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浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（一）
一、选择题（本大题共10小题, 每小题3分, 共30分,）
1．（2025七下·钱塘期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A错误；
对于选项B， ，故B错误；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
2．下列事件中，属于必然事件的是(　　)
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机，正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币，正面向上
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
3．（2025八下·衢州期末） 如图，在 ABCD中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C
又
∴2∠A=110°
∴∠A=55°
故答案为：B .
【分析】由平行四边形的性质知∠A=∠C，再结合可得∠A的度数.
4．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
5．（2025九上·丽水期末）如图，在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在中，，
，
故答案为：B．
【分析】利用正切的定义即可解题．
6．（2025七下·杭州期末） 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　）
A．10 B． C． D．13
【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵是多项式因式分解后的结果
∴
因此，a=2，3-8a=k，解得k=-13，C正确.
故答案为：C.
【分析】将多项式因式分解是将其分解成几个整式相乘的形式，因此只需将分解后的结果相乘展开便能得到原多项式。
7． 如图，在⊙O 中，已知直径AB⊥弦CD，∠BOD=70°，那么∠BAC的度数等于（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径AB垂直弦CD，∠BOD=70°，OC=OD，
∴∠COB=∠BOD=70°，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据垂径定理可得∠COB=∠BOD=70°，从而利用圆周角定理即可求解.
8．（2025·温州模拟）抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的交点横坐标为，
∵抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，
∴，解得：，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大．
∵抛物线对称轴为直线，
，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧判断a的正负，再根据二次函数的性质求解．
9．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：作的中点，连接、．
在直角中，，
是直角斜边上的中点，
．
是的中点，是的中点，
．
在中，，
即．
故答案为：B.
【分析】作的中点，连接、，先根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到长，由中位线得到长，然后根据三边关系解题即可．
10．（2023九上·安吉期中）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（　　）
A．若α+β=70°，则的度数为20°
B．若α+β=70°，则的度数为40°
C．若α﹣β=70°，则的度数为20°
D．若α﹣β=70°，则的度数为40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD= ，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵∠A=α，
∴∠AEB=90﹣α，
∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+，
∴90°﹣α=β+，
解得：θ=180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；
B、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；
C、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；
D、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是40°-4β，故本选项错误；
故答案为：B．．
【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE=90°，进而得到∠AEB=90﹣α，即可得出90°﹣α=β+，然后得到的度数是180°﹣2（α+β），代入逐一判断即可．
二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）
11．（2025七上·宁海期中）比较大小：　 　．（填“>”，“<”或“＝”）
【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：<
【分析】
两个负数比较大小，绝对值大反而小．
12．一次函数y=(3m+1)x-2 的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：　 　.
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：的值随x的增大而增大，
∴m可以为： 1，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数y的值随x的增大而增大，得出 写一个满足条件的m的值即可.
13．（2025·宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB=　 　．
【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点D，连接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根据圆周角的定理计算求解即可.
14． 已知x1，x2 是方程. 的两根，则代数式 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，将所求的值代入代数式即可求解.
15．（2024九上·浙江期中）如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵绕直角边中点旋转，得到，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理得求出，由旋转的性质可得，，，，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，从而得，求出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例性质即可求出的长.
16．（2025九下·宁波月考）如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，作，连接，
轴，
，
点I为△OCD的内心，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故点I在上，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，
.
故答案为：.
【分析】利用角平分线的性质可得，通过SAS判定得到，因此可得点I在的外接圆上运动，利用圆周角定理可得，进而求得点P坐标及半径长度，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，通过两点之间距离公式求得AP的长度，即可得到AI的最小值.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（2024九上·杭州期中）（1）计算：
（2）先化简再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算特殊角三角函数值与零指数次幂，然后合并解题；
（2）先把括号内的通分，把除法化为乘法约分化简，代入数值解题．
18．（2025八下·江北期末）图1、图2均为4×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段AB上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）
（1）在图1中，画出一个以AB为边的正方形ABCD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，在边CD上画点Q，使得PQ平分正方形ABCD的面积（保留作图痕迹）．
（3）在图2中，画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ▲ ．
【答案】（1）解：如图1；
（2）解：如图2；
（3）解：如图3；矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质先确定点C和点D，再顺次连接即可；
（2）先确定正方形的中心，再与点P连接交CD于点Q；
（3）根据菱形的性质来确定点E和点F，根据矩形的对角线互相平分来确定菱形各边的中点，再顺次连接即可得到矩形.
