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(共55张PPT)
6.1 导数
6.1.2 导数及其几何意义
探究点一 瞬时速度
探究点二 导数的定义及其应用
探究点三 导数几何意义的简单应用
探究点四 求曲线的过某定点的切线方程
【学习目标】
1.理解瞬时变化率的概念与求法；
2.能求出函数在某一点处的导数；
3.理解导数的几何意义.
知识点一 瞬时变化率与导数
1.一般地，设函数在附近有定义，自变量在 处的改
变量为,当无限接近于0时，若平均变化率 _____________无
限接近于一个常数，那么称常数为函数在 处的瞬时变
化率.此时，也称在处可导，并称为在 处的导数，
记作___________.
2.“当无限接近于0时，无限接近于常数 ”常用符号“
”（读作“趋向于”）表示为当时， ,或者
写成，即 _ ________________.
由上式可以看出，当很小时， ,从而
.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）瞬时速度就是平均变化率. ( )
×
（2）瞬时速度是在某一时刻的速度. ( )
√
（3）函数在处的导数反映了函数在区间 上变化的
快慢程度.
( )
×
（4）设，则，则趋向于0时，趋向于 ，
因此 . ( )
√
（5）函数在处的导数值与 的正、负无关. ( )
√
2.平均变化率和瞬时变化率有怎样的区别和联系
解：区别：平均变化率刻画函数值在区间 上变化的快慢,
瞬时变化率刻画函数值在 处变化的快慢.
联系：当趋向于0时,平均变化率 趋向于一个常数,这个常数即为
函数在 处的瞬时变化率,它是一个固定值.
知识点二 导数的几何意义
1.曲线在某点处的切线：如图，设 是平面上的
一条曲线，是曲线上的一个定点，是曲线
上附近的点，则称直线为曲线 的割线，如
果无限接近于时，割线 无限接近于通过
直线为曲线在点处的切线
的一条直线 ，则称____________________________.
2.导数的几何意义：_______就是曲线在点 处
（也称在 处）的切线的斜率.
3.切线的方程：曲线在点 处的切线的方程是_____
____________________.
【诊断分析】 若直线是函数的图象的一条切线,则直线 与
函数 的图象是否一定只有一个公共点
解：不一定.
如图,直线与曲线在点处相切,但直线与曲线 还有其他公共点.
曲线在某点处的切线只是一个局部概念,是该点处割线的极限情况.
探究点一 瞬时速度
［提问］ （1）函数在 处的导数是函数在该点处平均
变化率的极限,即____________.
（2）若为物体的运动方程,则表示物体在时刻 的
__________.
瞬时变化率
瞬时速度
（3）当趋向于0时,平均速度 有什么样的变化趋势
解：当趋向于0时,平均速度 趋向于一个确定的值.从物理的角度看,
时间间隔无限变小时,平均速度 就无限接近于某时刻的瞬时速度.
例1 一个做直线运动的物体的位移（单位：）与时间（单位： ）
之间的关系是,且 .
（1）求此物体的初速度;
解：此物体的初速度即为 时的瞬时速度,故初速度
（2）求此物体在到 之间的平均速度；
解：此物体在到 之间的平均速度
.
（3）求此物体在 时的瞬时速度.
解：此物体在 时的瞬时速度
,
即此物体在时的瞬时速度的大小为 ,方向与初速度方向相反.
变式（1） 以初速度垂直上抛的物体， 时刻的高度为
，则物体在 时刻的瞬时速度为_________.
[解析] ，
，，
即物体在 时刻的瞬时速度为 .
（2）一质点按规律做直线运动（位移的单位:,时间
的单位:）,若该质点在时的瞬时速度为,则常数 ___.
2
[解析] ,,
则该质点在 时的瞬时速度为,
由题意得, .
［素养小结］
求物体运动的瞬时速度的步骤：
①由物体运动的位移与时间的函数关系式 求出位移变化量
；
②求物体在到之间的平均速度 ；
③求的值,即得 时的瞬时速度.
