资源简介

人教版数学八年级上册
第十三章　三角形
13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角
基础知识训练
知识点　三角形内角和定理及应用
1.已知三角形三个内角的度数如图所示,则图中x的值为(　 　)
A.25 　 　 B.30 　 　 C.35 　 　 D.40
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=40°,则∠B的度数为(　 　)
A.40° 　 　B.60° 　 　C.30° 　 　D.50°
3.若在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为　 　.
4.如图所示,△ABC被撕去了一角,经测量得∠A=68°,∠B=21°,则△ABC是　 　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
5.已知在△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠A+20°,求三角形各个内角的度数.
6.如图所示,B处在A处的南偏西40°方向,C处在A处的南偏东10°方向,C处在B处的北偏东85°方向,求∠ABC和∠ACB的度数.
.
能力提升训练
7.如图所示,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,若∠BOC=
120°,则∠A的度数为(　 　)
A.30°　 　 B.45° 　 　C.55° 　 　D.60°
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,沿CD折叠,使点A落在边BC上的点E处,若∠B=26°,则∠CDE的度数为(　 　)
A.52° 　 　B.71°　 　 C.72° 　 　D.81°
9.如图所示,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B和C处开工挖出“V”形通道,若
∠DBA=120°,∠ECA=125°,则∠A的度数是(　 　)
A.65° 　 　B.80° 　 　C.85° 　 　D.90°
10.(2024海珠期末)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是∠BAC,∠ABC的平分线,它们相交于点O,∠C=70°.
(1)∠AOB的度数为　　　　;
(2)若∠ABC=60°,求∠DAE的度数.
11.如图所示,已知线段AD,BC相交于点O,∠B=32°,∠D=38°.
(1)如图①所示,若∠A=60°,求∠AOB和∠C的大小;
(2)如图②所示,若∠BAO,∠DCO的平分线AM, CM相交于点M,求∠M的大小;
(3)若改变图②的条件,设∠B=α,∠D=β,试用含α,β的代数式表示∠M的大小.
第2课时　直角三角形的性质和判定
基础知识训练
知识点　直角三角形的两个锐角互余
1.已知在△ABC中,∠A=∠B+∠C,则此三角形是(　 　)
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
2.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中较小锐角的度数是(　 　)
A.9° 　 　B.18° 　 　C.27° 　 　D.36°
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∠CAD=35°,则∠B=　 　.
4.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC,若∠ADE
=155°,求∠B的度数.
能力提升训练
5.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°,那么这个等腰三角形的顶角等于(　 　)
A.20°或70° 　 B.40° 　　C.140° 　 D.40°或140°
6.(2024汉阳期末)如图所示为脊柱侧弯测量示意图,cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中,若测得某人cobb角∠O=45°,则图中与∠O相等的角的个数为(　 　)
A.1个 　 　B.2个 　 　C.3个 　 　D.4个
7.如图①所示,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
① ②
(1)填写下面的表格:
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数
(2)如图②所示,△ABC的高BE,CD交于点O,试说明图中∠A与∠BOD的关系.
8.如果两个角的差等于30°,就称这两个角互为“伙伴角”,其中一个角叫作另一个角的“伙伴角”.例如α=70°,β=40°,α-β=30°,则α和β互为“伙伴角”,即α是β的“伙伴角”,β也是α的“伙伴角”.
(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”,∠1>∠2,且∠1和∠2互补,求
∠1的度数;
(2)在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线.如图所示,过点C作AB的平行线CM,射线CN平分∠BCM,且与射线AE交于点N.若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”,则∠ABC=　　　　. 人教版数学八年级上册
第十三章　三角形
13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角
基础知识训练
知识点　三角形内角和定理及应用
1.已知三角形三个内角的度数如图所示,则图中x的值为(　B　)
A.25 B.30 C.35 D.40
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=40°,则∠B的度数为(　D　)
A.40° B.60° C.30° D.50°
3.若在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为　40°　.
4.如图所示,△ABC被撕去了一角,经测量得∠A=68°,∠B=21°,则△ABC是　钝角　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
5.已知在△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠A+20°,求三角形各个内角的度数.
解:∵∠B=∠A+10°,∠C=∠A+20°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°,∴∠A=50°,
∴∠B=∠A+10°=60°,∠C=∠A+20°=70°,
∴三角形各个内角的度数分别为50°,60°,70°.
6.如图所示,B处在A处的南偏西40°方向,C处在A处的南偏东10°方向,C处在B处的北偏东85°方向,求∠ABC和∠ACB的度数.
解:由题意,得DB∥AE,∠BAE=40°,∠CAE=10°,∠DBC=85°,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°.
∵DB∥AE,∴∠DBA=∠BAE=40°,∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=85°,∴∠ABC和∠ACB的度数分别为45°和85°.
