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6.1 导数
6.1.4 求导法则及其应用
探究点一 导数运算法则的应用
探究点二 求解复合函数的导数
探究点三 应用求导法则求解切线问题
【学习目标】
1.类比数和向量的四则运算,感受导数的四则运算法则,会求简单
函数的导数;
2.能够利用复合函数的求导法则求复合函数 的导数.
知识点一 函数和、差、积、商的求导法则
1.函数和与差的求导法则
（1）如果,都可导，则 _____________，即
两个函数之和的导数，等于______________________.
（2）如果,都可导，则 _____________，即
两个函数之差的导数，等于______________________.
（3）上述法则可以推广到任意有限个函数，即
_________________________.
这两个函数的导数之和
这两个函数的导数之差
2.函数积的求导法则
当,都可导时，有 _____________________，即
两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第
一个函数乘以第二个函数的导数.
特别地，当是常数函数，即时， _______.
3.函数商的求导法则
当,都可导，且时，有 _ _______________，
其中表示的是 .即两个函数的商的导数,等于分子的导数
与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方.
特别地，当时， _______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的导数为 . ( )
×
[解析] .
（2） . ( )
×
（3）函数的导数为 . ( )
√
[解析] 函数，故 .
（4）若函数的导数为,则 . ( )
×
[解析] 若函数的导数为，则（ 为常数）.
知识点二 简单复合函数的求导法则
1.复合函数的定义
一般地,已知函数与,给定 的任意一个值，就能确
定的值.如果此时还能确定的值，则可以看成 的函数，此时称
有意义，且称为函数与 的复合
函数，其中___称为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,如果函数与 的复合函数为
，那么复合函数的导数与， 之间
的关系为___________ _____________，这一结
论也可以表示为_____________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数是由函数和 复合而成的． ( )
√
（2）函数的导数是 . ( )
√
（3）函数的导数为 . ( )
×
[解析] .
（4）若 ，则 ． ( )
×
[解析]
.
2.如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
解：复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．
在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找
出，再根据内层的主体函数结构找出函数 ，
函数和复合成函数 ．
3.设函数,,,如何求函数 的导数
解： .
探究点一 导数运算法则的应用
例1 求下列函数的导数.
（1） ；
解：方法一： .
方法二： ，
.
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式 求下列函数的导数.
（1） ；
解：因为 ，
所以 .
（2） ;
解：因为 ，
所以 .
（3） .
解：因为 ，
所以
.
［素养小结］
应用导数运算法则的策略:
（1）分析待求导式子符合哪种求导法则、每一部分式子是哪些形式，
确定求导法则、基本公式.
（2）如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用
的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数
恒等变换后求导等.
（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、
差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
探究点二 求解复合函数的导数
例2 [2024·山东东明一中高二月考] 求下列函数的导数.
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解：
变式 求下列函数的导数.
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
［素养小结］
应用复合函数的导数公式求导时,应把握好以下环节：
（1）选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本函数符合导数公式
中的函数结构;
（2）从外到内,层层“剥皮”,依次求导;
（3）把中间变量转换成自变量的表达式.
探究点三 应用求导法则求解切线问题
［提问］ 曲线在点处的切线斜率 _______,对应
的切线方程为______________________.
例3 已知函数的导函数为，且 .
（1）求 的值；
解：由已知得 ，
又，所以 .
（2）求曲线在 处的切线方程.
解：由（1）知，则，
又， ，，，,
所以曲线在处的切线方程为 ，
即 .
变式 设函数,函数的图象在点 处的切线方
程为 .
（1）求 的解析式;
解：由,得 .
当时,,所以.
又,所以 .
由①②得解得故 .
（2）证明函数图象上任一点处的切线与直线和直线
所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
解：设为函数 图象上一点,
由知,的图象在点 处的切线方程为
,
即 .
令,得,即切线与直线的交点坐标为 .
令,得,即切线与直线的交点坐标为 .
所以函数的图象在点处的切线与直线和直线
所围成的三角形的面积为 .
故函数的图象上任一点处的切线与直线和直线 所围
成的三角形的面积为定值,此定值为6.
［素养小结］
应用求导法则求解切线问题需注意：
（1）求曲线切线的关键是正确求函数的导数,要注意“在某点处的切
线”与“过某点的切线”这两种不同的说法.
（2）涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则,快速求
得函数的导数,代入切点横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率,这
样比应用导数定义要快捷很多.
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.故选A.
√
2.设,则 等于( )
A. B.
C. D.
[解析] ,
.故选D.
