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黑龙江省佳木斯市同江市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．0.6，0.8，1.1 C．，， D．5，12，23
3．若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．一组数据的唯一众数是，则这组数据的中位数是（ ）
A． B．2 C． D．5
7．将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(单位∶cm)与注水时间t(单位∶min)的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交，于点E，F，连接，．当四边形是菱形时，的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=3， BC=4，点 P 为边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE+PF 的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
10．如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，上的中点，连接、交于点M，连接，，，与交于点N，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
二、填空题
11．函数的自变量x的取值范围是 ．
12．在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是 (添一个即可)．
13．一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为 ．
14．把直线向下平移2个单位长度，所得直线的解析式是 ．
15．若一组数据的平均数是5，则数据的平均数是 ．
16．如图，在菱形中，E是边上一点，连接交对角线于点F，连接，若，则 °．
17．如图，在中，，点在上，且，以，为邻边作平行四边形，若，，则四边形的面积为 ．
18．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ．
19．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为
20．如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形照此规律作下去，则点的坐标为 ．
三、解答题
21．计算
(1)；
(2)．
22．先化简，再求值：，其中
23．为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师以八年级（1）班50位学生为样本进行了一分钟跳绳次数测试．根据测试结果，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．
组别 次数x 频数（人数）
第1组 80≤x＜100 6
第2组 100≤x＜120 8
第3组 120≤x＜140 a
第4组 140≤x＜160 18
第5组 160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a＝　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）已知该校八年级共有学生800，请你估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名？
24．在一条公路上依次有A，B，C三地，甲骑自行车从A地出发匀速向C地骑行，1分钟后，乙骑摩托车从B地出发，匀速驶向C地，到达C地后停留1分钟，掉头按原速经B地驶向A地，乙比甲早1分钟到达目的地．甲、乙距A地的路程y(单位∶米)与时间x(单位∶分钟)之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题∶
(1)A，B两地之间的路程是 米，甲骑自行车的行驶速度是 米/分钟，直接在图中的括号内填上正确的数；
(2)求乙骑摩托车从C地驶向A地的过程中，y与x之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围)；
(3)乙出发后多少分钟，两人距各自出发地的路程相等？请直接写出答案．
25．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
26．服装店购进套服装和套服装的费用为元，套服装和套服装的费用为元．
(1)求每套服装和服装的进价；
(2)该商店计划一次购进两种款式的服装共套，其中服装进货量不少于套，进货费用不超过元，计划服装每套售价元，服装每套售价元．设购进服装套， 这套的销售总利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商店购进，服装各多少套，才能使销售利润最大？
(3)在（2）的条件下，若实际进货时，厂家只对服装出厂价上调元，商店保持，两款服装的售价不变，请你设计出使这套服装销售总利润最大的进货方案．
27．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与BC交于点E．，的长满足式子 ．
(1)求点A，C的坐标；
(2)直接写出点E的坐标，并求出直线的函数解析式；
(3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解：A、和不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B ．
2．C
解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．D
解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．C
解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．A
解：函数和的图象相交于点，
∴，
解得，，
∴，
当时，函数的图象在函数的图象下方，即，
故选：A ．
6．B
解：已知数据的唯一众数是2，
∴2出现的次数最多且唯一，
∴a必须为2，
将数据按从小到大排列：，共有5个数，
∴中位数为第三个数，即2，
故选：B．
7．B
解：圆柱形小水杯盛有部分水,故开始时小水杯水面的高度h(单位∶cm)大于0，故排除AD；
将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度不变，；
当水面高度和小水杯一样高时，继续注水，水流入小水杯，小水杯水面的高度开始升高；
当小水杯注满水时，大圆柱形容器水面的高度继续升高，但此时小水杯水面的高度已达最大值，故不变，排除C，
故选：B．
8．D
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
解：如图，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，OA=OC，OB=OD，AC=BD．
∴OA=OD，AC=．
∴OA=OD=AC=．
∵S△AOD=S矩形ABCD，
即OA×PE+OD×PF=×4×3．
∴××（PE+PF）=×4×3．
∴PE+PF=．
故选：A．
10．B
解：∵正方形中，
∴，
又点，，分别为边，，上的中点，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形；故③正确；
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，
则：四边形为平行四边形，，
∴，
