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3.2双曲线基础练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支 D．一条射线
3．“ 且 ”是“方程 表示双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，双曲线 的右支上一点 满足 ，直线 与该双曲线的左支交于 点，且 恰好为线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知 F1，F2 分别是双曲线3x2-5y2=75 的左和右焦点， P 是双曲线上的一点，且 =120 ，求 的面积(　　)
A． B． C． D．
6．设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（　　）
A． B．3 C． D．2
7．已知双曲线 的左右焦点为 ， ，过 的直线交双曲线于M，N两点 在第一象限），若 与 的内切圆半径之比为3：2，则直线 的斜率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（　　）
① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（　　）
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
10．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（　　）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则
11．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （　　）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为　 　．
13．若点 是以 为焦点的双曲线 上一点，满足 ， ，则双曲线的离心率为　 　.
14．设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．当为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线．
16．已知命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 “曲线 表示双曲线”．
（1）若命题 是真命题，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
17．已知双曲线 是其两个焦点，点 在双曲线上.
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 的面积是多少？若 的面积又是多少？
18．已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证： ；
（3）求△ 的面积．
19．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求证： ；
（3）求 的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由双曲线可知，
离心率公式可知，
，
.
故选：A.
【分析】先利用双曲线中离心率公式求出a，c关系，再结合，求出值，最合根据渐近线公式代入化解.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.故选C.
【分析】本题考查了双曲线的定义，根据|PM|-|PN|=3，可得是双曲线的右支。
3．【答案】B
【解析】【解答】若方程 表示双曲线，
则 ，解得
则当 时推出“ 且 ” 是“方程 表示双曲线”
反之则推不出
故“ 且 ” 是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】由双曲线的性质即可得出关于m的不等式求解出m的取值范围即可，结合题意，当 时推出“ 且 ” 是“方程 表示双曲线”，反之则推不出，由充分和必要条件的定义即可得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】依题意，令 ，则有 ，
令 ，由双曲线定义得 ，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，则 ， ，
在 中， ，即 ， ，于是得 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：C
【分析】利用已知条件，结合直角三角形的性质，利用勾股定理转化求解a，b关系，然后求解 双曲线 的渐近线方程即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】双曲线可化为 ，设
由题意可得 即
所以
故选D.
【分析】双曲线可化为 ，设 ，然后余弦定理求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解： 记 与 的内切圆分别为圆O1与圆O2，半径分别为R1，R2，
设圆O1与△MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图
令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，
根据双曲线的定义可得，可得n=a+c，
由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x轴于B，同理O2B⊥x轴于B，
∴O1O2⊥x轴
过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D
易知直线l的倾斜角θ与∠O2O1D大小相等
不妨设R1=4，R2=1，则O2O1=5，O1D=1，
所以根据勾股定理，，
所以
故答案为：B
【分析】根据双曲线定义，结合内切圆的性质以及正切函数的定义求解即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，
，
，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，
联立方程组，求，
，
，
，
，
，
故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
故选：D.
【分析】首先根据椭圆和双曲线有共同焦点，可知c相同，从而得到a，b，m，n的关系，得出①③正确；结合椭圆上点到两个焦点的距离之和公式与双曲线上点到两个焦点的距离之差，可知②错误；利用余弦定理，结合基本不等式，说明④正确.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：若曲线 ＋ ＝1 ： 表示椭圆，则 解得且 ，故A错误；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示双曲线，则 (4-t)(t-1)<0，解得t<1 或t>4 ，故B正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，故C正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得t>4，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程求解即可.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A符合题意，B不正确；
设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C符合题意；
设，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①②并整理得，，因为，，
所以，，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，根据双曲线的定义得，，根据双曲线的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
12．【答案】
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
13．【答案】
【解析】【解答】由双曲线的定义可知 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，所以 .
【分析】根据双曲线的性质及题中所给等量关系可得到P点到两焦点的含参距离，结合线段垂直即可求出参数间的等量关系，从而得到答案。
14．【答案】3
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
15．【答案】（1）解：因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）解：因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为.
（3）解：因为方程表示双曲线，
所以，解得或.

【解析】【分析】（1）根据圆的方程的特征，列出不等式，即可求解；
（2）根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（3）根据双曲线的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（1）因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为；
（3）因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
16．【答案】（1）解：命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，
若 为真命题，则满足 ，解得 或 ，
即 的取值范围 .
（2）解：若命题 为真，则 ，即 ，
因为 是 的必要不充分条件，则 或
即 或 ，解得 或 .
即实数 的取值范围
【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，得到 为真命题，则满足 ，即可求解；（2）求得命题 为真时，得到 ，再根据 是 的必要不充分条件，结合集合的包含关系，即可求解.
17．【答案】（1）解：设 ，（不妨设 ）， ，
因为 已知，
所以只需求 即可.
当 时， .
由双曲线方程知 ，
由双曲线的定义，得 ，
两边平方，得 ，
又 ，
即 ，即 ，
求得
（2）解：若 ，则在 中， ，所以 ，
求得 .
同理，可求得 时，
【解析】【分析】(1)根据题意设出，再由双曲线的性质得出a、b、c的值由双曲线的定义即可得出整理得出由此求出结果。
(2)结合已知条件由余弦定理代入数值计算出有整体思想结合三角形的面积公式计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴可设双曲线方程为 ．
∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为
（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵点 在双曲线上，∴ ， ．
∴ ，∴
（3）解：由（2）知 ∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ，
∴ ．
即△ 的面积为6
【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程；
（2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证；
（3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。
19．【答案】（1）解：∵e＝ ，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ．
又∵双曲线过(4，－ )点，
∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
（2）证明：∵ ＝(－3－2 ，－m)，
＝(2 －3，－m)，
∴ · ＝(3＋2 )(3－2 )＋m2＝－3＋m2．
又∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴ · ＝0．
（3）解：∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4 ，且|m|＝ ，
∴S△F1MF2＝ ·|F1F2|·|m|
＝ ×4 × ＝6．
【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率，采用待定系数法设出双曲线方程，结合点的坐标，即可得到双曲线的方程；
（2）根据点的坐标，表示平面向量，结合平面向量的数量积运算，即可证明相应的式子；
（3）根据三角形的面积公式，即可取出三角形的面积.
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