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6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第2课时 导数与函数单调性的应用
探究点一 已知函数的单调性求参数的取
值范围
探究点二 利用导数解决不等式问题
【学习目标】
1.会根据函数的单调性求参数的取值范围；
2.能利用导数解决不等式问题.
知识点一 导数与函数单调性的关系
（1）一般地,在区间 内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 函数的单调性
__________
__________
________
单调递增
单调递减
常函数
（2）一般地,在区间 内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性 导数
单调递增 __________
单调递减 __________
常函数 __________
【诊断分析】 观察如图所示的函数
图象,回答函数的单调性与其导数的正
负有何关系
解：（1）,故函数在区间 上是增函数.
（2）,故函数在区间, 上是减函数.
在函数定义域的某个子区间上,导数为正,则函数单调递增,
导数为负,则函数单调递减.
知识点二 已知函数的单调性求参数的取值范围
（1）已知在区间上单调递增 __________在上恒成立 求
参数的取值范围.
（2）已知在区间上单调递减 __________在上恒成立 求
参数的取值范围.
知识点三 利用导数证明不等式
证明,，可转化为证明 ,
,若或 ,则只需证明
_________________________________.
或
探究点一 已知函数的单调性求参数的取值范围
例1（1） 若函数在区间 上单调递
减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
.
令,得， 函数 的单调递减区间为
在区间 上单调递减，
解得， 实数的取值范围是 .
√
（2）若函数在区间 上存在单调递增区间，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在区间 上存在单调递增区间，
所以在区间上能成立，
即 在区间上有解，
因此，只需，解得 .故选D.
√
变式（1） 已知在上单调递增，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得在上满足 ，
即在上恒成立，
又因为在 上的最小值为,所以 .
故选D.
√
（2）[2024·四川蓬溪中学高二月考]若函数
在上不单调，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 .
因为函数在上不单调，
所以在 上有零点.
令，由 ，得.
令 ，则,
则,单调递增，又 ，所以，
故,所以实数的取值范围是 .故选D.
√
（3）已知函数在， 上单调
递增，在上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
因为在，上单调递增，在 上单调递减，
所以即解得，
所以实数 的取值范围为 .故选B.
［素养小结］
利用导数解决含参函数的单调性问题的两个基本思路：
（1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即
或 恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“ ”时是否满足题意.此类问题用到了一个非常重要的转化，
即恒成立的最大值； 恒成立
的最小值.
（2）先令或 ,求出函数的单调区间，然后结合题
意得到参数的取值范围,再验证参数取“ ”时是否满足题意.
通常验证参数取“ ”这一步不影响结果时可省略.
拓展 已知函数的图象经过点 ，函数
的图象在点处的切线恰好与直线 垂直.
（1）求实数， 的值；
解：的图象经过点 ， .
， ，
又的图象在点 处的切线恰好与直线
垂直，
.
由①②解得， .
（2）若函数在区间上不单调，求实数 的取值范围.
解：由（1）知， .
令，得或 .
函数在区间上不单调，
或，
解得或 ，
故实数的取值范围是 .
探究点二 利用导数解决不等式问题
［提问］ 若函数在 上单调递增（减）,则：
（1）_____ _____（_____ _____）;
（2） ______________（
______________）.
考向一 利用函数单调性比较大小
例2 已知函数，为 的导函数，若
，，则与 的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.无法判断与 的大小关系
√
[解析] 由题意得，，
则 ，得，
所以,所以 ，
所以为减函数.
因为，所以 ，
故选B.
变式 [2024·江西萍乡高二期中] 已知,,，则 ,
, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 令,则.
由,得 ；由,得.
所以在上单调递增，在 上单调递减.
因为， ,
，且,
所以，即 .故选C.
√
考向二 利用函数单调性解不等式
例3 若定义在上的函数满足， ，则不
等式为自然对数的底数 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意，不等式即为 .
令 ，
则 ，
因为且，所以，
所以在 上单调递增，
又，
所以 的解集为 .故选A.
