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2025-2026学年度高中数学选择性必修一
1.1-2.3直线的交点坐标与距离公式滚动测试卷(基础)
考试范围：选择性必修第一册第一章、第二章2.1-2.3；考试时间：120分钟；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
3．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)
B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)
C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)
D．两点间的距离为3
10．平面上三条直线，，．若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是（ ）
A．0 B．2 C． D．
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
B．已知向量，不共线，若，，则，，共面
C．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
D．已知空间两点，，若向量，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线的方向向量分别为．若，则 ．
13．已知两条直线和相互垂直，则 .
14．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
16．已知三个顶点的坐标：.
(1)求过点A且与直线平行的直线的方程；
(2)求中边上的高所在直线的方程.
17．已知△ABC的内角平分线CD的方程为，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
18．如图，直角中，，，D、E分别为、中点，将沿翻折成，得到四棱锥，M为中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图，在三棱锥中，，D在底面上的射影E在上，于F．
（1）求证：平行平面，平面平面；
（2）若，求二面角的正切值．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B A B A D BCD ACD
题号 11
答案 AB
1．A
【详解】分析：由题意得到直线的斜率，根据倾斜角为可得所求关系．
详解：由题意得直线的斜率存在，且为，
又直线的倾斜角为，
∴，
∴，
∴．
故选A．
点睛：本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，解题时利用直线的斜率存在且倾斜角为θ时有求解即可．
2．B
【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线和之间的距离为：，
和之间的距离为：，
于是有：，
故选：B
3．A
【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可.
【详解】解：因为直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为，
所以，所求直线方程为.
故选：A
4．B
【分析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
即，即
故选：B
5．A
【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.
【详解】根据题意，， ，，
在上的投影向量可为
故选：A.
6．B
【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则，，，，
又，则
故选：B
7．A
【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】对于，可以整理为，
由题意可得：平面过点，且法向量，
联立方程，整理可得，
由题意可得：直线l过点，且方向向量为，
∵，
∴故直线l与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
【点睛】结论点睛：直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即.
8．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断AB选项，采用换顶点的方法即可求出三棱锥的体积，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，进而可判断D选项.
【详解】因为长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
对于选项A：因为，，
可得，所以与不垂直，故A错误；
对于选项B：因为，，，，
设平面的法向量，则，
取，则，可得，
设平面的法向量， 则，
取，则，可得，
显然不共线，所以平面与平面相交，故B错误；
对于选项C：三棱锥的体积为：，故C错误；
对于选项D：三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
可知三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：D．
9．BCD
【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D.
【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误；
点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确；
关于原点的对称的点的坐标为，故C正确；
两点间的距离为，故D正确.
故选：BCD
10．ACD
【分析】根据三条直线将平面分为六部分，由三条直线相交于一点或有两条直线平行求解.
【详解】因为平面上三条直线，，将平面分为六部分，
又直线和直线的交点是，
所以直线过另两条直线的交点，解得；
则直线与直线平行或与直线平行，
解得或-2．
所以实数k的取值集合是．
故选：ACD
11．AB
【分析】对于A. 由向量共面的判定方法直接判断；
对于B. 由向量共面的判定方法直接判断；
对于C. 按照基底的定义直接判断；
对于D. 计算出，即可判断.
【详解】对于A. 根据向量共面的判定方法，只需，解得：.故A正确；
对于B. 因为已知向量，不共线，且，，，所以，所以，，共面.故B正确；
对于C. 按照基底的定义，不共面的三个向量才能作为基底，因为，所以不存在向量可以与，构成空间的一个基底.故C错误；
对于D. 因为空间两点，，所以
又向量，且，所以.故D错误
故选：AB
12．/
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知，解之得.
故答案为：
13．
【分析】直接根据两直线垂直的公式列式计算即可.
【详解】由已知两直线垂直可得，
解得.
故答案为：.
14．/
【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值.
【详解】由题意可知，
，，则，
，
，，三点共线，，．
故答案为：.
15．(1) y＝±(x＋4),(2) x－4y＝0或x＋y－5＝0,(3) x－5＝0或3x－4y＋25＝0
【分析】（1）由正弦值求得正切，即为所求直线的斜率k，利用点斜式即可得出．
（2）直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点（0，0）和（5，10），可得l的方程．a≠0时，利用截距式即可得出．
(3) 当直线无斜率时，方程为x﹣5＝0，满足到原点的距离为5；当直线有斜率时，设方程为y﹣10＝k（x﹣5），即kx﹣y+10﹣5k＝0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．
【详解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sinα＝ (0＜α＜π)，
从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.
故所求直线方程为y＝± (x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，
∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(4,1)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程、截距式方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，涉及分类讨论的思想，注意理解截距的定义，容易忽略截距为0即直线过原点的情况．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的平行关系及点斜式计算即可；
（2）利用直线的垂直关系及点斜式计算即可.
【详解】（1）易知，所以过点A且与直线平行的直线的方程为；
（2）易知，所以边上的高所在直线的方程为.
17．（1）（2）
【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式，求得点A到直线CD的距离．
（2）先求得A关于直线CD的对称点A′，再根据A′在直线BC上，求出BC的方程，将直线CD和直线BC联立方程组，求得C的坐标．
【详解】（1）点到直线的距离；
（2）依题意，点关于直线的对称点在边上，设.则
，解得，
即.
∴直线的方程为.
联立直线与的方程，解得点的坐标为.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，点关于直线的对称点的求法，用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于中档题．
18．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得，然后由线面平行的判定定理得证；
（2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）取中点，连接，如图，
因为是中点，所以且，
又分别是中点，所以且，
所以与平行且相等，从而是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；

（2）由已知，，
所以，又，，平面，
所以平面，
又因为，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值．
19．（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）证明EF∥BC，从而BC∥平面DEF，结合AB⊥DF，AB⊥DE，推出AB⊥平面DEF，即可证明平面DAB⊥平面DEF．
（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可．
【详解】（1）证明：因为，D在底面上的射影E在上,
所以，分别是，的中点，平面ABC，且
所以EF∥BC，
又平面，平面
从而BC∥平面
又，，
所以平面,又平面,
从而平面平面
（2）由（1）知，取中点，则，
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，由，可知,
故,
则，
设平面ADE与平面BAD的法向量分别为，
则，即，
令，则，即，
由，即，
令，则，即，
，
设二面角的平面角为，
则，
所以
【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
答案第2页，共11页
答案第1页，共11页

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