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微专题6 构造全等证中点
1.如图,AH是△ABC的高,AE⊥AB,AC=AB,AF⊥AC,AF=AC,ED⊥AH交其延长线于点D,EF交AD 于点O.求证:
(1)AH=ED;
(2)EO=FO.
2.如图,AB⊥AC,AB=AC,D是AB 上一点,CE⊥CD,CE=CD,连接BE交AC 于点F.求证:F是BE 的中点.
3.如图,A,B,C三点共线,D,C,E三点共线,∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F,AE=BD.求证:
(1)C是DE 的中点;
(2)AB=2CF.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,AE=AC,AB=AD,∠EAC=∠BAD=60°,DE交AB 于点F.求证:EF=FD.
微专题6 构造全等证中点
1.(1)由 ED⊥AH,AH⊥BC,AE⊥AB可得∠AHB=∠EDA= 90°,∠ABH=∠EAD. 又∵AB=AE,∴△ABH≌△EAD.∴AH=ED.(2)过点 F 作FM⊥AD于点M.同(1)可证△ACH≌△FAM.∴AH=FM,即FM=ED,又∠EDO=∠FMO=90°,∠EOD=∠FOM,∴△EDO≌△FMO,∴EO=FO.
2.过点 E 作EH⊥AC于点 H,则∠EHC=∠CAD=90°,∠ECH=90°-∠ACD=∠ADC.∵CD=CE,∴△ACD≌△HEC(AAS).∴EH=CA=AB.∵∠A=∠EHF = 90°,∠AFB =∠HFE. ∴△ABF≌△HEF(AAS),∴EF=BF,∴F是BE 的中点.
3.(1)过点 D作DG⊥AC 交AC 的延长线于点G,易证△AEF≌△BDG(AAS),∴EF=DG.再证△DCG≌△ECF(AAS),∴CD=CE,∴C是DE 的中点.(2)由(1)可知AF=BG,CF=CG,∴AB+BF=FG+BF,∴AB=FG=2CF.
4.过点E作EH∥AD交AB 于点 H,∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴∠EHA=∠BAD=∠ABC=60°,∠EAH=∠ACB = 90°, AE = AC, ∴△AEH≌△CAB(AAS),∴EH=AB=AD. ∵EH∥AD,∴∠EHF=∠FAD,∠HEF=∠ADF,∴△HEF≌△ADF(ASA),∴EF=DF.

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