探究点二 导数的定义及其应用
［提问］ 观察函数在 处的导数的定义式
,探究下列问题：
（1）设函数在处可导,则当时, 的
值与, 的值都有关吗
解：函数在处的导数即为函数在 处的
瞬时变化率,是一个局部概念,只与的值有关,与 的值无关.
（2）函数在定义域内的每一点处都有导数吗
解：并不是任何一个函数在定义域内的每一点处都有导数.
导数研究的是函数在处及其附近函数值的改变量 与自变量
的改变量之比的极限,是一个局部概念,
若极限存在,则函数在 处有导数,否则就没有导数.
例如在 处不存在导数,
因为
所以当时, 的极限不存在,
所以在 处的导数不存在.
例2（1） 求函数在 处的导数.
解：因为 ,
所以,所以,
即函数 在 处的导数为0.
（2）若函数,且,求 的值.
解：因为,
所以,所以 .
变式 [2024·河南平顶山一中高二期中] 已知 ，则
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] .
故选D.
√
［素养小结］
（1）求函数在 处的导数的步骤：
简称：一差、二比、三极限.
（2）利用定义求函数在 处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时,要注意对 变形与约分,变形不彻底可能导致
不存在.
②当对取极限时,一定要把变形到当 时,分母是一个非零常
数的形式.
探究点三 导数几何意义的简单应用
［提问］ 当点沿着曲线趋向于点 时,割
线 的变化情况如图所示.
（1）若 ,则切线与_____平行或重合;
轴
（2）若 ,则切线的倾斜角为______;
锐角
（3）若 ,则切线的倾斜角为______.
钝角
例3（1） 已知函数，则曲线在点 处的切线
方程为______________.
[解析] ,
切线的斜率为3,
曲线在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）已知函数，若曲线在点 处的切线平行
于直线，则点 的坐标为_______.
[解析] 设切点的坐标为 ,
因为，所以切线的斜率为 .
因为切线与直线平行，
所以，得，则 ，
即切点的坐标为 .
变式 已知函数满足，则曲线
在点 处的切线的倾斜角是____.
[解析] 因为
，
所以，则曲线在点处的切线的斜率为 .设切线的倾斜角为 ，则，又,所以 .
［素养小结］
导数几何意义的简单应用包括求已知切点处切线的斜率，已知切线
的斜率，求切点的坐标，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算
的核心素养.
解已知切线的斜率，求切点的坐标的一般步骤：
①设出切点坐标；
②利用导数的定义求出切点处的斜率；
③利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
④把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点的纵坐标.
探究点四 求曲线的过某定点的切线方程
例4 求过点且与曲线 相切的直线方程.
解：由题可知，点不在曲线 上，
设切点坐标为 ，
则 ，
则切线方程为 .
因为切线过点 ，
所以 ，
即，解得或 ，
所以切点坐标为或 .
当切点坐标为时，切线斜率，切线方程为 ；
当切点坐标为时，切线斜率 ，切线方程为
，即 .
综上可知，过点且与曲线 相切的直线方程为
或 .
变式 已知曲线 .
（1）求曲线在点 处的切线方程；
解： 点在曲线 上，
曲线在点处的切线的斜率
，
曲线在点处的切线方程为 ，
即 .
（2）求曲线过点 的切线方程.
解：设曲线与过点的切线相切于点 ，
则切线的斜率
，
切线方程为，即 .
点在切线上， ，
即， ，
，
，解得或 .
故所求的切线方程为或 .
［素养小结］
在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 处的切线方
程和求曲线过点的切线方程.在点处的切线，一定是以点 为切点，
过点的切线，不确定点在不在曲线上，点 不一定是切点.
1.函数在 处的导数是( )
A. B. C. D.
[解析] ,所以 ,
所以在处的导数 .