变式 已知定义在上的可导函数的导函数为 ，且
，若为偶函数， ，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则，在 上单调递减.
为偶函数， ，，
，则不等式 可转化为，
即，解得，即不等式 的解集为 .
故选A.
√
［素养小结］
利用导数解决不等式问题的关键是利用导数判断函数的单调性，进
而利用函数的单调性比较大小.对原函数，要关注其单调性而不是函
数值的正负；对导函数，要关注其导函数值的正负，而不是单调性.
1.若 在定义域上为增函数，则一定
有( )
A. B.，
C.， D.
[解析] 由题知恒成立，即 恒成立，
因为，所以，即 .
√
2.[2024·北京二中高二期中]若在 上单调递增，
则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知在 上恒成立.
由，得 ，
解得，
取，得 ，则是函数的一个单调区间，
所以的最大值为 .故选C.
√
3.若函数的单调递减区间为，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知 .
因为的解集为,
且 的单调递减区间为,所以 .故选A.
√
4.若函数在区间上不单调,则实数 的取
值范围是( )
A. B.
C. D.不存在这样的实数
[解析] 由题得,令 ，得
函数在区间 上不单调,
或,
解得 或,
故实数的取值范围是 .故选B.
√
5.[2024· 上海大同中学高二期末] 已知函数 ，
则不等式 的解集为_______.
[解析] 函数的定义域为， ，
所以为偶函数.当时， ，
令，则 ，
故在上单调递增，所以，
故 在上单调递增，因为为偶函数，
所以在 上单调递减.因为，
所以 ，所以，
解得 ，所以不等式的解集为 .
利用导数研究函数单调性的注意事项
（1）若函数在某个区间上单调递增，则 在该区间上恒
成立；若函数在某个区间上单调递减，则 在该区间上
恒成立.
（2）恒成立的最大值； 恒成立
的最小值.
利用函数的单调性解决不等式问题
（1）利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数的
单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：
如构造， 构造
，构造，
构造 等.
（2）利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式问题.
例1 [2024· 广西玉林高二期末]已知上的可导函数 的图象如图
所示，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由函数 的图象可得，
当，时， ，
当时，.
由 ，得或
解得或 ，
所以不等式 的解集为 .故选A.
例2 已知为定义在上的可导函数, 为其导函数,若
恒成立,则一定有( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,
, ,是上的增函数,
则,即 ,
,故选B.
√
例3 已知,证明： .
分析：构造辅助函数,
只需证明 在 上恒成立.
证明:设, ,
则 ,
,,在 上单调递增.
又 ,
当时，,即 .第2课时　导数与函数单调性的应用
【课前预习】
知识点一
(1)单调递增　单调递减　常函数
(2)f'(x)≥0　f'(x)≤0　f'(x)=0
诊断分析
解:(1)y'=3x2≥0,故函数y=x3在区间(-∞,+∞)上是增函数.
(2)y'=-<0,故函数y=在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数.
在函数定义域的某个子区间上,导数为正,则函数单调递增,导数为负,则函数单调递减.
知识点二
(1)f'(x)≥0　(2)f'(x)≤0
知识点三
f(a)-g(a)≥0(或f(b)-g(b)≥0)
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)D　[解析] (1)函数f(x)=x2-16ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=.令f'(x)<0,得0(2)因为f(x)=ln x+ax2-2在区间上存在单调递增区间,所以f'(x)=+2ax>0在区间上能成立,即2a>-在区间上有解,因此,只需2a>-=-4,解得a>-2.故选D.
变式　(1)D　(2)D　(3)B　[解析] (1)由已知可得f'(x)=3x2-a在(-∞,-1]上满足f'(x)≥0,即a≤3x2在(-∞,-1]上恒成立,又因为y=3x2在(-∞,-1]上的最小值为3×(-1)2=3,所以a≤3.故选D.
