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山西省忻州市 2024-2025 学年九年级上学期 11 月期中考试数学试题
一、单选题
1．下图中的 4 个图案，是中心对称图形的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．抛物线 y 2(x 2)2 1的顶点坐标是（ ）
A． 2,1 B． 2, 1 C． 2,1 D． 2, 1
3．若关于 x 的一元二次方程ax2 6x 4 0有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
9 9 9
A．a 且a 0 B．a 且a 0 C．a D．a 4且a 0
4 4 4
4．一元二次方程 x2 x 2 0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
5．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
1 1
A． y x2 x 2 y x2 B． x 2
2 2
1 2 1
C． y x x 1 D． y x2 x 2
2 2
6．如图， AB是 O 的直径，点 C，D 是圆上两点，若 AOC 124 ，则 CDB等于（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
7．如图，将一枚圆形铜钱的模型放入一个矩形袋子 ABCD中，铜钱模型与矩形袋子的下边沿BC相切于点
E，与上边沿 AD交于点 F、G，若 AB 4，FG 10，则该圆形铜钱模型的半径为（ ）
41 41
A． B． C．3 D．4
4 8
8．如图，AB 为半圆 O 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点 B，
一条直角边交该半圆于点 Q．若 AB＝2，则线段 BQ 的长为( )

A． 2 B． C． D．1
2 4
9．如图，PA是 O 的切线，切点为A ，PO的延长线交 O 于点B，若 BAP 116 ，则 P的度数为（ ）
A．64 B．26 C．52 D．38
10．将一把直尺、一个含 60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边 AD 与直尺
的一边重合，光盘与直尺相切于点 B，与直角三角板相切于点 C，且 AB 3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 3 C．3 D．6 3
二、填空题
11．二次函数 y x2 2mx 5m的图象经过点 1, 2 ．其解析式为 ．
12．抛物线 y 2x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线是 ．
13．设实数 a，b 满足a2 2a 1，b2 2b 1，则a b ．
14．已知∠AOB＝30°，P 是 OA 上的一点，OP＝4cm，以 r 为半径作⊙P．若 r 3 cm，则⊙P 与 OB 的位
置关系是 ．
15．已知点 P 是圆外一点，过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，点 C 是圆上异于 A、B 的
点，若∠P＝70°，则∠ACB＝ ．
三、解答题
16．（1）解方程：2x2 16．
（2）小明在解方程 x2 5x 1时出现了错误，其解答过程如下：
解：∵a=1，b 5， c=1， 第一步
∴b2
2
4ac 5 4 1 1 21， 第二步
5 21
∴ x ， 第三步
2
5 21 5 21
∴ x ， x ． 第四步 1 2
2 2
①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________．
②写出此题正确的解答过程．
17．如图，将 ABO（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图：
(1)向上平移 3 个单位；
(2)绕点 O 顺时针旋转90 ；
18．已知m ， n 是关于 x 的一元二次方程 x2 2(a 1)x a2 5 0的两实数根．
(1)若 (m 1)(n 1) 28 ，求 a 的值；
(2)已知等腰 ABC 的一边长为 7，若 m，n 恰好是 ABC 另外两边的边长，求 ABC 的周长．
19．如图，在四边形 ABCD中，AO平分 BAD．点 O 在 AC 上，以点 O 为圆心，OA为半径，作 O 与BC
相切于点 B，BO延长线交 O 于点 E，交 AD于点 F，连接 AE，DE ．
(1)求证：CD是 O 的切线；
(2)若 AE DE 8，求 AF 的长．
20．如图，已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A 1,0 ，B 3,0 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物