√
2.[2024·云南昭通高二期末]已知，则
( )
A.2 B.1 C. D.6
[解析] 因为 ，
所以 .故选B.
√
3.曲线在处的切线如图所示，则 ( )
A.0 B. C.1 D.
√
[解析] 由切线经过， 两点，
可求出切线方程为,
该切线是曲线在 处的切线,
，, .故选C.
4.[2024·陕西延安高二期末]若函数在区间 内可导，且
，则 ( )
A. B. C. D.0
[解析] 由题意知，
.故选B.
√
1.关于瞬时速度的理解
物体运动的瞬时速度的定义：设物体运动路程与时间的关系是
，当趋近于0时，函数在到 之间的平均变化
率趋近于某个常数，这个常数称为物体在 时刻的瞬时
速度.瞬时速度实际上就是函数在处的导数 .
（1）瞬时速度实质是平均速度在 无限趋近于0时的极限值.
（2）瞬时速度的计算必须先求出平均速度 ，再对平均速度取
极限.
（3）趋近于0，是指时间间隔 越来越短，能越过任意小的时间
间隔，但始终不能为零.
（4）， 在变化中都趋近于0，但它们的比值却趋近于一个确定
的常数.
2.对于导数的理解
（1）函数在处的导数即为函数在 处
的瞬时变化率.
（2）当时,若比值的极限存在,则在点 处可导;若比值
的极限不存在,则在点 处不可导或无导数.
（3）函数的图象应在点 的附近有定义并且连续,否则
函数在 处的导数不存在.
（4）函数在处的导数值与 的正、负无关，若
的正负影响到的值，则函数在 处的
导数不存在，如 .
（5）导数是一个局部概念,它只与函数在 及其附近的
函数值有关,与 无关.
3.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题中抽象出来的具有
相同的数学表达式的一个重要概念,可以从它的几何意义和物理意义
来认识这一概念的实质.
4.函数在点处的导数的几何意义是曲线 在点
处切线的斜率,也就是说,曲线在点
处的切线的斜率是 .相应地,切线方程为
.如果函数在 处的导数不存在,
那么说明曲线在点 处没有切线或切线的斜率不
存在.
1.求瞬时速度时,应先求平均速度,再求其极限即可.
例1 如果某物体的运动路程与时间满足函数
（的单位为，的单位为 ）.
（1）求此物体在 末的瞬时速度.
解：因为 ，
所以，
故此物体在 末的瞬时速度为 .
（2）此物体在哪一时刻的瞬时速度为
解： ，
由，得 ，
所以此物体在末的瞬时速度为 .
2.利用导数的定义求导数,应先求平均变化率,再求其极限即可.
例2 已知建造一栋面积为平方米的房屋需要成本 万元，且
，求 ，并解释它的实际意义.
解：
，
则
.
表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为
1050 元/平方米.
3.导数的几何意义是函数图象在某一点的切线的斜率.
例3 [2024·山东枣庄高二期末] 若函数 的图象
如图所示，则 的图象可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 由的图象可知， ，
故函数的图象在和 处切线的斜率为0，
只有选项D满足条件.故选D.
√
4.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有
无穷多个.
例4 已知曲线及点,则过点可向 引切线的条
数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 令,设切点为,切线为 ,
则,故切线的方程为 ,
即,即 .
由点在直线上,可得,
即 , 即,
解得或 或,
所以过点 向C可引三条切线.
例5 已知曲线,是否存在实数,使得经过点 能够作出该
曲线的两条切线 若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解： ,
.
设切点为,则切线的斜率,
所求切线的方程为 ，
又切线过点,且 ,
,即 .
切线有两条,
,解得 .
故存在实数,使得经过点能够作出该曲线的两条切线,
实数 的取值范围是 .
5.根据斜率求切点坐标的方法步骤为：
（1）设切点坐标为 ;
（2）求切线的斜率 ;
（3）由斜率间的关系列出关于的方程,解方程求 ;
（4）点在曲线上,将代入曲线方程求 ,得切
点坐标.