√
3.已知函数，那么 ( )
A. B.2 C. D.
[解析] 由题意得， ，
所以 .故选A.
√
4.已知,且,,则 ( )
A.1 B.0 C. D.2
[解析] 因为,
所以 ,,
所以解得
所以 .
√
5.[2024·辽宁大连高二期中] 已知 ，则曲线
在点 处的切线方程为_______.
[解析] ，
所以，且，
所以曲线在点 处的切线方程为，
即 .
1.两个函数和（或差）的导数还可推广为
（, 为常数）.
2.求复合函数的导数需处理好以下环节：
（1）中间变量的选择应是基本初等函数结构；
（2）关键是正确分析函数的复合层次；
（3）一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
（4）善于把一部分表达式作为一个整体；
（5）最后要把中间变量换成自变量的函数.
3.利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤：
（1）分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；
（2）求每一层基本初等函数的导数；
（3）每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
1.一般情况下,应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导
数公式求导数时,积、商的求导法则运算量较大,要尽量少用积、商的
求导法则,先对函数进行化简,然后求导,这样可减少运算量.
例1 求下列函数的导数.
（1） ；
解： ，
所以 .
（2） ；
解： ，
因此， .
（3） .
解： ，
因此， .
2.求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,
由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求
导环节并及时化简计算结果.
例2 已知函数，若非零整数, 使等式
恒成立，则 的所有可能取值为____.
[解析] 由题得 ，
则 ，
.
因为非零整数,使等式 恒成立，
所以 恒成立，
所以，所以 .
若，则 ，
所以 ，此时 ；
若，则 ，
即 ，
所以 ，此时 .
综上所述， .6.1.4　求导法则及其应用
【课前预习】
知识点一
1.(1)f'(x)+g'(x)　这两个函数的导数之和
(2)f'(x)-g'(x)　这两个函数的导数之差
(3)f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x)
2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　Cf'(x)
3.　-
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)f'(x)=(x2ln x)'=(x2)'·ln x+x2(ln x)'=2xln x+x.
(3)函数y=(1-2x)2=4x2-4x+1,故y'=8x-4.
(4)若函数f(x)的导数为f'(x)=2x,则f(x)=x2+C(C为常数).
知识点二
1.u　2.f'(u)g'(x)　f'[g(x)]g'(x)　y'x=y'u u'x
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (3)y'=·(2x+1)'=.
(4)(x2cos 2x)'=2xcos 2x+x2(-sin 2x)×2=2xcos 2x-2x2sin 2x.
2.解:复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出 y=f(u),再根据内层的主体函数结构找出函数 u=g(x),函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合成函数 y=f[g(x)].
3.解:y'x=y'u·u'v·v'x.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)方法一:y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9.
方法二:∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
(2)y'=(2xcos x-3xln x)'=(2x)'cos x+2x(cos x)'-3[x'ln x+x(ln x)']=2xln 2×cos x-2xsin x-3=2xln 2×cos x-2xsin x-3ln x-3.
(3)y'===.
变式　解:(1)因为y=x3ex,所以y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=(3x2+x3)ex.
(2)因为y=(x3-1)ln x,所以y'=3x2ln x+(x3-1)·=3x2ln x+x2-.
(3)因为y=,所以y'==
=.
探究点二
例2　解:(1)y'=-e-x(x+1)2+e-x·2(x+1)=e-x(1-x2).
(2)y'=-3sin(3x-1)-=-3sin(3x-1)-.
(3)y'=2cos 2x+2cos x(-sin x)=2cos 2x-sin 2x.
(4)y'===.
变式　解:(1)y'=[ln(2x+1)]'==.
(2)y'===.
探究点三
提问 f'(x0)　y-y0=f'(x0)(x-x0)
例3　解:(1)由已知得f'(x)=a+(x>0),
又f'(2)=a+=-,所以a=-2.
(2)由(1)知f'(x)=-2+(x>0),则f'(1)=-1,又f(1)=-2,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0.
变式　解:(1)由7x-4y-12=0,得y=x-3.
当x=2时,y=,所以f(2)=①.
又f'(x)=a+,所以f'(2)=②.
由①②得解得
故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为函数f(x)图象上一点,
由f'(x)=1+知,f(x)的图象在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0,得y=-,即切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,即切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以函数f(x)的图象在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为××|2x0|=6.