(2)由题得f'(x)=-ln x++a-1.因为函数f(x)=(1-x)ln x+ax在(1,+∞)上不单调,所以f'(x)在(1,+∞)上有零点.令g(x)=-ln x++a-1,由g(x)=0,得 a=ln x-+1.令z(x)=ln x-+1(x>1),则z'(x)=+(x>1),则z'(x)>0,z(x)单调递增,又z(1)=0,所以z(x)>0,故a=z(x)>0,所以实数a的取值范围是(0,+∞).故选D.
(3)由f(x)=x3+ax2+x+1,得f'(x)=x2+2ax+1,因为f(x)在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以即解得-≤a≤-,所以实数a的取值范围为.故选B.
拓展　解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),
∴a+b=4①.
∵f'(x)=3ax2+2bx,∴f'(1)=3a+2b,
又f(x)=ax3+bx2的图象在点M(1,4)处的切线恰好与直线x+9y=0垂直,∴3a+2b=9②.
由①②解得a=1,b=3.
(2)由(1)知f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x.
令f'(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.
∵函数f(x)在区间[m,m+1]上不单调,∴m<-2故实数m的取值范围是(-3,-2)∪(-1,0).
探究点二
提问 (1)f(a)　f(b)　f(b)　f(a)
(2)f(x1)f(x2)
例2　B　[解析] 由题意得,f'(x)=cos x+2f',则f'=cos+2f',得f'=-,所以f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)为减函数.因为b=log32>log3==a,所以f(a)>f(b),故选B.
变式　C　[解析] 令f(x)=,则f'(x)=.由f'(x)>0,得0e.所以f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减.因为c====f,a===f(4),b==f(e),且e<<4,所以f(e)>f>f(4),即a例3　A　[解析] 由题意,不等式f(x)>+1即为exf(x)>3+ex.令F(x)=exf(x)-ex-3,则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1],因为f(x)+f'(x)>1且ex>0,所以F'(x)>0,所以F(x)在R上单调递增,又F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0,所以F(x)>0的解集为(0,+∞).故选A.
变式　A　[解析] 令g(x)=,则g'(x)=<0,∴g(x)在R上单调递减.∵y=f(x+2)为偶函数,∴f(2+x)=f(2-x),∴f(1)=f(3)=e,∴g(1)==1,则不等式f(x)>ex可转化为>,即g(x)>g(1),解得x<1,即不等式f(x)>ex的解集为(-∞,1).故选A.
【课堂评价】
1.D　[解析] 由题知f'(x)≥0恒成立,即3ax2+2bx+c≥0恒成立,因为a>0,所以Δ=4b2-12ac≤0,即b2-3ac≤0.
2.C　[解析] 由题意可知f'(x)=cos x+sin x≥0在[0,a]上恒成立.由cos x+sin x=sin≥0,得2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),取k=0,得-≤x≤,则是函数f(x)的一个单调区间,所以a的最大值为.故选C.
3.A　[解析] 由题可知f'(x)=a(3x2-1)=3a.因为3<0的解集为,且f(x)=a(x3-x)的单调递减区间为,所以a>0.故选A.
4.B　[解析] 由题得f'(x)=3x2-12,令f'(x)=3x2-12=0,得x=±2.∵函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不单调,∴k-1<25.(-1,1)　[解析] 函数f(x)的定义域为R,f(-x)=ex+e-x-2cos x=f(x),所以f(x)为偶函数.当x≥0时,f'(x)=ex-e-x+2sin x,令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex+e-x+2cos x≥2+2cos x≥0,故f'(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥f'(0)=0,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,因为f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.因为f(2x-1)【学习目标】
1.会根据函数的单调性求参数的取值范围;
2.能利用导数解决不等式问题.
◆ 知识点一　导数与函数单调性的关系
(1)一般地,在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:
导数 函数的单调性
f'(x)>0 　　　　　
f'(x)<0 　　　　　
f'(x)=0 　　　　　
(2)一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性 导数
单调递增 　　　　　
单调递减 　　　　　
常函数 　　　　　
【诊断分析】 观察如图所示的函数图象,回答函数的单调性与其导数的正负有何关系
◆ 知识点二　已知函数的单调性求参数的取值范围
(1)已知f(x)在区间D上单调递增 　　　　在D上恒成立 求参数的取值范围.