例6 已知,求曲线过点 的切线的切点坐标.
解：设曲线过点的切线的切点坐标为 ，
则,
切线方程为,又此切线过点 ,
,解得.
又, 可得切点坐标为,或, .6.1.2　导数及其几何意义
【课前预习】
知识点一
1.　f'(x0)=k
2.
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.解:区别:平均变化率刻画函数值在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快慢.
联系:当Δx趋向于0时,平均变化率趋向于一个常数,这个常数即为函数在x=x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
知识点二
1.直线l为曲线S在点P0处的切线　2.f'(x0)
3.y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
诊断分析
解:不一定. 如图,直线l与曲线C在N点处相切,但直线l与曲线C还有其他公共点.曲线在某点处的切线只是一个局部概念,是该点处割线的极限情况.
【课中探究】
探究点一
提问 (1)瞬时变化率
(2)瞬时速度
(3)解:当Δt趋向于0时,平均速度趋向于一个确定的值.从物理的角度看,时间间隔|Δt|无限变小时,平均速度就无限接近于某时刻的瞬时速度.
例1　解:(1)此物体的初速度即为t=0 s时的瞬时速度,故初速度v0===(3-Δt)=3(m/s).
(2)此物体在t=0 s到t=2 s之间的平均速度===1(m/s).
(3)此物体在t=2 s时的瞬时速度v瞬====(-Δt-1)=-1(m/s),
即此物体在t=2 s时的瞬时速度的大小为1 m/s,方向与初速度方向相反.
变式　(1)v0-gt0　(2)2　[解析] (1)∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-=v0Δt-gt0Δt-g(Δt)2,∴=v0-gt0-gΔt,∴=v0-gt0,即物体在t0时刻的瞬时速度为v0-gt0.
(2)∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,∴=4a+aΔt,则该质点在t=2 s时的瞬时速度为=4a,由题意得4a=8,∴a=2.
探究点二
提问 解:(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,是一个局部概念,只与x0的值有关,与Δx的值无关.
(2)并不是任何一个函数在定义域内的每一点处都有导数.导数研究的是函数在x=x0处及其附近函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限,是一个局部概念,若极限存在,则函数在x=x0处有导数,否则就没有导数.例如f(x)=|x|在x=0处不存在导数,因为===所以当Δx→0时,的极限不存在,所以f(x)=|x|在x=0处的导数不存在.
例2　解:(1)因为Δy=(1+Δx)+-(1+1)=Δx+-1,所以=1-,所以==0,即函数y=x+在x=1处的导数为0.
(2)因为f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx,所以f'(1)==
=(aΔx+2a)=2a=2,所以a=1.
变式　D　[解析] =
2=2f'(2)=8.故选D.
探究点三
提问 (1)x轴　(2)锐角　(3)钝角
例3　(1)3x-y-2=0　(2)(2,10) [解析] (1)∵f'(1)==[3+3Δx+(Δx)2]=3,∴切线的斜率为3,∴曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)设切点P的坐标为(x0,y0),因为f'(x0)===(2x0+Δx)=2x0,所以切线的斜率为2x0.因为切线与直线4x-y-3=0平行,所以2x0=4,得x0=2,则y0=+6=10,即切点P的坐标为(2,10).
变式　　[解析] 因为=
=
+=2f'(2)=-2,所以f'(2)=-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为-1.设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,又α∈[0,π),所以α=.
探究点四
例4　解:由题可知,点(-1,-2)不在曲线y=2x-x3上,设切点坐标为(x0,2x0-),
则f'(x0)===[2-3-3x0Δx-(Δx)2]=2-3,
则切线方程为y-2x0+=(2-3)(x-x0).