能力提升训练
7.如图所示,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,若∠BOC=
120°,则∠A的度数为(　D　)
A.30° B.45° C.55° D.60°
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,沿CD折叠,使点A落在边BC上的点E处,若∠B=26°,则∠CDE的度数为(　B　)
A.52° B.71° C.72° D.81°
9.如图所示,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B和C处开工挖出“V”形通道,若
∠DBA=120°,∠ECA=125°,则∠A的度数是(　A　)
A.65° B.80° C.85° D.90°
10.(2024海珠期末)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是∠BAC,∠ABC的平分线,它们相交于点O,∠C=70°.
(1)∠AOB的度数为　　　　;
(2)若∠ABC=60°,求∠DAE的度数.
解:(1)125°
(2)∵在△ABC中,AD是高,∠C=70°,∠ABC=60°,
∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°,∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°.
∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠CAB=25°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°,∴∠DAE=5°.
11.如图所示,已知线段AD,BC相交于点O,∠B=32°,∠D=38°.
(1)如图①所示,若∠A=60°,求∠AOB和∠C的大小;
(2)如图②所示,若∠BAO,∠DCO的平分线AM, CM相交于点M,求∠M的大小;
(3)若改变图②的条件,设∠B=α,∠D=β,试用含α,β的代数式表示∠M的大小.
解:(1)∵∠B=32°,∠A=60°,∴∠AOB=180°-32°-60°=88°.
∵∠A+∠B=∠C+∠D,∴∠C=∠A+∠B-∠D=60°+32°-38°=54°.
(2)∵∠M+∠BCM=∠B+∠BAM,∴∠M=∠B+∠BAM-∠BCM.
∵AM,CM分别平分∠BAO,∠DCO,∴∠BAM=∠BAO,∠BCM=∠DCO,
∴∠M=∠B+(∠BAO-∠DCO).∵∠B+∠BAO=∠D+∠DCO,
∴∠BAO-∠DCO=∠D-∠B=38°-32°=6°,∴∠M=32°+3°=35°.
(3)由(2)知∠M=∠B+(∠BAO-∠DCO)=∠B+(∠D-∠B)=(∠B+∠D).
∵∠B=α,∠D=β,∴∠M=(α+β).
第2课时　直角三角形的性质和判定
基础知识训练
知识点　直角三角形的两个锐角互余
1.已知在△ABC中,∠A=∠B+∠C,则此三角形是(　D　)
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
2.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中较小锐角的度数是(　B　)
A.9° B.18° C.27° D.36°
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∠CAD=35°,则∠B=　35°　.
4.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC,若∠ADE
=155°,求∠B的度数.
解:∵∠ADE=155°,∠ADE+∠CDE=180°,∴∠CDE=25°.
∵DE∥BC,∴∠C=∠CDE=25°.
∵在△ABC中,∠A=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠B=90°-25°=65°.
能力提升训练
5.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°,那么这个等腰三角形的顶角等于(　D　)
A.20°或70° B.40° C.140° D.40°或140°
6.(2024汉阳期末)如图所示为脊柱侧弯测量示意图,cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中,若测得某人cobb角∠O=45°,则图中与∠O相等的角的个数为(　D　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图①所示,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
① ②
(1)填写下面的表格:
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数
(2)如图②所示,△ABC的高BE,CD交于点O,试说明图中∠A与∠BOD的关系.
解:(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=
∠ACB.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,∠A=50°,∴∠BOC=180°-
=180°-=180°-=90°+∠A.
当∠A=50°时,∠BOC=90°+×50°=115°;
当∠A=60°时∠BOC=90°+×60°=120°;
当∠A=70°时,∠BOC=90°+×70°=125°.
故填表如下:
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数 115° 120° 125°
(2)∠A=∠BOD.理由如下:∵△ABC的高BE,CD交于点O,∴∠BDC=
∠BEA=90°,
∴∠ABE+∠BOD=90°,∠ABE+∠A=90°,∴∠A=∠BOD.
8.如果两个角的差等于30°,就称这两个角互为“伙伴角”,其中一个角叫作另一个角的“伙伴角”.例如α=70°,β=40°,α-β=30°,则α和β互为“伙伴角”,即α是β的“伙伴角”,β也是α的“伙伴角”.
(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”,∠1>∠2,且∠1和∠2互补,求
∠1的度数;
(2)在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线.如图所示,过点C作AB的平行线CM,射线CN平分∠BCM,且与射线AE交于点N.若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”,则∠ABC=　　　　.
解:(1)根据题意,得∠1-∠2=30°,∠1+∠2=180°,解得∠1=105°.
(2)设∠ABC=2α,∵AB∥CM,∴∠BCM=2α.
∵CN平分∠BCM,∴∠BCN=∠BCM=α.
∵∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-2α,∠ACN=∠ACB+∠BCN
=90°+α.
∵AE平分∠BAC,∴∠NAC=∠BAC=×(90°-2α)=45°-α.
在△ANC中,∠ANC=180°-∠NAC-∠ACN=180°-(45°-α)-(90°+α)=45°.
根据题意,得
当∠ANC-∠ABC=30°时,45°-2α=30°,解得2α=15°,即∠ABC=
15°;
当∠ABC-∠ANC=30°时,2α-45°=30°,解得2α=75°,即∠ABC=
75°.
综上,∠ABC=15°或75°.故答案为15°或75°.

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