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6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.2 导数与函数的极值、最值
第1课时 利用导数研究函数的极值
探究点一 函数的极值（极值点）的判断和求解
探究点二 利用函数极值（极值点）求参数
探究点三 应用极值判断函数的零点问题
【学习目标】
1.利用图象直观感知极值的概念,明确极值点附近导数的符号特征;
2.感知极大值和极小值的差异，了解极值与单调区间的关系，会
求函数的极值;
3.体会导数在研究函数性质（单调性、极值和图象）中的工具性
作用.
知识点一 函数极值的定义
1.函数极值的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，设 ，如果对于
附近的任意不同于的 ，都有
①，则称为函数的一个__________，且在
处取极大值；
②，则称为函数的一个__________，且在
处取极小值.
极大值点
极小值点
（2）极大值点与极小值点都称为________，极大值与极小值都称为
______.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函
数值最小.
极值点
极值
2.可导函数的极值与导数之间的关系
（1）一般地，如果是的极值点，且在 处可导，则
必有__________.
（2）一般地，设函数在处可导，且 .
①如果对于左侧附近的任意，都有__________，对于 右侧附近
的任意，都有__________，那么此时是 的极大值点.
②如果对于左侧附近的任意，都有__________，对于 右侧附近
的任意，都有__________，那么此时是 的极小值点.
③如果在 的左侧附近与右侧附近均为______（或均为_____），
则一定不是 的极值点.
正号
负号
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在极值点处的导数为0. ( )
×
[解析] 例如函数，根据极小值的定义，
函数 在处取得极小值，但是 不存在.
（2）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
( )
√
（3）若,则是函数 的极值点. ( )
×
[解析] 例如函数,,则,
但当 和时均有,所以0不是函数 的极值点.
（4）已知为可导函数的极值点，则 的图象在点
处的切线与 轴平行或重合. ( )
√
知识点二 求函数极值的步骤
求可导函数 的极值的步骤如下：
（1）在 的定义域内,求____________.
（2）求方程 的根.
（3）判断在根的左右两侧的符号.如果左____右____,那么
在这个根处取极大值;如果左负右正,那么 在这个根处取________;
如果左右符号相同,那么这个根不是 的极值点.
导函数
正
负
极小值
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极大值一定比极小值大. ( )
×
[解析] 极大值与极小值之间无确定的大小关系,
即一个函数的极大值未必大于极小值.
（2）在某一区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的. ( )
×
[解析] 可导函数的图象如图所示,
由图可知， ，为极小值点,，，为极
大值点,故函数 在区间 内的极大值和极小值有多个.
（3）若在某区间内有极值，那么 在该区间内不单调. ( )
√
探究点一 函数的极值（极值点）的判断和求解
［提问］ （1）如果,并且在附近的左侧 ,
右侧,那么 是________；
（2）如果,并且在附近的左侧 ,右侧
,那么 是________.
极大值
极小值
考向一 求不含参数的函数的极值
例1 求函数 的极值.
解：，令，即 ，
解得或.当变化时，， 的变化情况如下表：
3
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此，当时，函数有极大值，且极大值为 ；
当时，函数有极小值，且极小值为 .
变式 已知是定义域为的偶函数，当 时，
，则函数 的极小值是_____，极大值是__.
[解析] 当 时，
.
当时，；
当时， ，当且仅当 时取等号.
因此函数在上单调递减，在 上单调递增，
又是定义域为的偶函数，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在,处取得极小值 ；
在处取得极大值 ．
考向二 求含参数的函数的极值
例2 已知函数,其中,求
的极值.
解：,其中 ,
, ,
令,得, .
①当时,,则随着的变化,, 的变化情况如下表所示:
0 - 0
0
故当时,函数取得极大值,极大值为 ;
当时,函数取得极小值,极小值为 .
②当时,,则随着的变化,, 的变化情况如下表所示:
0 - 0
0
当时,函数取得极大值,极大值为 ;
当时,函数取得极小值,极小值为 .