故函数f(x)的图象上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
【课堂评价】
1.A　[解析] 对于A,'=()'=-=-,故A正确;对于B,[ln(3x+1)]'==,故B错误;对于C,'=1+,故C错误;对于D,'=·'=·=,故D错误.故选A.
2.D　[解析] ∵f(x)=-2exsin x,∴f'(x)=(-2ex)'sin x+(-2ex)·(sin x)'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x).故选D.
3.A　[解析] 由题意得,f'(x)=2cos 2x-2sin 2x,所以f'=2cos π-2sin π=-2.故选A.
4.C　[解析] 因为f'(x)=2ax-bcos x,所以f'(0)=-b,f'=a-bcos=a-b,所以解得所以a+b=-1.
5.y=4x　[解析] f'(x)=x'ex+x(ex)'+(3sin x)'=ex+xex+3cos x,所以f'(0)=4,且f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-0=4(x-0),即y=4x.6.1.4　求导法则及其应用
【学习目标】
1.类比数和向量的四则运算,感受导数的四则运算法则,会求简单函数的导数;
2.能够利用复合函数的求导法则求复合函数f(ax+b)的导数.
◆ 知识点一　函数和、差、积、商的求导法则
1.函数和与差的求导法则
(1)如果f(x),g(x)都可导,则[f(x)+g(x)]'=　　　　　　　　,即两个函数之和的导数,等于　　　　　　　　　　　　.
(2)如果f(x),g(x)都可导,则[f(x)-g(x)]'=　　　　　　　　,即两个函数之差的导数,等于　　　　　　　　　　　　.
(3)上述法则可以推广到任意有限个函数,即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=　　　　　　　　　　　　　　.
2.函数积的求导法则
当f(x),g(x)都可导时,有[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　,即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=C时,[Cf(x)]'=　　　　.
3.函数商的求导法则
当f(x),g(x)都可导,且g(x)≠0时,有'=　　　　　　　　　　　　,其中g2(x)表示的是[g(x)]2.即两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方.
特别地,当f(x)=1时,=　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=x2ln x的导数为f'(x)=2x·=2. (　 )
(2)'=. (　 )
(3)函数y=(1-2x)2的导数为y'=8x-4. (　 )
(4)若函数f(x)的导数为f'(x)=2x,则f(x)=x2.(　 )
◆ 知识点二　简单复合函数的求导法则
1.复合函数的定义
一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f[g(x)]有意义,且称y=h(x)=f[g(x)]为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中　　　　称为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f[g(x)],那么复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)={f[g(x)]}'=　　　　　　=　　　　　　　　　,这一结论也可以表示为　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y=sin(πx) 是由函数y=sin u 和u=πx 复合而成的. (　 )
(2)函数y=cos(2x2+x)的导数是y'=-(4x+1)·sin(2x2+x). (　 )
(3)函数y=ln(2x+1)的导数为y'=. (　 )
(4)若 f(x)=x2cos 2x ,则 f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　 )
2.如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的
3.设函数y=f(u),u=g(v),v=φ(x),如何求函数y=f{g[φ(x)]}的导数
◆ 探究点一　导数运算法则的应用
例1 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x;(3)y=.
变式 求下列函数的导数.
(1)y=x3ex;(2)y=(x3-1)ln x;
(3)y=.
[素养小结]
应用导数运算法则的策略:
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则、每一部分式子是哪些形式,确定求导法则、基本公式.
(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.
◆ 探究点二　求解复合函数的导数
例2 [2024·山东东明一中高二月考] 求下列函数的导数.
(1)y=e-x(x+1)2;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x+1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
变式 求下列函数的导数.
(1)y=ln(2x+1);(2)y=.
[素养小结]
应用复合函数的导数公式求导时,应把握好以下环节:
(1)选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本函数符合导数公式中的函数结构;
(2)从外到内,层层“剥皮”,依次求导;
(3)把中间变量转换成自变量的表达式.
◆ 探究点三　应用求导法则求解切线问题
[提问] 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率k=　　　　,对应的切线方程为　　　　　　　　.
例3 已知函数f(x)=ax+ln x的导函数为f'(x),且f'(2)=-.
(1)求a的值;
(2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
变式 设函数f(x)=ax-,函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明函数f(x)图象上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
[素养小结]
应用求导法则求解切线问题需注意:
(1)求曲线切线的关键是正确求函数的导数,要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”这两种不同的说法.
(2)涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则,快速求得函数的导数,代入切点横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率,这样比应用导数定义要快捷很多.