线上在第一象限内的一动点，且点 P 的横坐标为 t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接BC，PB， PC，设△PBC的面积为 S，求 S 与 t 的函数表达式，并求 S 最大时点 P 的坐标．
21．如图①，已知 ABC 是等腰直角三角形， ACB 90 ， ACD是等边三角形．将图①中 ACD绕点C 顺
时针旋转60 后得到图②，并连接EB，设线段CE与 AB相交于点F ．
(1)求证：BE BF ；
(2)若 AC 2，求四边形 ACBE的面积．
22．根据以下素材，探索完成任务．
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置
OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而
素
实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变
材
水柱的形状．为了美观在半径为1.6米的喷
1
泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉
(图 1 中的阴影部分)．
从喷泉口A 喷出的水柱成抛物线形，如图
素 2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已
材 知喷水口 A 离地面高度为0．58米，喷出的
2 水柱在离喷水口水平距离为0.2米处离地
面最高，高度为0.6米．
问题解决
任 以点O为原点，OA所在直线为 y 轴建
务 建立模型 立平面直角坐标系，根据素材 2 求抛物
1 线的函数表达式．
任 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷
务 泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水
2 口A 升高的最小值．
任 喷泉口A 升高的最大值为1.02米，为能
务 分析计算 充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽
3 度提出合理的建议．
23．综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助
圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经
学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下
是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果
该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图 1，在四边形 ABCD中， ABC ADC 180 ，请在图 1 中作出过点 A、B、C 三点的 O ，
并直接判断点 D 与 O 的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图 1，在四边形 ABCD 中， ABC ADC 180 ，
求证：点 A、B、C、D四点共圆．
证明：过 A、B、C三点作 O ，假设点 D 不在 O 上，
则它有可能在圆内（如图 2），也有可能在圆外（如图 3）．
假设点 D 在 O 内时，如图 2，延长CD交 O 于点 E，连结 AE，
ADC是△DEA的外角， ADC AEC，
四边形 ABCE 是 O 的内接四边形， ABC AEC 180 ，
又 ABC ADC 180 ， ADC AEC．
这与 ADC AEC相矛盾，所以假设不成立，所以点 D 不可能在 O 内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点 D 在 O 外”（如图 3）的情形
参考答案
1．B
解：①③是中心对称图形，②不具备任何对称性，④只是轴对称图形，
故选 B．
2．B
解： 抛物线的解析式为 y 2(x 2)2 1，
∴抛物线的顶点为 2, 1 ．
故选：B．
3．A
【详解】 一元二次方程ax2 6x 4 0有两个不相等的实数根，
2
b2 4ac 6 4 4a 36 16a 0，
9
a ，
4
该方程是一元二次方程，
a 0，
9
a 的取值范围是a 且a 0．
4
故选：A．
4．C
【详解】由题意得： b2 4ac 12 4 1 2 7 0
则方程没有实数根．
故选：C．
5．D
2
1 9
解：设抛物线解析式为 y a x ，
2 4
9 9
把 2,0 代入得 a 0，
4 4
解得a 1，
2
1

9
抛物线解析式为 y x ，
2 4
即 y x2 x 2，
故选：D．
6．B
解：∵ AOC 124 ， AB是 O 的直径，