综上所述,当时,函数在处取得极大值,
在 处取得极小值0;
当时,函数在处取得极大值0,在处取得极小值 .
变式 已知函数，求函数 的极值点和极值.
解：由，可得, .
①当时，，函数在 上单调递增，不存在
极值.
②当时，令，解得 .
随着的变化，， 的变化情况如下表：
- 0
极小值
所以当时，函数取得极小值，极小值为 ，
无极大值.
综上，当时，函数没有极值；
当时， 有极小值，极小值点为 ，无极大值.
［素养小结］
求可导函数 的极值的步骤：
（1）求函数的导函数 ；
（2）令 ，求出全部的根；
（3）列表，方程 的根将整个定义域分成若干个区间，把
，， 在每个区间内的变化情况列在同一个表格内；
（4）判断得结论，若在某一个根附近左正右负，则 在这个
根处取得极大值，若左负右正，则取得极小值.
注意：不要忽略函数的定义域；要正确地列出表格，不要遗漏区间
和分界点.
拓展 已知函数 .
（1）若函数在定义域上是增函数，求实数 的取值范围；
解：的定义域为 ，
由题意得 .
因为函数 在定义域上是增函数，
所以在 上恒成立，
所以在 上恒成立，
所以在上恒成立.
因为 时，，当且仅当时取等号，
所以 ，即，
所以实数的取值范围为 .
（2）讨论 的极值点的个数.
解： .
①当时，由（1）可知，函数 在定义域上是增函数,
所以无极值点，即 的极值点的个数为0.
②当时，令，得， .
当变化时，， 的变化情况如下表：
0 - 0
极大值 极小值
所以当时，取得极大值，当时， 取得极小值，
所以 的极值点的个数为2.
综上所述，当时，的极值点的个数为0；
当 时， 的极值点的个数为2.
探究点二 利用函数极值（极值点）求参数
［提问］ 假设存在,那么“为极值点”与“ ”有何关系
解：若是极值点,则;
反之,若,则 不一定是极值点.
例3 [2024·广州十七中高二期中]已知函数 在
定义域内有两个极值点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知的定义域为，且 ，
令，可得 ，
由题意可知直线与函数 的图象有两个交点.
，
令，可得，令，可得 ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
因为，当时， ，当 时，，
所以 的图象如图所示.
由图可得，解得 ，
所以实数的取值范围为 .故选D.
变式 [2023·山西阳泉期末] 已知在 处
取得极大值3，求, 的值.
解：由题意可得 ，
因为是函数的极值点，所以 ，
可得 ，
因为在处的极大值为3，所以 ，
解得或 .
当时，，此时 ，
当时，，当时， ,
所以函数在上单调递减，在 上单调递增,
此时函数在处取得极小值，与题意不符，故 舍去；
当时，，此时 ，
当时，，当时， ，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减,
此时函数在 处取得极大值，符合题意.
所以， .
［素养小结］
已知函数的极值求参数的方法：
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存
在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目中的条件.
（2）对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在
某区间内恒成立的问题,即转化为或 在某区间内恒
成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
探究点三 应用极值判断函数的零点问题
［提问］ （1）如果函数在 处的值等于零,即
,那么 叫作这个函数的零点，即函数的零点 _________
_____________________________.
方程的根
函数图象与轴的交点的横坐标
（2）如何判断函数的图象与函数 的图象的交点个
数呢
解：方法一：画出两个函数的图象,通过观察图象的交点情况确定交
点个数.
方法二：构造函数,将问题转化为求 的零点
个数问题,也可以转化为求解方程 的根的个数问题.
例4（1） 方程 的实数根的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 设,则 ,
令,解得或.
当时,, 单调递增;
当时,，单调递减；
当 时，,单调递增.
所以当时,函数 取得极大值,
当时,函数取得极小值 ,
又，所以在 上有唯一的零点，
即方程 只有1个实数根.故选C.
√
（2）已知函数,讨论方程 的解
的个数.
解： .