1.下列求导运算正确的是 (　 )
A.'=-
B.[ln(3x+1)]'=
C.'=1-
D.'=
2.设f(x)=-2exsin x,则f'(x)等于 (　 )
A.-2excos x
B.-2exsin x
C.2exsin x
D.-2ex(sin x+cos x)
3.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,那么f'= (　 )
A.-2　　B.2　　C.　　D.-
4.已知f(x)=ax2-bsin x,且f'(0)=1,f'=,则a+b= (　 )
A.1 B.0 C.-1 D.2
5.[2024·辽宁大连高二期中] 已知f(x)=xex+3sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为　　　　. 6.1.4　求导法则及其应用
1.D　[解析] ∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=.
2.A　[解析] f(x)==(1-x,所以f'(x)=×(-1)=-,故选A.
3.D　[解析] 由f(x)=sin x+2f'(0)ex,得f'(x)=cos x+2f'(0)ex,则f'(0)=cos 0+2f'(0)e0,解得f'(0)=-1,所以f(x)=sin x-2ex,所以f(0)=sin 0-2e0=-2.故选D.
4.A　[解析] 由题意知,f'(x)=x-sin x,定义域为R,又f'(-x)=-x+sin x=-f'(x),所以f'(x)为奇函数,排除B,D;f'=-1<0,排除C.故选A.
5.A　[解析] 因为y'=sin x+xcos x,所以曲线y=xsin x在点处的切线方程为y=-x,切线y=-x与x轴交于点(0,0),与直线x=π交于点(π,-π),所以切线与x轴,直线x=π所围成的三角形的面积为.
6.B　[解析] 因为y=,所以y'=,则当x=1时,y'==1+a,所以曲线y=在(1,-a)处的切线的斜率k1=1+a,直线l:2x-y+5=0的斜率k2=2.因为切线与直线l垂直,所以k1k2=-1,即2(1+a)=-1,解得a=-.
7.C　[解析] 可以看作函数y=ex的图象上的动点(a,ea)与函数y=ln x的图象上的动点(b,ln b)之间的距离,画出y=ex与y=ln x的图象,如图.
易知函数y=ex的图象与函数y=ln x的图象关于直线y=x对称,将直线y=x平移到与函数y=ex的图象和函数y=ln x的图象相切时,两动点间的距离最短.由y=ex得y'=ex,令y'==1,得x0=0,则A(0,1),函数y=ex的图象在点A(0,1)处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.由y=ln x得y'=,令y'==1,得x0=1,则B(1,0),函数y=ln x的图象在点B(1,0)处的切线方程为y=x-1.因为直线y=x+1与y=x-1平行,所以y=x+1与y=x-1之间的距离为=,故m≤.故选C.
8.ACD　[解析] 令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x).依题意g(2)=2f(2)=8,解得f(2)=4,故A正确;依题意可得曲线y=f(x)在原点处的切线过点(2,8),所以f'(0)==4,故C正确;又g'(2)=f(2)+2f'(2)=f'(0)=4,所以f'(2)=0,则曲线y=f(x)在点(2,a)处的切线方程为y=a,故B错误,D正确.故选ACD.
9.ACD　[解析] 对于A,f'(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,所以f(x)=x2有“巧值点”,故A正确;对于B,f'(x)=-e-x,令e-x=-e-x,无解,所以f(x)=e-x无“巧值点”,故B错误;对于C, f'(x)==,令ln(2x)=,作出y=ln(2x)与y=的图象,如图,
由图知方程ln(2x)=有解,所以f(x)=ln(2x)有“巧值点”,故C正确;对于D, f'(x)=-sin x,令-sin x=cos x,则tan x=-1,得x=kπ+,k∈Z,所以f(x)=cos x有“巧值点”,故D正确.故选ACD.
10.　[解析] 由f(x)=,得f'(x)==2x,
则f'(0)=1,所以所求切线的倾斜角为.
11.-5　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f'(x)是定义在R上的偶函数,所以f'(-1)=f'(1),当x>0时,f'(x)=-6x2,故f'(1)=-5,所以f'(-1)=-5.
【结论】 奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.
12.　[解析] 由g(x)=f(x)-a(x+2)=0,得f(x)=a(x+2),作出函数f(x)与h(x)=a(x+2)的图象,如图.
函数h(x)=a(x+2)的图象过定点(-2,0),
当x=2时,f(2)=ln 4,此时A(2,ln 4),
当h(x)的图象过点A(2,ln 4)时,4a=ln 4,解得a=,
此时两个函数图象有3个交点.