∵点为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴是的中垂线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故①正确；
在中，，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④错误．
综上，正确的为：①③．
故选：B．
11．x≥-2
解：由题意，得
x+2≥0且x+3≠0，
解得x≥-2且x≠-3，
∴自变量x的取值范围是x≥-2，
故答案为：x≥-2．
12．(答案不唯一)
解：添加，
理由是：∵四边形是平行四边形，又
∴平行四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
13．或
【详解】①若12是直角边，则斜边=，
斜边上的中线为，
②若12是斜边，则斜边上的中线，
综上所述，斜边上的中线长是或．
故答案为：或．
14．
解：根据平移的规则可知：
把直线向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为：．
即为
故答案为．
15．12
解：∵，，，的平均数是5，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
16．40
解：∵四边形是菱形
∴，，，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
17．22
解：∵四边形EBCD是平行四边形，
∴BC=DE，
在Rt△ADB中，由勾股定理得
，
设DE=x，则EA=AD－DE=8－x，EB=EA=8－x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得
，
∴，
解得，
∴BC=DE=3，
∵四边形EBCD是平行四边形，
∴BC∥DE，
∵BD⊥DE
∴BC⊥BD，
∴
故答案为：22．
18．10
解：∵四边形是正方形，
∴点关于的对称点是点．
连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小．
∵，正方形的边长为8，
∴，．
由，知．
又∵点与点关于对称，
∴且平分．
∴．
∴．
∴的最小值是10．
故答案为：10
19．3或
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
20．
解：正方形边长为，
，
正方形是正方形的对角线为边，
，，
点坐标为，
同理可知；
点坐标为，
同理可知；
点坐标为，
可知；
点坐标为，
可知，
点坐标为，
可知，
，
可知，
，
可知，
∴，
……
由规律可以发现，，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，
，
的横纵坐标符号与点相同，横坐标为，且都在轴上，
的坐标为，
故答案为：．
21．(1)
(2)
（1）解：
（2）解：
22．
解：
，
把代入，得．
23．（1）12；（2）见解析；（3）3；（4）跳绳次数不低于120次的八年级学生大约576名．
【详解】（1）a＝50﹣6﹣8﹣18﹣6＝12；
（2）如图所示：
（3）∵八年级（1）班有50位学生，
∴中位数应该是第25、26两个数的和的平均数，
∴这个样本数据的中位数落在第3组；
（4）∵八年级（1）班学生人数为50人，而一分钟跳绳次数不低于120次的有36人，
∴800×＝576人．
∴估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约576名．
24．(1)800，300，1
(2)
(3)分钟或分钟
（1）解：由图象可得，A，B两地之间的路程是米；
甲骑自行车的行驶速度是：米/分钟；
∵1分钟后，乙骑摩托车从B地出发，匀速驶向C地，
∴括号内数字为1，
故答案为：800，300，1；
（2）解：设直线解析式为：，
∵（分钟），
（米/分钟），
（分钟），
∴，，
∴，
解得：，
∴乙骑摩托车从C地驶向A地的过程中，y与x之间的函数关系式为：；
（3）解：设出发分钟后，两人距各自出发地的路程相等，
当乙在段时，则，
解得：（分钟）；
当乙在段时，则，
解得：（分钟），
综上：出发分钟或分钟后，两人距各自出发地的路程相等．
25．（1）AE=EF=AF；（2）证明过程见解析；（3）3-
解：（1）结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°．∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC．∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）连接AC．如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H．∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°．在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=．在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG﹣BG=．∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=，∠AEB=∠AFC=45°．∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°．
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°．在Rt△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°．∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°．∵∠AFC=45°，∴∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°．在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=，∴FH=CF sin60°==，∴点F到BC的距离为．
26．(1)每套服装的进价为元，服装的进价为元
(2)商店购进套服装和套服装才能使销售利润最大
(3)①当时，则购进套服装和套服装销售利润最大；②当时，则，两种服装随意搭配（种服装数量），销售利润一样多；③当时，则商店购进套服装和套服装才能使销售利润最大
（1）解：设每套服装的进价为元，服装的进价为元．
根据题意，得
．
解得．
答每套服装的进价为元，服装的进价为元
（2）购进服装套，则购进服装套．
进货费用不超过元，
．
．
款进货量不少于套，
，
）
，且为正整数．
②在中，
，
随的增大而增大．
当时，取最大值，此时．
故商店购进套服装和套服装才能使销售利润最大．
（3）根据题意，得
十．
①当时，
则购进套服装和套服装销售利润最大；
②当时，
则，两种服装随意搭配种服装数量，销售利润一样多；
③当时，
则商店购进套服装和套服装才能使销售利润最大．
27．(1)
(2)
(3)存在，或或或
（1）解：，的长满足式子．
，，
，，
，；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
根据翻折不变性可知：，
，
，设，
在中，，
，解得，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：存在，点P的坐标为：或或或．
如图，
，，
．
①当为菱形的边时，，故，
，故．
②当为菱形的对角线时，，
设，则，
在中，，
，解得，
，
，
③当为对角线时，可得，
综上所述，存在，满足条件的点坐标为或或或．

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