当变化时,, 的变化情况如下表：
2
0 - 0
极大值 极小值
所以, .
画出函数 的大致图象，如图所示.
作出直线,由图知,当或 时,
方程 有1个解;
当或时,方程 有2个解;
当时,方程 有3个解.
变式 （多选题）设， 是一个常数，且当
或时，只有一个实根，当 时，
有三个相异实根，则下列说法正确的是( )
A.和 有一个相同的实根
B.和 有一个相同的实根
C.的任一实根大于 的任一实根
D.的任一实根小于 的任一实根
√
√
√
[解析] 由题意知函数 的极大值是4，极小值是0，
因为极大值点和极小值点处的导数均为0，
所以A，B正确.
因为的解析式中， 的系数是正数1，
所以函数 的大致图象如图所示，
因此的任一实根小于 的任一实根， C错误；
的任一实根小于 的任一实根，D正确.
故选.
［素养小结］
利用函数的极值判断函数的零点的个数,主要是应用导数判断函数的
单调性、极值,从而画出函数的大致图象,进而运用数形结合思想来确
定函数图象与 轴的交点个数,从而判断函数的零点的个数.
1.已知可导函数的定义域为,其导函数 的图象如图所示,则
函数 ( )
A.无极大值点,有4个极小值点
B.有3个极大值点,2个极小值点
C.有2个极大值点,2个极小值点
D.有4个极大值点,无极小值点
[解析] 由导函数的图象易知, 有2个极大值点,2个极小值点.
故选C.
√
2.[2024·福州一中高二期中]函数在 上的极小
值点是( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由题可得，
当时， ，单调递减，
当时，， 单调递增，
所以在上的极小值点为 .故选B.
√
3.设函数 ，则( )
A.有极大值 B.有极小值
C.有极大值 D.有极小值
[解析] 的定义域为，，
令 ，可得.
当时，；当时， .
所以函数在处取得极小值 ，故选B.
√
4.函数 的零点个数及分布情况为( )
A.一个零点，在 内
B.两个零点，分别在， 内
C.三个零点，分别在，， 内
D.三个零点，分别在，， 内
√
[解析] ,
易得函数 在上单调递减，在上单调递增，
在 上单调递减，
而，，
故函数的图象与 轴仅有一个交点，且交点的横坐标在 内.
故选A.
5.若函数无极值点，则实数 的取值范围是
_______.
[解析] 因为，所以 ，
又函数无极值点，所以 ，
解得，故实数的取值范围是 .
1.在函数的极值定义中,一定要明确函数在 及其附近有
定义,否则无从比较.
2.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概
念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值,而且极小值
未必小于极大值.仅是可导函数在 处有极值的必
要条件,是的极值点,当且仅当在的左、右两侧 的符
号产生变化.
3.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或
最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
5.如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点.
6.若在区间内有极值,则在 内一定不是单调函数,
即在某区间上单调的函数没有极值.
7.如果函数在 上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.
相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之
间必有一个极大值点.一般地,当函数在 上连续且有有限个极
值点时（个数大于等于2）,函数在 上的极大值点、极小值
点是交替出现的.
分类讨论的思想在求极值中的应用
例 已知为常数，函数有两个极值点 ，
，则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] ,
令，由题意可得有两个不同的根, ，
记,则在 上有且只有两个零点，
.
①当时，,单调递增，因此 至多有一个零点，
不符合题意.
②当时，令，解得 ，
当时,，函数单调递增，
当 时，，函数 单调递减，
所以是函数的极大值点，
由题意得 ，即 ，得 .
故当时，有两个不同的根, ，且 .
因为，所以 ，
当时，,单调递减，
当 时，,单调递增，
当时，, 单调递减，
所以, ，故选C.6.2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　利用导数研究函数的极值
【课前预习】
知识点一
1.(1)①极大值点　②极小值点　(2)极值点　极值
2.(1)f'(x0)=0　(2)①f'(x)>0　f'(x)<0
②f'(x)<0　f'(x)>0　③正号　负号
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)例如函数f(x)=|x|,根据极小值的定义,函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但是f'(0)不存在.
