的斜率为____；当时，直线 的斜
率为______.
2.1
2.001
[解析] ，
， 直线的斜率为.
当时，直线 的斜率为.
当时，直线 的斜率为
1.求函数 的平均变化率的步骤：
（1）求函数的增量 ;
（2）计算平均变化率 .
2.平均变化率的几何意义
由函数 的图象（如图）可知，函数
的平均变化率 的几何意
义是函数图象上的两点 ，
连线的斜率.平均变化率是曲线陡
峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均
变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精
确的”，只有当 无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精
确”.
3.平均速度
设物体运动路程与时间的关系是，在
到 这段时间内，
物体的平均速度 .
注意：在匀速直线运动中，比值 是恒定的；
在非匀速直线运动中，
比值 不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运
动，就要知道物体在
每一时刻运动的快慢程度，即瞬时速度.6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
【课前预习】
知识点一
1.x2-x1　　　2.h
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　[解析] (5)当平均变化率=0时,并不能说明函数在该区间上一定为常数.例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]上的平均变化率是0,但f(x)在[-2,2]上不是常数.
2.解:由平均变化率的定义可得函数y=x2+2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率=2x0+2+Δx.当x0>-1,Δx>0时,>0,且Δx或x0为定值时,平均变化率随着另一个值的增大而增大.
知识点二
诊断分析
(1)×　(2)√ 　
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由题得===0.9,所以f(x)在[0.1,0.2]上的平均变化率为0.9.
(2)因为f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5=6x0Δx+3(Δx)2,
所以函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.
变式　(1)A　[解析] f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为==1,故选A.
(2)解:自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==;
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为==.
因为<,所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
探究点二
提问 　
例2　解:直线PQ的斜率即为函数f(x)在以1,1+Δx为端点的闭区间上的平均变化率.
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-(1+Δx)-(12-1)=Δx+(Δx)2,
∴直线PQ的斜率为=1+Δx.
又∵直线PQ的斜率为2,∴1+Δx=2,∴Δx=1.
探究点三
例3　解:(1)该物体在时间段内的平均速度===.
该物体在时间段内的平均速度===.
(2)因为-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t在上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢.
变式　解:(1)运动员在第一个0.5 s内的平均速度为=4.05(m/s).
(2)运动员在时间段[1,2]内的平均速度为=-8.2(m/s).
【课堂评价】
1.C　[解析] 由题得Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx)2+2Δx,∴==Δx+2,故选C.
2.B　[解析] 根据平均变化率的定义可求得y=,y=x3,y=x2,y=x这4个函数在[1,1.3]上的平均变化率依次为-,3.99,2.3,1.故选B.
3.D　[解析] 由题得====2Δx+4.故选D.
4.A　[解析] 令y=f(x),因为函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的函数值的平均变化量Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-=Δx(2x0+Δx),所以k1==2x0+Δx.因为函数f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的函数值的平均变化量Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),所以k2==2x0-Δx.所以k1-k2=2Δx,由题知Δx>0,所以k1>k2,故选A.
5.2.1　2.001　[解析] ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴=2+Δx,∴直线PQ的斜率为2+Δx.当Δx=0.1时,直线PQ的斜率为2+0.1=2.1.当Δx=0.001时,直线PQ的斜率为2+0.001=2.001.6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
【学习目标】
1.掌握平均变化率的概念;
2.能熟练计算函数在指定区间上的平均变化率;
3.能理解平均变化率的实际意义.
◆ 知识点一　函数的平均变化率
1.函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=　　　　为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称=　　　 为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1x2时指的是[x2,x1].
2.函数的平均变化率的实际意义
平均变化率的实际意义是,在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加个单位.因此,如果自变量增加h个单位,那么因变量将增加　　　　　　个单位.