(2)已知f(x)在区间D上单调递减 　　　　在D上恒成立 求参数的取值范围.
◆ 知识点三　利用导数证明不等式
证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可转化为证明f(x)-g(x)>0,x∈(a,b),若[f(x)-g(x)]'>0(或[f(x)-g(x)]'<0),则只需证明　　　　　　　　　　　　.
◆ 探究点一　已知函数的单调性求参数的取值范围
例1 (1)若函数f(x)=x2-16ln x在区间[a-1,a+2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　 )
A.(1,3) B.(2,3)
C.[2,3] D.(1,2]
(2)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(　 )
A.(-∞,-2] B.
C. D.(-2,+∞)
变式 (1)已知f(x)=x3-ax在(-∞,-1]上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
(2)[2024·四川蓬溪中学高二月考] 若函数f(x)=(1-x)ln x+ax在(1,+∞)上不单调,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,0) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
(3)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-1] B.
C. D.
[素养小结]
利用导数解决含参函数的单调性问题的两个基本思路:
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.此类问题用到了一个非常重要的转化,即m≥f(x)恒成立 m≥f(x)的最大值;m≤f(x)恒成立 m≤f(x)的最小值.
(2)先令f'(x)>0(或f'(x)<0),求出函数的单调区间,然后结合题意得到参数的取值范围,再验证参数取“=”时是否满足题意.
通常验证参数取“=”这一步不影响结果时可省略.
拓展 已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),函数f(x)=ax3+bx2的图象在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上不单调,求实数m的取值范围.
◆ 探究点二　利用导数解决不等式问题
[提问] 若函数f(x)在(a,b)上单调递增(减),则:
(1)　　　　(2)a考向一　利用函数单调性比较大小
例2 已知函数f(x)=sin x+2xf',f'(x)为f(x)的导函数,若a=,b=log32,则f(a)与f(b)的大小关系为 (　 )
A.f(a)B.f(a)>f(b)
C.f(a)=f(b)
D.无法判断f(a)与f(b)的大小关系
变式 [2024·江西萍乡高二期中] 已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.cC.a考向二　利用函数单调性解不等式
例3 若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为 (　 )
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(3,+∞)
变式 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)ex的解集为(　 )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
[素养小结]
利用导数解决不等式问题的关键是利用导数判断函数的单调性,进而利用函数的单调性比较大小.对原函数,要关注其单调性而不是函数值的正负;对导函数,要关注其导函数值的正负,而不是单调性.
1.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在定义域上为增函数,则一定有 (　 )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0
2.[2024·北京二中高二期中] 若f(x)=sin x-cos x在[0,a]上单调递增,则a的最大值是(　 )
A. B. C. D.π
3.若函数f(x)=a(x3-x)的单调递减区间为,则a的取值范围是 (　 )
A.(0,+∞) B.(-1,0)
C.(1,+∞) D.(0,1)
4.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞)
B.(-3,-1)∪(1,3)
C.(-2,2)
D.不存在这样的实数k
5.[2024·上海大同中学高二期末] 已知函数f(x)=ex+e-x-2cos x,则不等式f(2x-1)1.C　[解析] 因为f(x)=x2ex-1,所以f'(x)=(x2+2x)ex,令f'(x)=(x2+2x)ex<0,解得-22.B　[解析] f'(x)=2ax,当x<0时,由f'(x)≤0,得a≥0.当a=0时,f(x)=-b在(-∞,0)上不单调递减,所以a>0且b∈R.
3.D　[解析] 由题得f'(x)=1-+≥0在[1,3]上恒成立,即m≥-x在[1,3]上恒成立.设g(x)=-x,x∈[1,3],因为g'(x)=--1<0在[1,3]上恒成立,所以g(x)=-x在[1,3]上单调递减,则g(x)max=g(1)=3,故m≥3.故选D.