∴∠BOC 180 ∠AOC 56 ，
1
∴ CDB BOC 28 ，
2
故选：B．
7．B
【详解】
如图，连接OE 、OF ，设OE 与 AD的交点为 H，
∵ BC与 O 相切于点 E，
OE BC，
BEH 90 ．
∵四边形 ABCD是矩形，
A B 90 ，
∴四边形 ABEH 是矩形，
HE AB 4，OH FG，
1
FH HG FG 5．
2
设 O 的半径为 r，则OF r ，OH r 4，
由OF 2 OH 2 FH 2 得，
r2
2
r 4 52 ，
41
解得 r ，
8
41
∴该圆形铜钱模型的半径为 ，
8
故选：B．
8．A
【详解】连接 AQ，BQ，
P 45 ，
QAB P 45 ，且 AQB 90 ，
AQB 为等腰直角三角形
AB 2 ,
QB QB 2sin QAB sin 45
AB 2 2
QB 2
故选 A
9．D
解：如图，连接OA，
∵PA是 O 的切线，
∴OA AP，
∴ PAO 90 ，
∵ BAP 116 ，
∴ BAO BAP OAP 116 90 26 ，
∵OA OB，
∴ B OAB 26 ，
∵圆周角 B和圆心角 AOP所对的弧相同，
∴ AOP 2 B 2 26 52 ，
∴ P 90 AOP 90 52 38 ，
∴ P的度数为38 ．
故选：D．
10．D
解：如图所示，设圆的圆心为 O，连接 OC，OB，
∵AC，AB 都是圆 O 的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
1
∴∠OAC=∠OAB= 180 ∠DAC =60 ，
2
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴OB OA2 AB2 3 3，
∴圆 O 的直径为6 3 ，
故选 D．
11． y x2 2x 5
解：∵二次函数 y x2 2mx 5m的图象经过点 1, 2 ，
∴ 2 12 2m 5m，
解得：m 1；
∴ y x2 2x 5．
故答案为： y x2 2x 5．
2
12． y 2 x 1 3
解：抛物线 y 2x2
2
先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线是 y 2 x 1 3．
2
故答案为： y 2 x 1 3
13．0 或 2 2
解：根据题意可得 a、b 为方程 x2 2x 1的两个根，
将方程化为一元二次方程的一般形式为 x2 2x 1 0 ．
①a、b 不相等时，
a b 2，ab 1，
2 2
∴ a b a b 4ab 8
∴a b 2 2；
②当a b时，得a b 0．
综上所述，a b 0 或 2 2
故答案为：0 或 2 2
14．相离
解：根据题意，过点P作PC OB，如下图：
则 POC 90
∵ AOB 30
1
∴PC OP 2cm
2
∵ 2> 3
∴PC r
⊙P 与 OB 的位置关系是相离
故答案为：相离
15．55°或 125°
解：①当 C 和 P 在 O 的异侧时，如图 1，
连接 OA，OB，
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
1
∴∠ACB＝ ∠AOB＝55°；
2
②当 C 和 P 在 O 的同侧时，如图 2，
连接 OA，OB，
∵∠ACB+55°＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣55°＝125°；
综上所述：∠ACB＝55°或 125°，
故答案为：55°或 125°．
16．（1） x 2 2， x2 2 2 ；（2）①一，原方程没有化成一般形式；②见解析 1
1
解：（1）方程两边同乘 ，得： x2 8，
2
开方，得： x 2 2 ，
∴ x 2 2， x2 2 2 ； 1
（2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式．
故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
②∵a=1，b 5，c 1，
∴ b2
2
4ac 5 4 1 1 29 0，
b 5 29
∴ x ，
2a 2
5 29 5 29
∴ x1 ， x ． 2
2 2
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）如图， DEF 即为所求，
（2）如图所示，△GHO即为所求，
18．(1) a 6
(2)17
（1）解：由根与系数关系得：m n 2(a 1)，mn a2 5
依题意得： (m 1)(n 1) 28 ，
mn m n 1 28，
a2 5 2(a 1) 1 28，
a2 2a 24 0 ，
解得：a1 6， a2 4，
由 0得：[ 2(a 1)]2 4(a2 5) 0 ，
a 2，
a 6；
（2）解：分两种情况：
①当m 7或n 7时，即方程有一根为 7，把 x 7代入方程得： 49 14(a 1) a2 5 0，