(3)例如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但当x<0和x>0时均有f'(x)>0,所以0不是函数f(x)=x3的极值点.
知识点二
(1)导函数f'(x)　(3)正　负　极小值
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.
(2)可导函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知x=d,x=f,x=h为极小值点,x=e,x=g,x=i为极大值点,故函数y=f(x)在区间[c,j]内的极大值和极小值有多个.
【课中探究】
探究点一
提问 (1)极大值　(2)极小值
例1　解:f'(x)=3x2-6x-9,令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此,当x=-1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且极小值为f(3)=-22.
变式　-　e　[解析] 当x≤0时,f'(x)=3(x+1)2ex+1+(x+1)3ex+1=(x+4)(x+1)2ex+1.
当x<-4时,f'(x)<0;当-4因此函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减,在(-4,0]上单调递增,
又f(x)是定义域为R的偶函数,所以函数f(x)在[0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=-4,x=4处取得极小值f(4)=f(-4)=-;f(x)在x=0处取得极大值f(0)=e.
例2　解:∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,
∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a),a≠0,
令f'(x)=0,得x1=,x2=.
①当a>0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ 0 ↗
故当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=0.
②当a<0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
∴当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=0;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值0;
当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值0,在x=处取得极小值.
变式　解:由f(x)=x-aln x,可得f'(x)=1-=,x∈(0,+∞).
①当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不存在极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,a) a (a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=a时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a<0时,函数f(x)没有极值;当a>0时,f(x)有极小值a-aln a,极小值点为a,无极大值.
拓展　解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),由题意得f'(x)=+2x+a=(x>0).
因为函数f(x)在定义域上是增函数,
所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以2x2+ax+2≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以-a≤2x+在(0,+∞)上恒成立.因为x>0时,2x+≥2=4,当且仅当x=1时取等号,所以-a≤4,即a≥-4,所以实数a的取值范围为[-4,+∞).
(2)f'(x)=(x>0).
①当a≥-4时,由(1)可知,函数f(x)在定义域上是增函数,所以f(x)无极值点,即f(x)的极值点的个数为0.
②当a<-4时,令f'(x)=0,得x1=,x2=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x=x1时,f(x)取得极大值,当x=x2时,f(x)取得极小值,所以f(x)的极值点的个数为2.
综上所述,当a≥-4时,f(x)的极值点的个数为0;当a<-4时,f(x)的极值点的个数为2.
探究点二
提问 解:若x0是极值点,则f'(x0)=0;反之,若f'(x0)=0,则x0不一定是极值点.
例3　D　[解析] 由题可知f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x-2kx,
令f'(x)=0,可得2k=,
由题意可知直线y=2k与函数g(x)=的图象有两个交点.
g'(x)=,
令g'(x)>0,可得0e,
所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
因为g(e)=,当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,
所以g(x)的图象如图所示.
由图可得0<2k<,解得0所以实数k的取值范围为.故选D.
变式　解:由题意可得f'(x)=3ax2+3b,
因为x=-1是函数f(x)的极值点,所以f'(-1)=3a+3b=0,可得a=-b,
因为在x=-1处的极大值为3,所以f(-1)=-a-3b+b2=3,解得b=-1或b=3.
当b=3时,a=-3,此时f'(x)=-9(x-1)(x+1),
当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,
此时函数f(x)在x=-1处取得极小值,与题意不符,故b=3舍去;
当b=-1时,a=1,此时f'(x)=3(x-1)(x+1),
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
此时函数f(x)在x=-1处取得极大值,符合题意.
所以a=1,b=-1.
探究点三
提问 (1)方程的根　函数图象与x轴的交点的横坐标
(2)解:方法一:画出两个函数的图象,通过观察图象的交点情况确定交点个数.
方法二:构造函数F(x)=f(x)-g(x),将问题转化为求F(x)的零点个数问题,也可以转化为求解方程F(x)=0的根的个数问题.