4.C　[解析] 设g(x)=f(x)-1=sin x-x,则函数g(x)的定义域为R,g'(x)=cos x-1≤0,所以函数g(x)在R上为减函数,又g(-x)=sin(-x)+x=-sin x+x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数.由f(x+1)+f(2-2x)>2,得f(x+1)-1+f(2-2x)-1>0,即g(x+1)+g(2-2x)>0,即g(x+1)>-g(2-2x),即g(x+1)>g(2x-2),所以x+1<2x-2,解得x>3,所以原不等式的解集为(3,+∞).故选C.
5.D　[解析] 设F(x)=f(x)-x,则F'(x)=f'(x)-,因为f'(x)<,所以F'(x)=f'(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减,因为f(x)<+,且f(1)=1,所以f(x)-1,即f(x)<+的解集为(1,+∞).故选D.
6.A　[解析] 由f'(x)<-f(x)得f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,所以g(x)单调递减,故g(0)>g(1)>g(2),即e0f(0)>e1f(1)>e2f(2),即>f(1)>ef(2),故选A.
【结论】 用函数的单调性比较大小或解不等式时常构造函数,常见的有:
(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x).
(4)对于f'(x)>f(x),构造h(x)=.
(5)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x).
(6)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=.
7.D　[解析] 设g(x)=f(x)sin x,则g'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x>0,所以函数g(x)单调递增.fcos x>f,即fsin>fsin,即g>g,得解得-8.AC　[解析] 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=.令f'(x)>0,可得x>3,即函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞);令f'(x)<0,可得09.BC　[解析] 由f(x)=(x>0),得f'(x)=.令f'(x)>0,得0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.对于A,由f(3)>f(3.1),可得>,则>,故A错误;对于B,由f1,可得<,即>,故C正确;对于D,由f(1)>f(1.1)>f(1.2),可得2f(1)>f(1.1)+f(1.2),即>+,所以+<2,故D错误.故选BC.
10.-　-6　[解析] f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系得解得
11.(-∞,-1]　[解析] 由f(x)=xsin x+cos x-ax2,得f'(x)=xcos x-ax=x(cos x-a),因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤cos x在(0,+∞)上恒成立,又函数y=cos x在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a≤-1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1].
12.(-,)　[解析] 设函数F(x)=f(x)-x,则F'(x)=f'(x)-1,因为f'(x)<1,所以F'(x)<0,所以F(x)在R上单调递减,又F(2)=f(2)-2=0,F(a2)=f(a2)-a2>0,所以a2<2,解得-13.解:(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)=ex-a>0在R上恒成立,此时f(x)在R上是增函数;若a>0,则由ex-a>0,得ex>a,即x>ln a,此时f(x)的单调递增区间是[ln a,+∞).
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为[ln a,+∞).
(2)由f'(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立,得a≥ex在(-2,3)上恒成立.∵-214.解:(1)当a=1时,F(x)=,x∈R,
所以F'(x)=,令F'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,F(x),F'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
F'(x) - 0 + 0 -
F(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以函数F(x)的单调递减区间为(-∞,0],[2,+∞),单调递增区间为[0,2].
(2)当a=-4时,f(x)=-4ex.
设公切线与函数f(x)的图象相切于点(x1,-4),又f'(x)=-4ex,
所以公切线方程为y+4=-4(x-x1),即y=-4x+4(x1-1).
设公切线与函数g(x)的图象相切于点(x2,),g'(x)=2x,
则公切线方程为y-=2x2(x-x2),即y=2x2x-.
由题知则+x1-1=0.
设φ(x)=ex+x-1,则φ'(x)=ex+1>0,
所以φ(x)=ex+x-1在R上单调递增,所以方程φ(x)=0只有一个解,为x1=0,
所以公切线的方程为y=-4x-4.
