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微专题3 全等模型——中线倍长
1.在△ABC中,AC=3,中线AD=5,则AB边的取值范围是 .
2.(2024蔡甸期中)如图,AD是△ABC的中线,E是AD 上一点,BE交AC 于点F,若EF=AF,BE=8,CF=5,求EF 的长.
3.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:AC=2AE.
4.如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF 分别交AB,AC于点E,F,求证:BE+CF>EF.
5.如图,在△ABC和△DBE中,BH⊥AC于点H,交DE于点G,且G为DE 的中点,若AB⊥BE,AB=BE,BD⊥BC,BD=BC,求证:AC=2BG.
微专题3 全等模型——中线倍长
1.7延长 AD 到 G,使 DG=AD,连接 BG,∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD,又∵DG=AD,∠ADC=∠BDG,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG=CF+AF=5+AF,∠DAC=∠G,∵EF=AF,∴∠DAC=∠AEF,∴∠G=∠AEF=∠BEG,∴BE=BG=8,∴5+AF=AC=BG=8,∴AF=3,∴EF=3.
3.延长AE到F,使EF=AE,连接BF,∵AE是△ABD的中线, ∴ BE = DE, 在 △BEF 和△DEA 中,
=AD,∠FBE=∠BDA,
∵∠BDA=∠BAD,∠ADC=∠BAD+∠ABD,∠ABF=∠FBE+∠ABD,
∴∠ADC = ∠ABF
∴AC=2AE.
延长ED到G,使 DG=DE,连接CG、FG,在△BDE和△CDG中,
(SAS),∴BE=GC,∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠GDF=90°,在△EDF 和△GDF 中, ∴△EDF≌△GDF(SAS),∴EF=FG.∵GC+FC>FG,∴BE+CF>EF.
5.延长 BG到 F 点,使 FG=BG,连接 FE,∵G为DE的中点,∴EG=DG,∵∠FGE=∠BGD,∴△FGE≌△BGD(SAS),∴EF=BD= BC,∠F=∠DBG,∴EF∥BD,∴∠FEB+∠DBE=180°,∵AB⊥BE,BD⊥BC,∴∠ABC+∠DBE=180°,∴∠FEB=∠ABC,∵AB=BE,∴△FEB≌△CBA(SAS),∴AC=BF=2BG.

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