因为切线过点(-1,-2),
所以-2-2x0+=(2-3)(-1-x0),
即2+3=0,解得x0=0或x0=-,
所以切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时,切线斜率k==2,切线方程为y=2x;
当切点坐标为时,切线斜率k==-,切线方程为y+2=-(x+1),即19x+4y+27=0.
综上可知,过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程为y=2x或19x+4y+27=0.
变式　解:(1)∵点P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率k=
==4,∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k'=
=,∴切线方程为y-=(x-x0),即y=·x-+.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2-+,
即-3+4=0,∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
【课堂评价】
1.C　[解析] Δy=f(3+Δx)-f(3)=-=,所以=,所以f(x)在x=3处的导数f'(3)==-.
2.B　[解析]　因为f'(x0)=2,所以==f'(x0)=1.故选B.
3.C　[解析] 由切线经过(0,-1),(2,0)两点,可求出切线方程为x-2y-2=0,∵该切线是曲线y=f(x)在x=1处的切线,∴f(1)=-,f'(1)=,∴f'(1)-f(1)=-=1.故选C.
4.B　[解析]　由题意知,=2=2f'(x0).故选B.6.1.2　导数及其几何意义
【学习目标】
1.理解瞬时变化率的概念与求法;
2.能求出函数在某一点处的导数;
3.理解导数的几何意义.
◆ 知识点一　瞬时变化率与导数
1.一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率=　　　　　　　　无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作　　　　　.
2.“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f'(x0)=　　　　　　　　　　　　.
由上式可以看出,当|Δx|很小时,f'(x0)≈,从而f(x0+Δx)-f(x0)≈f'(x0)Δx.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)瞬时速度就是平均变化率. (　 )
(2)瞬时速度是在某一时刻的速度. (　 )
(3)函数在 x=x0 处的导数反映了函数在区间 [x0,x0+Δx] 上变化的快慢程度. (　 )
(4)设 x=x0+Δx,则Δx=x-x0,则Δx趋向于0时,x趋向于x0,因此f'(x0)==. (　 )
(5)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. (　 )
2.平均变化率和瞬时变化率有怎样的区别和联系
◆ 知识点二　导数的几何意义
1.曲线在某点处的切线:如图,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点,P是曲线S上P0附近
的点,则称直线PP0为曲线S的割线,如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称　　　　　　　　　　.
2.导数的几何意义:　　　　就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率.
3.切线的方程:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的方程是　　　　　　　　　　.
【诊断分析】 若直线l是函数y=f(x)的图象的一条切线,则直线l与函数y=f(x)的图象是否一定只有一个公共点
◆ 探究点一　瞬时速度
[提问] (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数是函数在该点处平均变化率的极限,即　　　　.
(2)若y=f(x)为物体的运动方程,则f'(x0)表示物体在时刻x0的　　　　　.
(3)当Δt趋向于0时,平均速度有什么样的变化趋势
例1 一个做直线运动的物体的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系是s=h(t),且h(t)=3t-t2.
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=0 s到t=2 s之间的平均速度;
(3)求此物体在t=2 s时的瞬时速度.
变式 (1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为　　　　　.
(2)一质点按规律s=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数a=　　　　.
[素养小结]
求物体运动的瞬时速度的步骤:
①由物体运动的位移s与时间t的函数关系式s=h(t)求出位移变化量Δs=h(t0+Δt)-h(t0);
②求物体在t0到t0+Δt之间的平均速度=;
③求的值,即得t=t0时的瞬时速度.
◆ 探究点二　导数的定义及其应用
[提问] 观察函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义式f'(x0)=,探究下列问题:
(1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,则当Δx→0时,的值与x0,Δx的值都有关吗
(2)函数在定义域内的每一点处都有导数吗
例2 (1)求函数y=x+在x=1处的导数.
(2)若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,求a的值.
变式 [2024·河南平顶山一中高二期中] 已知f'(2)=4,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.4
C.6 D.8
[素养小结]
(1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤:
简称:一差、二比、三极限.