依照定义可知,函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.例如,图中函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率,等于直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
因此,平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相对于x1的一个增量,Δx的值可正可负,但不可为零. (　 )
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负,也可以为零. (　 )
(3)表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. (　 )
(4)函数f(x)=3x-4在区间[a,b]上的平均变化率为-4. (　 )
(5)当平均变化率等于0时,说明函数在该区间上一定为常数. (　 )
2.求函数y=x2+2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并思考当x0>-1,Δx>0时,平均变化率随x0,Δx的变化情况.
◆ 知识点二　平均速度与平均变化率
平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若物体在某段时间内的平均速度为零,则此段时间内该物体处于静止状态. (　 )
(2)进行匀速直线运动的物体,在任何时间段内,x=h(t)的平均变化率都相等. (　 )
◆ 探究点一　平均变化率
例1 已知函数f(x)=3x2+5.
(1)求f(x)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;
(2)求f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
变式 (1)[2024·江苏连云港灌南中学高二月考] 函数f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为 (　 )
A.1 B.2
C.π D.0
(2)已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
[素养小结]
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.求平均变化率的主要步骤:
◆ 探究点二　平均变化率的几何意义
[提问] 若函数y=f(x)的图象上有两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则kAB=　　　　　　,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率=　　　　　　.
例2 已知P(1,f(1))和Q(1+Δx,f(1+Δx))为函数f(x)=x2-x的图象上的两点,若直线PQ的斜率为2,求Δx的值.
[素养小结]
函数f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率的实质是函数f(x)图象上两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))的连线P1P2的斜率,即==.
◆ 探究点三　平均速度
例3 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈.
(1)分别求该物体在时间段和内的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
变式 [2024·四川广元苍溪中学高二期中] 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)之间的函数关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内的平均速度;
(2)求运动员在时间段[1,2]内的平均速度.
[素养小结]
求物体的平均速度的一般步骤:首先依题设条件寻找物体的运动方程s=f(t),其次求时间改变量Δt和位移改变量Δs,最后利用平均速度公式=求出平均速度.
1.[2024·湖北鄂北六校高二期中] 函数f(x)=x2+1,当自变量x由1增加到1+Δx时,函数的平均变化率为(　 )
A.2 B.Δx+(Δx)2
C.Δx+2 D.-Δx-2
2.下列4个函数在区间[1,1.3]上的平均变化率最大的是 (　 )
A.y= B.y=x3
C.y=x2 D.y=x
3.已知函数f(x)=2x2-6的图象上一点(1,-4)及附近一点(1+Δx,-4+Δy),则= (　 )
A.2Δx B.2
C.4+2(Δx)2 D.4+2Δx
4.函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为 (　 )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不能确定
5.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作直线,当Δx=0.1时,直线PQ的斜率为　　　　;当Δx=0.001时,直线PQ的斜率为　　　　. 6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
1.D　[解析] Δy=f(x0+kΔx)-f(x0).故选D.
2.C　[解析] f(x)的平均变化率为===2.1.故选C.
3.C　[解析] 在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A,B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,所以在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误.故选C.
4.B　[解析] 由题图可知乙的治污能力较好.
5.C　[解析] 由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].故选C.
6.B　[解析] ∵Δx=,∴Δy=-1=-1=-,∴==-.故选B.
7.B　[解析] 依题意,a===2,b===3,所以a8.ACD　[解析] 前3 s内,Δt=3 s,Δh=h(3)-h(0)=24(m),则平均速度为==8(m/s),故A,C正确;第3 s内,Δt=3-2=1(s),Δh=h(3)-h(2)=12(m),则平均速度为=12(m/s),故B错误,D正确.故选ACD.
9.BC　[解析] 由题图可得,在区间[4,7]上,<0,即函数f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0;在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,>0且Δx相同,由题图可知函数f(x)在区间[3,4]上的Δy最大,则在区间[3,4]上的平均变化率比[2,3]上的大.故选BC.
10.2　[解析] 由题意得m>1,==m+1=3,所以m=2.