例4　(1)C　[解析] 设h(x)=x3-3x2-9x-10,则h'(x)=3x2-6x-9,令h'(x)=0,解得x=3或x=-1.当x∈(-∞,-1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(-1,3)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(3,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=-1时,函数h(x)取得极大值h(-1)=-5,当x=3时,函数h(x)取得极小值h(3)=-37,又h(6)=44>0,所以h(x)在R上有唯一的零点,即方程x3-3x2-9x-10=0只有1个实数根.故选C.
(2)解:f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)极小值=f(2)=-12,f(x)极大值=f(-2)=20.
画出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.
作出直线y=m,由图知,当m>20或m<-12时,方程f(x)=m有1个解;
当m=20或m=-12时,方程f(x)=m有2个解;
当-12变式　ABD　[解析] 由题意知函数f(x)的极大值是4,极小值是0,因为极大值点和极小值点处的导数均为0,
所以A,B正确.因为f(x)的解析式中,x3的系数是正数1,所以函数f(x)的大致图象如图所示,因此f(x)=-3的任一实根小于f(x)=1的任一实根,C错误;f(x)=-5的任一实根小于f(x)=2的任一实根,D正确.故选ABD.
【课堂评价】
1.C　[解析] 由导函数f'(x)的图象易知,f(x)有2个极大值点,2个极小值点.故选C.
2.B　[解析] 由题可得f'(x)=2sin x-1,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在上的极小值点为.故选B.
3.B　[解析] f(x)=x·ex的定义域为R,f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,可得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0.所以函数f(x)=x·ex在x=-1处取得极小值f(-1)=-,故选B.
4.A　[解析] f'(x)=-3x2+2x+1=-3(x-1),易得函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,而f=-<0,f(1)=-1<0,故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,且交点的横坐标在内.故选A.
5.[-1,1]　[解析] 因为f(x)=x3-ax2+x-5,所以f'(x)=x2-2ax+1,又函数f(x)=x3-ax2+x-5无极值点,所以(-2a)2-4≤0,解得-1≤a≤1,故实数a的取值范围是[-1,1].6.2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　利用导数研究函数的极值
【学习目标】
1.利用图象直观感知极值的概念,明确极值点附近导数的符号特征;
2.感知极大值和极小值的差异,了解极值与单调区间的关系,会求函数的极值;
3.体会导数在研究函数性质(单调性、极值和图象)中的工具性作用.
◆ 知识点一　函数极值的定义
1.函数极值的定义
(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
①f(x)②f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个　　　　　,且f(x)在x0处取极小值.
(2)极大值点与极小值点都称为　　　　　,极大值与极小值都称为　　　　.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
2.可导函数的极值与导数之间的关系
(1)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有　　　　　　　　.
(2)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.
①如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　　,那么此时x0是f(x)的极大值点.
②如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　　,那么此时x0是f(x)的极小值点.
③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为　　　　(或均为　　　　),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在极值点处的导数为0. (　 )
(2)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. (　 )
(3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　 )
(4)已知x0为可导函数f(x)的极值点,则f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线与x轴平行或重合.(　 )
◆ 知识点二　求函数极值的步骤
求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1)在f(x)的定义域内,求　　　　　　　　.
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)判断f'(x)在根的左右两侧的符号.如果左　　　　右　　　　,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取　　　　　;如果左右符号相同,那么这个根不是f(x)的极值点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大. (　 )
(2)在某一区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的. (　 )
(3)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在该区间内不单调. (　 )
◆ 探究点一　函数的极值(极值点)的判断和求解
[提问] (1)如果f'(x0)=0,并且在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是　　　　　;
(2)如果f'(x0)=0,并且在x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是　　　　　.
考向一　求不含参数的函数的极值
例1 求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.
变式 已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,则函数f(x)的极小值是　　　　,极大值是　　　　.
考向二　求含参数的函数的极值
例2 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
变式 已知函数f(x)=x-aln x(a≠0),求函数f(x)的极值点和极值.