(2)利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的两个注意点:
①在求平均变化率时,要注意对变形与约分,变形不彻底可能导致不存在.
②当对取极限时,一定要把变形到当Δx→0时,分母是一个非零常数的形式.
◆ 探究点三　导数几何意义的简单应用
[提问] 当点Q沿着曲线y=f(x)趋向于点P时,割线PQ的变化情况如图所示.
(1)若f'(x0)=0,则切线与　　　　平行或重合;
(2)若f'(x0)>0,则切线的倾斜角为　　　　;
(3)若f'(x0)<0,则切线的倾斜角为　　　　.
例3 (1)已知函数f(x)=x3,则曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线方程为　　　　　　.
(2)已知函数f(x)=x2+6,若曲线y=f(x)在点P处的切线平行于直线4x-y-3=0,则点P的坐标为　　　　.
变式 已知函数f(x)满足=-2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的倾斜角是　　　　.
[素养小结]
导数几何意义的简单应用包括求已知切点处切线的斜率,已知切线的斜率,求切点的坐标,意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
解已知切线的斜率,求切点的坐标的一般步骤:
①设出切点坐标;
②利用导数的定义求出切点处的斜率;
③利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
④把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点的纵坐标.
◆ 探究点四　求曲线的过某定点的切线方程
例4 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程.
变式 已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
[素养小结]
在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程.在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不确定点P在不在曲线上,点P不一定是切点.
1.函数f(x)=在x=3处的导数是 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
2.[2024·云南昭通高二期末] 已知f'(x0)=2,则= (　 )
A.2 B.1
C. D.6
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)-f(1)= (　 )
A.0 B.-1 C.1 D.-
4.[2024·陕西延安高二期末] 若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则=(　 )
A.f'(x0) B.2f'(x0)
C.-2f'(x0) D.06.1.2　导数及其几何意义
1.B　[解析] 　=f'(x0),f'(x0)与x0有关,与h无关,故选B.
2.D　[解析] 由题得===,所以==.故选D.
3.B　[解析] f'(x0)===×2=.
4.C　[解析] 由题可知f'(1)===
=3=-,所以a=-.
5.A　[解析] 由=,可得
=,即=1,所以f'(1)==1,所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
6.B　[解析] ∵===Δt+8-,∴ =8-=.故选B.
7.A　[解析] a==是割线AB的斜率,b=f'(5)是函数y=f(x)的图象在点A处的切线的斜率,c=f'(7)是函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率.由图易知b8.AC　[解析] 对于A,在t1时刻,两图象相交,说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故A正确;对于B,在t2时刻,两图象的切线斜率不相等,说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,故B不正确;对于C,在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率均为,故C正确;对于D,在时间段[t1,t2]内,甲血管中药物浓度的平均变化率为,在时间段[t2,t3]内,甲血管中药物浓度的平均变化率为,显然不相同,故D不正确.故选AC.
9.AC　[解析] 对于A,==f'(x0),A满足题意;对于B,=2=2f'(x0),B不满足题意;对于C,=f'(x0),C满足题意;对于D,=
3=3f'(x0),D不满足题意.故选AC.
10.12.61　[解析] 因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,所以割线PQ的斜率k===(Δx)2+6Δx+12.设Δx=0.1时割线的斜率为k1,则k1=0.12+6×0.1+12=12.61.
11.　[解析]　=2x0+2,
∵切线的倾斜角θ∈,∴切线的斜率k∈[0,1],
∴0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.故x0的取值范围是.
12.　[解析] 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,抛物线y=x2在点P处的切线平行于直线y=x-2.设P(x0,y0),f(x)=x2,则f'(x0)==2x0=1,解得x0=,所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
13.解:设y=f(x)=x2,P(x0,y0)为满足条件的点,则f'(x0)==(2x0+Δx)=2x0.
(1)∵曲线y=x2在点P处的切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,解得x0=2,∴y0=4,即点P(2,4).
