资源简介

14.3 角的平分线
第 1课时 角的平分线的性质
双基导学导练
知识点① 平分已知角
1.(2024东西湖期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=44°,按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 AC，AB 于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧,两弧相交于点 P;③作射线AP,交BC于点E,则∠CAE= .
2.(2024黄陂期中)如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP交边BC 于点D,若AB=8,△ABD的面积等于12,则CD的长是( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
3.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB 的平分线的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点9 角平分线的性质
4.(2024江岸期中)如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是（ ）
A. PC=PD B. OC=OD C.∠CPO=∠DPO D. OC=PC
5.(2024青山期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N 为圆心,大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线AP交BC 于点D,若CD=4,AB=7,则△ABD的面积是( )
A.5 B.7 C.14 D.28
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 .
7.如图,四边形ABCD中,BA=BC,AD=CD,P为BD上一点,PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,求证:PM=PN.
真题检测反馈
8.(2024 江夏期中)如图,在△ABC中, BE平分 3于点D.若AB=5cm ,AC=4 cm,BC=3c m,则△ADE的周长为( )
A.9 cm B.8cm C.7 cm D.6 cm
9.如图,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,∠BCD=45°,则.
10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,AB+BC+CA=18,过O作OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 .
11.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF,求证:BD=CD.
创新拓展提升
12.如图,在Rt△ABC中, ，D为AB 上的一动点，把∠ 沿CD翻折得到△PCD，连接AP，当AP 取最小值时，求 的面积.
第 2 课时 角的平分线的判定
双基导学导练
知识点① 角平分线的判定
1.如图,PM⊥AC于点M,PN⊥AB于点N,PM=2,当PN= 时,点 P在∠BAC的平分线上.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=90°,当∠D= 时,点A在 的平分线上.
3.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=60°,则
4.用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB 交射线OA 于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点 P，作射线OP，若 ,则∠AMP 的大小为（ ）
A.46° B.52° C.56° D.62°
5.如图,BD=CE,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE、CD交于点F,求证:点 F 在 的平分线上.
知识点2 角平分线的性质与判定的综合
6.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=72°,∠ABC ,并且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠ADC 的度数为 度.
7.如图,∠B=∠C=90°,E是BC 的中点,DE平分∠ADC,求证:AE是∠DAB 的平分线.
真题检测反馈
8.(2024黄陂期中)在△ABC内部有一点P,点P到三边AB,BC,CA的距离相等,则点P一定是( )
A.△ABC三边中线的交点 B.△ABC三条高所在直线的交点
C.△ABC三边垂直平分线的交点 D.△ABC三个内角平分线的交点
9.在直角△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=13,AC=12,BC=5,在△ABC的内部找一点P,使得 P 到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 .
10.(2024东西湖期中)如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F,BE,CF 相交于点D,若BD=CD,求证:AD平分∠BAC.
11.如图,在四边形ABCD中,∠B与∠D互补,且BC=CD,求证:AC平分∠BAD.
12.如图,在△ABC 和△ADE中,∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.连接BD,CE,延长BD交CE 于点F,连接AF.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAC=28°,∠AEF=96°,求∠EAF 的度数.
创新拓展提升
13.如图,在△ABC中,∠ACB=36°,∠BAC=117°,过A 作AD⊥BC于点D,CO为△ABC的角平分线,连接OD,过O作OE⊥AB交BC于点E，交AD延长线于点F.则下列三个结论，其中一定正确的是 .(填写正确结论序号)
①∠AOC=45°;②∠COD=∠B;③BC-AC=AF.
14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
1.23° 2. B 3. D 4. D 5. C 6.2.47. 在△ABD 和△CBD 中, △CBD(SSS),∴∠ABD=∠CBD,∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴PM=PN.
8. D 9. 10.27
11.∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE= DF,∠DEB=∠DFC= 90°,在△BDE 和△CDF 中, △CDF(SAS),∴BD=CD.
12.∵AP≥AC-CP,当A,P,C三点共线时取等号，此时AP 最小，如图所示,作DG⊥AC于点G,DF⊥BC于点 F,由对折可得∠ACD=∠BCD,PC=BC=6,∴DG=DF,∵∠ACB=90°,∴S△ABC
第 2课时 角的平分线的判定
1.2 2.90° 3.120° 4. C
5.∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BDF=∠CEF=90°,在△BDF 和△CEF 中, △CEF,∴FD=FE,∴点 F 在∠BAC的平分线上.
6.65
7.作EF⊥AD 于F,∵DE平分∠ADC,∠C=90°,∴EC=EF.∵E 是 BC 的中点,∴CE=EB,∴EF=EB,∵∠B=90°,∴AE 是∠DAB的平分线.
8. D 9.2
10.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BEC=∠BFD=90°,在△DEC 和△DFB 中, ≌△DFB(AAS),∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.
11.作CQ⊥AB于点Q,CP⊥AD交AD 延长线于点P,∴∠BQC=∠AQC=∠APC=90°,∵∠B 与∠ADC互补,∴∠B+∠ADC=180°,∵∠ADC+∠CDP=180°,∴∠B =∠CDP, 在△BQC 和△DPC 中,
CP,∴AC平分∠BAD.
12.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)设 AC与BD 相交于点O,过点A作AM⊥BD于点M,作AN⊥EF 于点 N,∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,S△ABD=S△ACE,
∵∠ABD+∠AOB +∠BAC = 180°,∠ACE +∠COF+∠BFC=180°,∠AOB=∠COF,∴∠BAC=∠BFC=28°,∴∠BFE=180°-∠BFC=180°- AN,∴AM=AN,∴FA 平分∠BFE,∴∠AFE= ∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=180°-96°-76°
13.①②③

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