19．（2024九上·浙江期中）如图，有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果：
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为，第二次记为，点的坐标为，求点在函数图象上的概率．
【答案】（1）解：画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种
（2）解：共有9种等可能的结果，在函数图象上的结果有2种，即，，∴点在函数图象上的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画树状图，即可得出每次游戏可能出现的所有结果数；
（2）由（1）可得所有结果数，然后找出符合要求的结果数，再根据概率公式解题即可．
（1）解：画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种；
（2）解：共有9种等可能的结果，在函数图象上的结果有2种，即，，
∴点在函数图象上的概率为．
20．（2024九上·杭州期中）如图，在中，分别是的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可以得到，然后证明是平行四边形，由三线合一得出，即可得到是矩形；
（2）解直角三角形得到的长，再根据三线合一得到的长，进而求出的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
21．（2024九上·钱塘月考）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．
（1）作于点C，求的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
【答案】（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，利用垂径定理求出，然后根据勾股定理解题即可；
（2）过O作于点D，连接，利用勾股定理得到，再根据垂径定理得出长解题即可．
（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
22．（2024九上·宁波期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数）
（1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
【答案】（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
解得，
即
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元
（2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法求出二次函数解析式，再利用解析式求得2月份每千克蔬菜成本；
（2）利用利润=销售单价-成本得到，根据最值解答即可．
（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
解得，
即
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元；
（2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元．
23．（2024九上·杭州期中）新定义函数：在y关于x的函数中，若时，函数y有最大值和最小值，分别记和，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数，若对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）由根据函数的增减性得最大值和最小值，由新定义得到到关于a的不等式组，解题即可；
（2）根据抛物线的性质可求得其最大值和最小值，然后根据三角形函数的定义判断即可；
（3）根据三边关系可判断函数是三角形函数，再利用新定义分别得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴；
（2）解：是三角形函数，
理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数；
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
24．（2024九上·浙江期中）如图1，在中，以为直径作交于点，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，将点关于作轴对称得到点，连结，得到四边形，设．四边形的面积为．
①求关于的函数关系式：
②四边形的面积是否有最大值，若有，请你求出的最大值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
又，
为中垂线，
（2）①解：由（1）得，
由轴对称可知，四边形为菱形，
，
②解：由题意得，
连结，过点作，则，
当且仅当时，菱形面积最大，
此时，最大面积为
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得推论得到，可以得到为中垂线，即可得到结论；
（2）①利用勾股定理计算，然后推导为菱形，然后根据计算即可；
②连结，过点作，根据垂线段最短得到，即当时，菱形面积最大，计算即可．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
又，
为中垂线，
；
（2）①解：由（1）得，
由轴对称可知，四边形为菱形，
，
②解：方法一：由题意得，
连结，过点作，则，
当且仅当时，菱形面积最大，
此时，最大面积为．
方法二：
由①，菱形面积，
当且仅当，即时，可以取得最大值64，
菱形面积．
1 / 1浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（一）
一、选择题（本大题共10小题, 每小题3分, 共30分,）
1．（2025七下·钱塘期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是(　　)
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机，正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币，正面向上
3．（2025八下·衢州期末） 如图，在 ABCD中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
5．（2025九上·丽水期末）如图，在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·杭州期末） 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　）
A．10 B． C． D．13
7． 如图，在⊙O 中，已知直径AB⊥弦CD，∠BOD=70°，那么∠BAC的度数等于（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
8．（2025·温州模拟）抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023九上·安吉期中）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（　　）
A．若α+β=70°，则的度数为20°
B．若α+β=70°，则的度数为40°
C．若α﹣β=70°，则的度数为20°
D．若α﹣β=70°，则的度数为40°
二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）
11．（2025七上·宁海期中）比较大小：　 　．（填“>”，“<”或“＝”）
12．一次函数y=(3m+1)x-2 的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：　 　.
13．（2025·宁波三模）如图，已知A、B、C是⊙O上的三个点，∠ACB=110°，则∠AOB=　 　．
14． 已知x1，x2 是方程. 的两根，则代数式 的值为　 　.
15．（2024九上·浙江期中）如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为　 　．
16．（2025九下·宁波月考）如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为　 　.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（2024九上·杭州期中）（1）计算：
（2）先化简再求值：，其中．
18．（2025八下·江北期末）图1、图2均为4×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段AB上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）
（1）在图1中，画出一个以AB为边的正方形ABCD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，在边CD上画点Q，使得PQ平分正方形ABCD的面积（保留作图痕迹）．
（3）在图2中，画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 ▲ ．
19．（2024九上·浙江期中）如图，有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果：
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为，第二次记为，点的坐标为，求点在函数图象上的概率．
20．（2024九上·杭州期中）如图，在中，分别是的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的面积．
21．（2024九上·钱塘月考）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．
（1）作于点C，求的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
22．（2024九上·宁波期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数）
（1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
23．（2024九上·杭州期中）新定义函数：在y关于x的函数中，若时，函数y有最大值和最小值，分别记和，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数，若对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
24．（2024九上·浙江期中）如图1，在中，以为直径作交于点，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，将点关于作轴对称得到点，连结，得到四边形，设．四边形的面积为．
①求关于的函数关系式：
②四边形的面积是否有最大值，若有，请你求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A错误；
对于选项B， ，故B错误；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C
又
∴2∠A=110°
∴∠A=55°
故答案为：B .
【分析】由平行四边形的性质知∠A=∠C，再结合可得∠A的度数.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
5．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在中，，
，
故答案为：B．
【分析】利用正切的定义即可解题．
6．【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵是多项式因式分解后的结果
∴
因此，a=2，3-8a=k，解得k=-13，C正确.