整理得a2 14a 40 0，解得a1 10，a2 4 ，
当a 10时， x x 2(a 1) 22，解得 x1 7 , x 151 2 2 ，由7 7 15，则此情况不存在；
当a 4时， x1 x2 2(a 1) 10，解得 x1 7, x2 3，则三角形周长为3 7 7 17；
②当m n 时，即方程有两个相等实根，x1 x2 ，则 0，a 2，方程化为 x
2 6x 9 0，解得 x1 x2 3，
则3 3 7，故舍去，
∴这个三角形的周长为 17．
19．(1)见解析
(2) AF 4 3
（1）证明：如图，连接OD．
BC 为圆 O 的切线，
CBO 90 ．
AO平分 BAD，
OAB OAF．
OA OB OD，
OAB ABO OAF ODA，
BOC OAB OBA， DOC OAD ODA，
BOC DOC．
在△COB和△COD中，
CO CO

COB COD ，

OB OD
BOC≌ DOC SAS ，
CBO CDO 90 ．
CD是 O 的切线．
（2）解： AE DE，
AE DE ，
DAE ABO，
BAO OAD ABO．
BAO OAD DAE ．
BE是直径，
BAE 90 ，
BAO OAD DAE ABO 30 ，
AFE 90 ．
在Rt AFE中， AE 8， DAE 30 ，
1
EF AE 4．
2
AF AE2 EF2 82 42 4 3．
3 9 3 15
20．（1） y x2 2x 3；（2） S t
2 t，点 P 的坐标为 , ．
2 2 2 4
（1）解：将点 A 1,0 ，B 3,0 代入 y x2 bx c 得
0 1 b c b 2
解得
0 9 3b c c 3
∴抛物线解析式为 y x2 2x 3
（2）解：连接OP，
∵点 P 横坐标为 t
∴点 P 纵坐标为 t2 2t 3
y x2 2x 3
当 x 0时， y 3，C 0,3 ，OC 3
B 点坐标为 3,0 ∴OB 3
1 2 1 1 3 9S S OBP S OCP S OBC 3 t 2t 3 3 t 3 3 t2 t
2 2 2 2 2
2
3 2 9 3 3 27S t t t
2 2 2 2 8
3 3 2 15∴当 t 时，S 有最大值，把 t 代入 y t 2t 3
2 2 4
3 15
∴点 P 的坐标为 , ．
2 4
21．(1)见解析
(2) 3 1
（1）证明：∵ ABC 是等腰直角三角形，
∴CA CB， CAB CBA 45 ，
∵ ACD是等边三角形，
∴CA CD，
由旋转的性质可得CE CA， ACE 60 ，
∴CA CE CB，
∴∠BCE ∠ACB ∠ACE 30 ，
180 ∠BCE
∴ CEB CBE 75 ，
2
∴ EBF CBE CBF 30 ，
∴ EFB 180 EBF CEB 75 ，即 EFB FEB，
∴BE BF ；
（2）解：如图乙，作 BCE 边 BC上的高EH ，
1
则EH CE 1，
2
1 1
∴ S四边形 S ACE S BCE 2 3 2 1 3 1ACBE ．
2 2
1 2
22．任务 1： y x 0.2 0.6；任务 2：喷水口升高的最小值为0.38米；任务 3∶建议花卉的种植宽度
2
为0.4米
解∶ 任务 1∶ 由题意得， A 0,0.58 ，顶点为 0.2,0.6 ，
2
可设抛物线的函数表达式为 y a x 0.2 0.6，
又抛物线过 A 0,0.58 ，
2
0.58 a 0 0.2 0.6，
1
a ，
2
1 2
抛物线的函数表达式为 y x 0.2 0.6，
2
任务 2：由题意， 喷泉池的半径为1.6米，
1 2
令 x 1.6，则 y 1.6 0.2 0.6 0.38，
2
喷水口升高的最小值为 0.38 0.38 (米)，
1 2
任务 3∶ 当 y x 0.2 0.6向上平移1.02个单位，
2
1 2
y x 0.2 0.6 1.02，
2
1 2
令 y 0 ， 即0 x 0.2 1.62，
2
当 x 2或 x 1.6(舍去)．
2 1.6 0.4 (米)．
建议花卉的种植宽度为0.4米．
23．(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）
(2)图见解析，点 D 在 O 上
(3)详见解析
（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）．
（2）解：如图 1， O 为所求．
点 D 在 O 上．
（3）证明：假设点 D 在 O 外时，如图 3，
CD 交 O 于点 E，连结 AE，
AEC 是△DEA的外角，
AEC ADC．
四边形 ABCE是 O 的内接四边形，
ABC AEC 180
又 ABC ADC 180 ，
AEC ADC．
这与 AEC ADC相矛盾，所以假设不成立，
所以点 D 不可能在 O 外．

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