[素养小结]
求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)求函数f(x)的导函数f'(x);
(2)令f'(x)=0,求出全部的根;
(3)列表,方程f'(x)=0的根将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格内;
(4)判断得结论,若f'(x)在某一个根附近左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值,若左负右正,则取得极小值.
注意:不要忽略函数的定义域;要正确地列出表格,不要遗漏区间和分界点.
拓展 已知函数f(x)=2ln x+x2+ax(a∈R).
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
◆ 探究点二　利用函数极值(极值点)求参数
[提问] 假设f'(x0)存在,那么“x0为极值点”与“f'(x0)=0”有何关系
例3 [2024·广州十七中高二期中] 已知函数f(x)=xln x-kx2-x在定义域内有两个极值点,则实数k的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
变式 [2023·山西阳泉期末] 已知f(x)=ax3+3bx+b2在x=-1处取得极大值3,求a,b的值.
[素养小结]
已知函数的极值求参数的方法:
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目中的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
◆ 探究点三　应用极值判断函数的零点问题
[提问] (1)如果函数y=f(x)在x=α处的值等于零,即f(α)=0,那么α叫作这个函数的零点,即函数的零点 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)如何判断函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点个数呢
例4 (1)方程x3-3x2-9x-10=0的实数根的个数为 (　 )
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)已知函数f(x)=x3-12x+4,讨论方程f(x)=m(m∈R)的解的个数.
变式 (多选题)设f(x)=x3+bx2+cx+d,k是一个常数,且当k<0或k>4时,f(x)-k=0只有一个实根,当0A.f(x)-4=0和f'(x)=0有一个相同的实根
B.f(x)=0和f'(x)=0有一个相同的实根
C.f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根
D.f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根
[素养小结]
利用函数的极值判断函数的零点的个数,主要是应用导数判断函数的单调性、极值,从而画出函数的大致图象,进而运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数,从而判断函数的零点的个数.
1.已知可导函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)(　 )
A.无极大值点,有4个极小值点
B.有3个极大值点,2个极小值点
C.有2个极大值点,2个极小值点
D.有4个极大值点,无极小值点
2.[2024·福州一中高二期中] 函数f(x)=-x-2cos x在上的极小值点是 (　 )
A.0 B. C. D.
3.设函数f(x)=x·ex,则 (　 )
A.f(x)有极大值
B.f(x)有极小值-
C.f(x)有极大值e
D.f(x)有极小值-e
4.函数f(x)=-x3+x2+x-2的零点个数及分布情况为 (　 )
A.一个零点,在内
B.两个零点,分别在,(0,+∞)内
C.三个零点,分别在,,(1,+∞)内
D.三个零点,分别在,(0,1),(1,+∞)内
5.若函数f(x)=x3-ax2+x-5无极值点,则实数a的取值范围是　　　　. 6.2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　利用导数研究函数的极值
1.A　[解析] 若f(x)可导,f'(x)=0有实根,则f(x)不一定有极值;若f(x)有极值,则f'(x)=0一定有解.故“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件,
2.A　[解析] f(x)=x2-ln x,x>0,则f'(x)=x-=,令f'(x)=0,得x=1.因为当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)=.故选A.
3.B　[解析] 由f(x)=aln x+x2,得f'(x)=+2x,
因为函数f(x)=aln x+x2在x=1处取得极值,
所以f'(1)=+2=0,解得a=-2,
此时f(x)=-2ln x+x2,f'(x)=+2x=,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极小值.故选B.
4.B　[解析] 由f(x)=0,得x=0或x=2,故排除A,C.由f(x)=(x2-2x)ex,得f'(x)=(x2-2)ex.当x<-或x>时,f'(x)>0,当-5.A　[解析] 由题意知,f'(x)=[x2+(2-m)x-2m]·ex,由f'(0)=-2m=0,解得m=0,所以函数f(x)=x2·ex,此时f'(x)=(x2+2x)·ex.由f'(x)>0,即x2+2x>0,解得x<-2或x>0;由f'(x)<0,即x2+2x<0,解得-26.A　[解析] ∵f(x)有两个不同的极值点,∴f'(x)=2x+a+==0在(0,+∞)上有两个不相同的实数解,即2x2+ax+1=0在(0,+∞)上有两个不相同的实数解,∴∴a<-2.故选A.