当h(x)与f(x)的图象在区间(-1,2]内相切时,设切点为B(m,ln(m+2)),则切线斜率k=a=,
所以切线方程为y-ln(m+2)=(x-m),即y=x+ln(m+2)-,
又切线过点(-2,0),所以0=+ln(m+2)-,即ln(m+2)=+=1,
解得m=e-2,此时a==,两曲线有2个交点.
综上所述,若g(x)=f(x)-a(x+2)的图象与x轴有3个不同的交点,则≤a<,即实数a的取值范围为.
13.解:(1)y'=(exsin x)'-(cos x)'=exsin x+excos x+sin x=ex(sin x+cos x)+sin x.
(2)y=+ln(-x),则y'=+·(-x)'=+.
(3)y=x-sin x,则y'=1-cos x.
(4)y'===-.
14.解:(1)f'(x)=1+2ax+(x>0),
∵f(x)过点P(1,0),且在点P处的切线斜率为2,
∴则解得
(2)由题得切点坐标为P(1,0),曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为2,则该切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
15.C　[解析] 设直线l与曲线y=ln(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线y=ln(e2x)相切于点B(x2,y2).设f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),则f'(x)=,由f'(x1)==k,可得x1=,则y1=f(x1)=ln(x1+1)=-ln k,即点A,将点A的坐标代入直线l的方程可得-ln k=k·+b,可得b=k-ln k-1①.因为g(x)=ln(e2x)=2+ln x,所以g'(x)=,由g'(x2)==k,可得x2=,y2=g(x2)=2-ln k,即点B,将点B的坐标代入直线l的方程可得2-ln k=k·+b=b+1,所以b=1-ln k②.联立①②可得k=2,b=1-ln 2=ln .故选C.
16.解:(1)f'(x)=a-.由题意知即解得或因为a,b∈Z,所以f(x)=x+.
(2)在曲线y=f(x)上任取一点x0,x0+.由f'(x0)=1-知,过此点的切线的方程为y-x0-=1-·(x-x0).由得
故切线与直线x=1的交点为1,;
由
得故切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).又直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),所以所围成三角形的面积为··|2x0-1-1|=2,所以所围成三角形的面积为定值2.6.1.4　求导法则及其应用
一、选择题
1. 已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是 (　 )
A. B. C. D.
2.[2023·北京五十五中高二月考] 已知函数f(x)=,则f'(x)= (　 )
A.- B.
C.-2 D.2
3.[2024·贵州铜仁高二期末] 已知函数f(x)=sin x+2f'(0)ex,则f(0)= (　 )
A.-1 B.- C.2 D.-2
4.[2024·山东济宁高二期中] 已知f(x)=x2+cos x-1,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是 (　 )
A B
C D
5.曲线y=xsin x在点处的切线与x轴,直线x=π所围成的三角形的面积为 (　 )
A. B.π2
C.2π2 D.(2+π)2
6.[2023·郑州高二期中] 若曲线y=在(1,-a)处的切线与直线l:2x-y+5=0垂直,则实数a= (　 )
A.1 B.- C. D.2
7.若不等式≥m对任意a∈R,b∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.
C.(-∞,] D.(-∞,2]
8.(多选题)[2024·山东菏泽高二期末] 已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2,8)处的切线重合,则 (　 )
A.f(2)=4
B.f'(2)=3
C.f'(0)=4
D.曲线y=f(x)在点(2,a)处的切线方程为y=a
9.(多选题)[2024·四川绵阳高二期中] 已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.则下列函数中有“巧值点”的是 (　 )
A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x
C.f(x)=ln(2x) D.f(x)=cos x
二、填空题
10.[2024·青海西宁高二期末] 函数f(x)=的图象在x=0处的切线的倾斜角为　　　　.
★11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln x-2x3.若f'(x)为f(x)的导函数,则f'(-1)=　　　　.
12.[2024·宁夏吴忠中学高二期中] 已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-a(x+2)的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.[2024·广东珠海实验中学高二期末] 求下列函数的导数:
(1)y=exsin x-cos x;
(2)y=tan x+ln(-x);
(3)y=x-sincos;
(4)y=.
14.[2024·黑龙江大兴安岭实验中学高二月考] 设函数f(x)=x+ax2+bln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在点P处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
(2)求该切线方程.
15.直线l:y=kx+b是曲线y=ln(x+1)和曲线y=ln(e2x)的公切线,则b= (　 )
A.2 B.
C.ln D.ln(2e)
16.已知函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成三角形的面积为定值,并求出此定值.

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