(2)∵曲线y=x2在点P处的切线与直线2x-6y+5=0垂直,∴2x0·=-1,解得x0=-,∴y0=,即点P-,.
(3)∵曲线y=x2在点P处的切线的倾斜角为135°,∴切线的斜率为-1,即2x0=-1,解得x0=-,∴y0=,即点P-,.
14.解:(1)Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=3-(x0+Δx)-(3-x0)=3(Δx)2+6x0Δx-Δx,
故==3Δx+6x0-1,
则f'(x0)==(3Δx+6x0-1)=6x0-1.
(2)由(1)得f'(1)=6×1-1=5,又f(1)=2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.
15.A　[解析] 由图可知,f(-14),f'(8)为负数,f(3),3f'(3)为正数,故排除C,D;设点A(3,f(3)),显然直线OA的斜率kOA大于f'(3),则>f'(3),即f(3)>3f'(3),排除B.故选A.
16.解:(1)设切点为Q(x0,y0),f(x)=ax2+1.
∵f'(x0)==(2ax0+aΔx)=2ax0,∴2ax0=1①.
又点Q(x0,y0)在曲线C与直线y=x上,∴
由①②③得a=.
(2)在曲线C:y=x2+1上取一点D(x1>0),由(1)知f'(x1)=x1.
当曲线C在点D处的切线过点A时,=x1,可得x1=2,此时D(2,3),kAD=,直线AD的方程为y=x-1.
若观察的视线不被曲线C挡住,则点B在直线AD的右下方,
∴b<5-1,即实数b的取值范围是(-∞,5-1).6.1.2　导数及其几何意义
一、选择题
1.若f(x)在x=x0处可导,则(　 )
A.与x0,h均有关
B.与x0有关,与h无关
C.与h有关,与x0无关
D.与x0,h均无关
2.[2024·福建厦门高二期中] 如果质点A的位移S(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为S(t)=-,那么该质点在t=3 s时的瞬时速度为 (　 )
A.- B.
C.- D.
3.[2023·安徽马鞍山二中高二月考] 已知函数f(x)在x=x0处可导,若=2,则f'(x0)=(　 )
A.1 B. C.2 D.8
4.若函数f(x)=x2+x-1的图象在点(1,f(1))处的切线与直线ax-y-2=0垂直,则a= (　 )
A. B.3 C.- D.-3
5.已知函数f(x)在R上可导,且满足=,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为 (　 )
A.y=x B.y=-x+
C.y=-x+2 D.y=x+
6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是秒,s的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为 (　 )
A. 米/秒 B. 米/秒
C.8 米/秒 D. 米/秒
7.[2024·云南大理高二期中] 函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,令a=,b=f'(5),c=f'(7),则 (　 )
A.bC.a8.(多选题)[2024·江苏苏州实验中学高二月考] 为了评估治疗某新型病例药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示,则下列结论正确的是 (　 )
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同
9.(多选题)设f(x)在x=x0处可导,则下列式子中与f'(x0)相等的是 (　 )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
10.过曲线y=x3上两点P(2,8)和Q(2+Δx,8+Δy)作曲线的割线,则当Δx=0.1时割线的斜率为　　　　.
11.已知P(x0,y0)为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则x0的取值范围是　　　　.
12.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　　.
三、解答题
13.在曲线y=x2上找一点,使得曲线在该点处的切线:
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)倾斜角为135°.
14.[2024·河南驻马店高二期中] 已知函数f(x)=3x2-x.
(1)求f(x)在x=x0处的导数;
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
15.如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则下列选项中值最大的是(　 )
A.f(3) B.3f'(3)
C.f(-14) D.f'(8)
16.已知曲线C:y=ax2+1与直线y=x相切.
(1)求a的值;
(2)已知点A(0,-1)及点B(5,b),从点A观察点B,若观察的视线不被曲线C挡住,求实数b的取值范围.

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