7.A　[解析] 因为函数f(x)有两个零点,所以函数g(x)=(x+1)ex的图象与直线y=a有两个交点,
g'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,令g'(x)=0,解得x=-2.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) 单调递减 极小值- 单调递增
所以函数g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,
所以当x=-2时,g(x)取得极小值g(-2)=-,
令g(x)=0,解得x=-1,
当x<-1时,g(x)<0,当x>-1时,g(x)>0,
当x→-∞时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→+∞,
作出函数g(x)的大致图象,如图所示,
由图可得,当-函数g(x)的图象与直线y=a有两个交点,
所以实数a的取值范围为.故选A.
8.BD　[解析] 由导函数f'(x)的图象可知,当x<-2时,f'(x)>0,当-29.BCD　[解析] 因为f(x)=aln x++bx,x>0,所以f'(x)=+x+b=(x>0).
若f(x)存在极值点,
则关于x的方程x2+bx+a=0有2个不相等的实数根,且至少有1个根为正数,
则或故A错误;
若a<0,则b2-4a>0,
则关于x的方程x2+bx+a=0有2个不相等的实数根x1,x2,且x1x2=a<0,
故关于x的方程x2+bx+a=0恰有1个正根,即f(x)有且只有1个极值点,故B正确;
若f(x)有2个极值点,则关于x的方程x2+bx+a=0有2个不相等的正根,
则所以ab<0,故C正确;
若1是f(x)的极大值点,
则关于x的方程x2+bx+a=0有2个不相等的正根1,x3,且x3=a>1,故D正确.故选BCD.
10.　[解析] 由f(x)=(x2-3x+1)ex,得f'(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+1)ex=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex.令f'(x)=0,解得x=-1或x=2.令f'(x)>0,解得x>2或x<-1;令f'(x)<0,解得-111.(-∞,2)　[解析] 由题可得f'(x)=(x+2)(3x+2m+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=-.当-<-2,即m>2时,
令f'(x)>0,得x<-或x>-2,令f'(x)<0,得-所以-2是函数f(x)的极小值点,不符合题意.当-2<-,即m<2时,
令f'(x)>0,得x<-2或x>-,令f'(x)<0,得-2所以-2是函数f(x)的极大值点,符合题意.
当-2=-,即m=2时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)没有极值点,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,2).
12.　　[解析] f'(x)=(2cos x-1)(cos x+1).令f'(x)=0,得cos x=或cos x=-1.因为0x
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故当x=时,f(x)取得极大值,极大值为.
13.解:由f(x)=ex-2x+2,x∈R知f'(x)=ex-2,x∈R.
令f'(x)=0,得x=ln 2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),且f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2=4-2ln 2,f(x)无极大值.
14.解:(1)证明:当a=1,b=0时,f(x)=ex-1-sin x,所以f'(x)=ex-cos x,因为x≥0,所以ex≥1,又因为cos x≤1,
所以f'(x)=ex-cos x≥0在[0,+∞)上恒成立,且不恒为零,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.
(2)当a=0时,f(x)=ex-1-bx,所以f'(x)=ex-b.
若b≤0,则f'(x)>0,f(x)在R上是增函数,f(x)无极值点;若b>0,则由f'(x)=0,解得x=ln b,当x∈(-∞,ln b)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln b,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的极小值点为x=ln b,无极大值点.
综上,当b≤0时,f(x)无极值点;当b>0时,f(x)的极小值点为x=ln b,无极大值点.