11.乙甲丁丙　[解析] 因为单位时间内注入水的体积相同,所以容器①中水面高度h与时间t的函数图象为直线,即为乙;
容器②中水面高度h与时间t的函数图象先缓后陡,即为甲;
容器③中水面高度h与时间t的函数图象先陡后缓,即为丁;
容器④中水面高度h与时间t的函数图象先陡后缓,再变陡,即为丙.
12.(0,1]　[解析] Δf=f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+(2+Δx)-(-22+2)=-(Δx)2-3Δx,∴f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为=-Δx-3.由-Δx-3≥-4,得Δx≤1,又Δx>0,∴Δx的取值范围是(0,1].
13.解:设人影长度为y,行走的时间为x,
根据相似三角形的性质,有=,得y=x,
则人影长度的变化速率v===.
14.解:(1)T(10)-T(0)=+15-=-16,
即从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化率是==-1.6,
它表示从t=0到t=10这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
15.A　[解析] 由题图可知,甲学校所对应的图象比乙学校所对应的图象“陡”,故甲学校比乙学校的节能活动效果好,故A选项正确,C选项错误;由题图及平均变化率的几何意义可知,甲学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率小,故B选项错误;由于两图象不重合,故D选项错误.故选A.
16.解:正弦函数y=sin x在[0,Δx]上的平均变化率k1==.
正弦函数y=sin x在上的平均变化率k2==.
因为Δx<,所以k1=>0,k2=<0,故k1>k2.6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
一、选择题
1.对于函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+kΔx(k为常数)时,函数值的改变量Δy= (　 )
A.f(x0+kΔx)
B.f(x0)+kΔx
C.f(x0)·kΔx
D.f(x0+kΔx)-f(x0)
2.[2024·河南郑州十校高二期中] 已知函数f(x)=x2-1,则自变量x由1变到1.1时,f(x)的平均变化率为 (　 )
A.0.21 B.-0.21
C.2.1 D.-2.1
3.[2024·河北邢台五岳联盟高二期末] 物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 (　 )
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污能力较好的是 (　 )
A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定
5.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间上,平均变化率最大的一个区间是(　 )
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x3,x4] D.无法比较
6.已知曲线y=上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy),当Δx=时,直线PQ的斜率为(　 )
A.- B.- C. D.
7.[2024·北京一六一中学高二期中] 已知f(x)=2x+1和g(x)=3x+2在区间[m,n]上的平均变化率分别为a和b,则(　 )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a和b的大小随着m,n的改变而改变
8.(多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h(t)=2t2+2t,则下列说法正确的是(　 )
A.前3 s内,球滚下的垂直距离的改变量Δh=24 m
B.第3 s内,球滚下的垂直距离的改变量Δh=14 m
C.前3 s内,球的平均速度为8 m/s
D.第3 s内,球的平均速度为12 m/s
9.(多选题)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间[1,7]上的平均变化率情况是(　 )
A.在区间[1,2]上的平均变化率最小
B.在区间[2,3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3,4]上的平均变化率比[2,3]上的大
D.在区间[4,7]上的平均变化率最大
二、填空题
10.若函数f(x)=x2-c在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m=　　　　.
11.[2024·山东日照国开中学高二月考] 如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四个底面积相同的容器中,则与①~④号容器中对应的水面高度h与时间t的函数图象顺序为　　　　.
12.若函数f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不小于-4,则Δx的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.路灯距地面8 m,一身高1.6 m的人站在路灯的正下方,他沿路灯下方的直路以1.4 m/s的速度从点A走向点B,求人影长度的变化速率.
14.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)(单位:℃)为蜥蜴的体温,t(单位:min)为太阳落山后的时间.
(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0到t=10,蜥蜴体温的平均变化率是多少 它代表什么实际意义
15.甲、乙两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W(度)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有 (　 )
A.甲学校比乙学校的节能活动效果好
B.甲学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
C.两学校的节能活动效果一样好
D.两学校自节能以来用电量总是一样的
16.求正弦函数y=sin x在[0,Δx]和上的平均变化率,并比较它们的大小.

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