故答案为：C.
【分析】将多项式因式分解是将其分解成几个整式相乘的形式，因此只需将分解后的结果相乘展开便能得到原多项式。
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径AB垂直弦CD，∠BOD=70°，OC=OD，
∴∠COB=∠BOD=70°，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据垂径定理可得∠COB=∠BOD=70°，从而利用圆周角定理即可求解.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的交点横坐标为，
∵抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，
∴，解得：，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大．
∵抛物线对称轴为直线，
，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧判断a的正负，再根据二次函数的性质求解．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：作的中点，连接、．
在直角中，，
是直角斜边上的中点，
．
是的中点，是的中点，
．
在中，，
即．
故答案为：B.
【分析】作的中点，连接、，先根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到长，由中位线得到长，然后根据三边关系解题即可．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD= ，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵∠A=α，
∴∠AEB=90﹣α，
∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+，
∴90°﹣α=β+，
解得：θ=180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；
B、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；
C、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；
D、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是40°-4β，故本选项错误；
故答案为：B．．
【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE=90°，进而得到∠AEB=90﹣α，即可得出90°﹣α=β+，然后得到的度数是180°﹣2（α+β），代入逐一判断即可．
11．【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：<
【分析】
两个负数比较大小，绝对值大反而小．
12．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：的值随x的增大而增大，
∴m可以为： 1，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数y的值随x的增大而增大，得出 写一个满足条件的m的值即可.
13．【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点D，连接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案为：140°.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根据圆周角的定理计算求解即可.
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，将所求的值代入代数式即可求解.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵绕直角边中点旋转，得到，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理得求出，由旋转的性质可得，，，，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，从而得，求出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例性质即可求出的长.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，作，连接，
轴，
，
点I为△OCD的内心，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故点I在上，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，
.
故答案为：.
【分析】利用角平分线的性质可得，通过SAS判定得到，因此可得点I在的外接圆上运动，利用圆周角定理可得，进而求得点P坐标及半径长度，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，通过两点之间距离公式求得AP的长度，即可得到AI的最小值.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算特殊角三角函数值与零指数次幂，然后合并解题；
（2）先把括号内的通分，把除法化为乘法约分化简，代入数值解题．
18．【答案】（1）解：如图1；
（2）解：如图2；
（3）解：如图3；矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质先确定点C和点D，再顺次连接即可；
（2）先确定正方形的中心，再与点P连接交CD于点Q；
（3）根据菱形的性质来确定点E和点F，根据矩形的对角线互相平分来确定菱形各边的中点，再顺次连接即可得到矩形.
19．【答案】（1）解：画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种
（2）解：共有9种等可能的结果，在函数图象上的结果有2种，即，，∴点在函数图象上的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画树状图，即可得出每次游戏可能出现的所有结果数；
（2）由（1）可得所有结果数，然后找出符合要求的结果数，再根据概率公式解题即可．
（1）解：画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种；
（2）解：共有9种等可能的结果，在函数图象上的结果有2种，即，，
∴点在函数图象上的概率为．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可以得到，然后证明是平行四边形，由三线合一得出，即可得到是矩形；
（2）解直角三角形得到的长，再根据三线合一得到的长，进而求出的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴的面积为．
21．【答案】（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，利用垂径定理求出，然后根据勾股定理解题即可；
（2）过O作于点D，连接，利用勾股定理得到，再根据垂径定理得出长解题即可．
（1）解：连接，
∵O为圆心，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为；
（2）解：过O作于点D，连接，
由题意得，，
在中，，
∴，
∴
∴水面截线减少了．
22．【答案】（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
解得，
即
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元
（2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过待定系数法求出二次函数解析式，再利用解析式求得2月份每千克蔬菜成本；
（2）利用利润=销售单价-成本得到，根据最值解答即可．
（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
解得，
即
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元；
（2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元．
23．【答案】（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）由根据函数的增减性得最大值和最小值，由新定义得到到关于a的不等式组，解题即可；
（2）根据抛物线的性质可求得其最大值和最小值，然后根据三角形函数的定义判断即可；
（3）根据三边关系可判断函数是三角形函数，再利用新定义分别得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴；
（2）解：是三角形函数，
理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数；
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
又，
为中垂线，
（2）①解：由（1）得，
由轴对称可知，四边形为菱形，
，
②解：由题意得，
连结，过点作，则，
当且仅当时，菱形面积最大，
此时，最大面积为
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得推论得到，可以得到为中垂线，即可得到结论；
（2）①利用勾股定理计算，然后推导为菱形，然后根据计算即可；
②连结，过点作，根据垂线段最短得到，即当时，菱形面积最大，计算即可．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
又，
为中垂线，
；
（2）①解：由（1）得，
由轴对称可知，四边形为菱形，
，
②解：方法一：由题意得，
连结，过点作，则，
当且仅当时，菱形面积最大，
此时，最大面积为．
方法二：
由①，菱形面积，
当且仅当，即时，可以取得最大值64，
菱形面积．
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