15.C　[解析] 采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:甲净胜两局,概率为p2;前两局甲一胜一负,第三局甲胜,概率为p(1-p)·p=2p2(1-p).故q=p2+2p2(1-p),则q-p=p2+2p2(1-p)-p=-2p3+3p2-p(016.解:(1)由题可得f'(x)=2x--4=,
∵函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴x2-2x-m≥0对x∈(0,+∞)恒成立,
即m≤x2-2x对x∈(0,+∞)恒成立,
∵当x∈(0,+∞)时,x2-2x≥-1,
∴m≤-1,故实数m的取值范围为(-∞,-1].
(2)①证明:由(1)知f'(x)=,
令g(x)=x2-2x-m,
当-10,
设g(x)=x2-2x-m的两个零点为x1,x2,且x1则x1+x2=2>0,x1x2=-m>0,∴x1>0,x2>0,
∴f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
∴f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,
∴函数f(x)既有极大值又有极小值.
②由①知a=-2mln x1-4x1,b=-2mln x2-4x2,
∴a-b=-2mln x1-4x1-(-2mln x2-4x2)=--2mln -4x1+4x2=(x1-x2)(x1+x2-4)-2mln .由x1+x2=2,x1x2=-m,
得x1-x2=-=-2,
令=t,则0∴可得m=-,
∵-1∴-1<-≤-,解得≤t<1,
∴==-+t-2ln t.
设h(t)=-+t-2ln t,≤t<1,
则h'(t)=+1-==>0,
∴ h(t)在上单调递增,
∴ h(t)≥h=-3+-2ln =-+2ln 3,h(t)∴ 的取值范围是.6.2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　利用导数研究函数的极值
一、选择题
1.若函数f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 (　 )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)=x2-ln x的极小值为 (　 )
A. B.1
C.0 D.不存在
3.[2024·宁夏吴忠中学高二期中] 若函数f(x)=aln x+x2在x=1处取得极值,则a= (　 )
A.0 B.-2
C.1 D.-1
4.[2023·成都外国语学校高二期中] 函数f(x)=(x2-2x)ex的图象大致是(　 )
ABCD
5.已知函数f(x)=(x2-mx-m)ex+2m(m∈R,e是自然对数的底数)在x=0处取得极小值,则f(x)的极大值是 (　 )
A.4e-2 B.4e2
C.e-2 D.e2
6.[2023·成都蓉城高中高二期中] 若函数f(x)=x2+ax+ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为 (　 )
A.a<-2 B.a>2
C.-22
7.[2024·长沙周南中学高二期末] 已知函数f(x)=(x+1)ex-a,若函数f(x)有两个零点,则实数a的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 (　 )
A.x=1是函数f(x)的极值点
B.f(x)在区间(-2,3)上单调递减
C.函数f(x)在x=-1处取得极小值
D.f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零
9.(多选题)[2024·郑州高二期中] 关于函数f(x)=aln x++bx,下列说法正确的是(　 )
A.若f(x)存在极值点,则b2-4a<0
B.若a<0,则f(x)有且只有1个极值点
C.若f(x)有两个极值点,则ab<0
D.若1是f(x)的极大值点,则a>1
二、填空题
10.函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值是　　　　.
11.[2024·陕西榆林高二期中] 若-2是函数f(x)=(x+2)2(x+m)的极大值点,则实数m的取值范围是　　　　.
12.已知f(x)=(1+cos x)sin x(0三、解答题
13.已知函数f(x)=ex-2x+2,x∈R,求f(x)的单调区间与极值.
14.已知函数f(x)=ex-1-asin x-bx,a,b∈R.
(1)当a=1,b=0时,证明:f(x)在[0,+∞)上单调递增;
(2)当a=0时,讨论f(x)的极值点.
15.甲、乙两人进行乒乓球友谊赛,每局甲胜出的概率是p(0A. B.-
C.+ D.
16.[2024·江苏淮安高二期中] 已知函数f(x)=x2-2mln x-4x.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
(2)若-1①证明:函数f(x)既有极大值又有极小值;
②若a,b分别为函数f(x)的极大值和极小值,求的取值范围.

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