资源简介

人教版数学八年级上册
第十四章　全等三角形
14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
基础知识训练
知识点　角的平分线的性质
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明
∠AOC=∠BOC的依据是(　A　)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.已知EF是△EBC的角平分线,FD⊥EB于点D,且FD=3 cm,则点F到EC的距离是(　B　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(2024邹平期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(　A　)
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
4.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图所示,已知在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=10,DE=4,则△BCE的面积等于(　B　)
A.16 B.20 C.28 D.40
6.如图所示,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
证明:∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB,∴DP平分∠ADC.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
能力提升训练
7.(2024临沂期末)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为(　C　)
A.2 B.2 C.4 D.4
8.(2024商丘期末)如图所示,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴负半轴于点M,交y轴负半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第三象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为(　C　)
A.a+b=0 B.a+b>0 C.a-b=0 D.a-b>0
9.如图所示,AI,BI,CI分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,ID⊥BC,△ABC的周长为18,ID=3,则△ABC的面积为(　D　)
A.18 B.30 C.24 D.27
10.如图所示,△ABC的角平分线AD交BC于点D,BD∶DC=2∶1.若AC=3 cm,则AB=　6 cm　.
11.如图所示,∠CAB和∠CBA的平分线AF,BD相交于点P,∠C=60°.求证:PD=PF.
证明:如图所示,过点P作PE⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC.
∵AF,BD分别平分∠CAB和∠CBA,∴PE=PG,PE=PH,∴PH=PG.
∵PH⊥BC,PG⊥AC,∴∠PGC=∠PHC=90°,
∴∠GPH=360°-90°-90°-60°=120°.
∵AF,BD分别平分∠CAB和∠CBA,
∴∠PAB=∠CAB,∠PBA=∠CBA,
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)
=180°-(180°-∠C)=120°,
∴∠GPH=∠APB=120°=∠DPF,∴∠DPG=∠FPH.
在△PDG和△PFH中,
∴△PDG≌△PFH(ASA),∴PD=PF.
第2课时　角的平分线的判定
基础知识训练
知识点　角的平分线的判定及应用
1.在如图所示的一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在(　D　)
A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三条角平分线的交点
2.如图所示,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为(　B　)
A.35° B.125° C.55° D.135°
3.如图所示,点E是∠APB内的一点,EC⊥PA于点C,ED⊥PB于点D,CE=ED,点F在PA上,∠APB=60°,∠PEF=15°,则∠CFE的度数为　45°　.
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
解:AD是∠BAC的平分线.理由如下:
∵AB=10,△ABD的面积为15,DE⊥AB,
∴DE==3.
∵CD=3,∴DE=CD.
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴AD是∠BAC的平分线.
能力提升训练
5.(2024滨州期末)如图所示,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图所示,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=
35°,则∠EAB=　35　°.
7.如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证:点C在∠DAB的平分线上.
证明:如图所示,过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.
∵∠ADC+∠ABC=180°,
∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠EDC=∠ABC.
在△CDE和△CBF中,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴CE=CF,∴点C在∠DAB的平分线上.
8.如图①所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)如图②所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,猜想(1)中的结论还成立吗 请证明你的猜想.
① ②
(1)证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF,
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)解:若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立.证明如下:
∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF,
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.人教版数学八年级上册
第十四章　全等三角形
14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
基础知识训练
知识点　角的平分线的性质
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明
∠AOC=∠BOC的依据是(　 　)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.已知EF是△EBC的角平分线,FD⊥EB于点D,且FD=3 cm,则点F到EC的距离是(　 　)
A.2 cm 　 　B.3 cm 　 　C.4 cm 　 　D.6 cm
3.(2024邹平期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(　 　)
A.M点 　 　B.N点 　 　C.P点 　 　D.Q点
4.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(　 　)
A.1　 　 B.2 　 　C.3 　 　D.4
5.如图所示,已知在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=10,DE=4,则△BCE的面积等于(　 　)
A.16 　 　B.20 　 　C.28 　 　D.40
6.如图所示,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
能力提升训练
7.(2024临沂期末)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为(　 　)
A.2 　　 　 　B.2 　 　　 　C.4 　　 　 　D.4
8.(2024商丘期末)如图所示,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴负半轴于点M,交y轴负半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第三象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为( 　)
A.a+b=0 　 　B.a+b>0 　 　C.a-b=0 　 　D.a-b>0
9.如图所示,AI,BI,CI分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,ID⊥BC,△ABC的周长为18,ID=3,则△ABC的面积为( 　)
A.18 　 　B.30 　 　C.24 　 　D.27
10.如图所示,△ABC的角平分线AD交BC于点D,BD∶DC=2∶1.若AC=3 cm,则AB=　 　.
11.如图所示,∠CAB和∠CBA的平分线AF,BD相交于点P,∠C=60°.求证:PD=PF.
第2课时　角的平分线的判定
基础知识训练
知识点　角的平分线的判定及应用
1.在如图所示的一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在(　 　)
A.△ABC三条中线的交点 　 　 B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三条角平分线的交点
2.如图所示,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为(　 　)
A.35°　 　 B.125°　 　 C.55° 　 　D.135°
3.如图所示,点E是∠APB内的一点,EC⊥PA于点C,ED⊥PB于点D,CE=ED,点F在PA上,∠APB=60°,∠PEF=15°,则∠CFE的度数为　 　.
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
能力提升训练
5.(2024滨州期末)如图所示,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为(　 　)
A.1 　 　B.2 　 　C.3 　 　D.4
6.如图所示,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=
35°,则∠EAB=　 　°.
7.如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证:点C在∠DAB的平分线上.
8.如图①所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)如图②所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,猜想(1)中的结论还成立吗 请证明你的猜想.
① ②

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