15.A　[解析] 设a=sin,b=sin,c=cos,
∴6a=2sin,6b=3sin,6c=3cos.∵<,
∴3cos>3cos=.∵<,<,∴2sin<2sin=1,3sin<3sin=.∴c最大,排除B,D.设f(x)=,x∈0,,则f'(x)=.令g(x)=xcos x-sin x,x∈0,,则g'(x)=-xsin x<0,∴函数g(x)在0,上单调递减,∴g(x)f,即>,∴sin>sin,即b>a.故选A.
16.解:(1)由题得f'(x)=ln(x+1)+,
则f'(0)=ln 1+a=a,又f(0)=0,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=ax,又曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+m,
所以a=1,m=0,所以a+m=1.
(2)令g(x)=f'(x),则g'(x)=+=,x>-1.
若a≤1,则x+2-a>1-a≥0,所以g'(x)>0,则g(x)在(-1,+∞)上单调递增;
若a>1,则当-1当x>a-2时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
综上所述,当a≤1时,f'(x)在(-1,+∞)上单调递增;
当a>1时,f'(x)在[a-2,+∞)上单调递增,在(-1,a-2]上单调递减.第2课时　导数与函数单调性的应用
一、选择题
1.函数f(x)=x2ex-1的单调递减区间为 (　 )
A.[0,+∞) B.[0,2]
C.[-2,0 D.[-2,+∞)
2.若函数f(x)=ax2-b在(-∞,0)上单调递减,则a,b应满足的条件是 (　 )
A.a>0且b=0 B.a>0且b∈R
C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R
3.[2024·沈阳高二期末] 已知函数f(x)=x++mln x在[1,3]上单调递增,则实数m的取值范围为 (　 )
A. B.
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
4.[2024·重庆求精中学高二月考] 已知函数f(x)=sin x-x+1,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>2的解集是 (　 )
A.(-∞,3) B.(-∞,1)
C.(3,+∞) D.(1,+∞)
5.[2023·四川凉山州宁南中学高二月考] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则f(x)<+的解集为 (　 )
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
★6.[2023·北京人大附中高二期中] 已知e为自然对数的底数,函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)<-f(x)成立,则 (　 )
A.>f(1)>ef(2)
B.f(1)>ef(2)>
C.ef(2)>f(1)>
D.ef(2)>>f(1)
7.[2024·呼和浩特高二期中] 已知f'(x)是定义域为的函数f(x)的导函数,且f'(x)sin x+f(x)cos x>0,则不等式fcos x>f的解集为(　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可以是 (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
9.(多选题)[2024·南昌高二期中] 已知函数f(x)=(x>0),则下列结论正确的有 (　 )
A.< B.2<3
C.> D.+>2
二、填空题
10.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为[-1,2],则b=　　　　,c=　　　　.
11.[2024·广州高二期中] 若函数f(x)=xsin x+cos x-ax2在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.
12.[2023·福建宁德高二期中] 设定义在R上的函数f(x)满足f(2)=2,f'(x)<1,若f(a2)>a2,则a的取值范围为　　　　.
三、解答题
13.已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调递增区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-2,3)上单调递减 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
14.[2024·石家庄精英中学高二月考] 已知函数f(x)=aex,g(x)=x2.
(1)当a=1时,求函数F(x)=的单调区间;
(2)当a=-4时,求曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线方程.
15.制作芯片的原料是晶圆,晶圆是由硅元素加以纯化得到的,制作的晶圆越薄,制作工艺水平就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中,成立了甲、乙、丙三个科研小组,用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为sin毫米,乙小组制作的晶圆厚度为sin毫米,丙小组制作的晶圆厚度为cos毫米,则在三个小组中,制作工艺水平最高与最低的分别是 (　 )
A.甲小组和丙小组
B.丙小组和乙小组
C.乙小组和丙小组
D.丙小组和甲小组
16.[2024·河南濮阳高二期中] 已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1).
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+m,求a+m的值;
(2)若f'(x)为f(x)的导函数,讨论f'(x)的单调性.

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