资源简介

浙江省杭州第九中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题
1．（2024高一上·上城期中）已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】先利用补集的定义求出，再利用交集的定义即可求解.
2．（2024高一上·上城期中）已知 ，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解 ： p：x2－x<0的充要条件为0故答案为：B
【分析】由已知命题p的的充要条件为03．（2024高一上·上城期中）已知命题p：x∈{x|1A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：已知命题p： x∈{x|1因为是真命题，所以在上恒成立，解得a≥3，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先写出命题，再转化成恒成立问题即可得解.
4．（2024高一上·上城期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取a=-3，b=-2，所以 ，故错误；
对B，由c2>0， ，所以 a>b，故正确；
对C， ，
由 b>a>0，m>0 ，所以 ，所以 ，故正确；
对D，由c-d ，又a>b ，所以
故选：A
【分析】利用特殊值法可判断A，根据不等式的性质可判断B，利用作差法可判断C，根据不等式的性质可判断D.
5．（2024高一上·上城期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 不等式的解集为或， 则二次函数开口向下，即，故A错误；
易知是方程的两个根，
由韦达定理可得，
则，
，故BC错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的解集与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系逐项分析判断即可.
6．（2024高一上·上城期中）已知函数，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
7．（2024高一上·上城期中）函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可知：在上单调递减，
则，解得，
所以 实数a的取值范围为 .
故答案为：.
【分析】由题意可知在上单调递减，结合分段函数单调性分析求解.
8．（2024高一上·上城期中）已知正数，，满足，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，为正数且满足，
所以，当且仅当时等号成立，
令，，则，
令，，
又在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为，当且仅当时取得．
故答案为：D．
【分析】令，利用基本不等式可得，再转化为对勾函数，可得对勾函数在上单调递增，利用单调性即可求最值．
9．（2024高一上·上城期中）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、若，当时，对应的函数值为，故A正确；
B、若，当时，对应的函数值为，故B正确；
C、若，当时，对应的函数值为，但，故C错误；
D、若，当时，对应的函数值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据函数的概念逐项判断即可.
10．（2024高一上·上城期中）幂函数满足时，，则的值可以是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】B,C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数满足时，，
所以幂函数在上单调递增，
所以，故AD错，BC正确；
故答案为：BC
【分析】利用结合题意可得幂函数在上单调递增，再利用幂函数的性质即可求解.
11．（2024高一上·上城期中）若，分别在同一坐标系内给出函数和函数的图象可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数的图象知，此时，则函数为增函数，故A正确；
B、由函数的图象知，则，则函数为减函数，故B错误；
C、由函数的图象知，则，则函数为减函数，故C正确；
D、由函数的图象知，则，则函数为增函数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】先利用图像分析出函数中a和b的范围，再利用指数函数的性质可得和1的关系逐项判断即可求解.
12．（2024高一上·上城期中）计算 得　 　．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 .
故答案为：
【分析】利用指数的运算性质即可求解.
13．（2024高一上·上城期中）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为　 　.
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x，y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
14．（2024高一上·上城期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：已知函数满足①，所以，
由函数的奇偶性可得，②，
由①②解得，，
因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
【分析】利用函数奇偶性得，和已知条件联立可得，再参变分离可得在上恒成立，令结合指数函数的单调性即可求解.
15．（2024高一上·上城期中）从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答下列问题：
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的_____，求正实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
当，，
所以；
（2）解：由（1）知，又
因为，所以，
若选①，即“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
所以只需，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意；
故实数m的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；充分条件；必要条件；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先利用指数函数单调性化简集合；再解一元二次不等式化简集合，最后利用并集的定义即可求解；
（2）由（1）得，解一元二次不等式，化简集合；选择①可得到集合是集合的真子集，列出不等式组求解即可.
（1）因为，
当，，
所以；
（2）由（1）知，
又
因为，所以，
若选①，即“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，所以只需，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意；
故；
若选②，则是的真子集，
因此，解得，
当时，是的真子集，符合题意；
又为正实数，所以.
16．（2024高一上·上城期中）已知对，都有，且当时，.
（1）求函数的解析式，并画出的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）求的解集.
【答案】（1）解：因为，令，可得，
设，则，，
又，所以，
故，故函数的简图为：
（2）解： 因为，
所以
（3）解：即为或，由图可知或，
故的解集为.
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用奇函数性质求解析式可得，再利用二次函数画出分段函数图象即可求解；
（2）先求，再求；
（3）利用函数图象结合函数值的符号解不等式即可求解.
（1）因为，令，可得，
设，则，，
又，所以，
故，故函数的简图为
（2）因为，
所以.
（3）即为或，由图可知或，
故的解集为.
17．（2024高一上·上城期中）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，当时，；
当时，；
（2）解：由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
【知识点】基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意，分和讨论，利用利润=销售收入-成本求出关系式求解即可；
（2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再比较大小判断即可.
（1）由题意可得当时，，
当时，，
（2）由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
18．（2024高一上·上城期中）已知函数．
（1）判断函数在R上的奇偶性，并证明之；
（2）判断函数在R上的单调性，并用定义法证明；
（3）写出在R上的值域．
【答案】（1）解：函数在上是奇函数.
证明：，
即函数在上是奇函数；
（2）解：函数在R上的单调递增函数.
证明：任取，则，
因为，所以，又，，
所以，即函数在R上的单调递增函数；
（3）解：由，
即函数在R上的值域为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用指数的运算可得，再利用奇数函数的定义即可证明；
（2）任取，通过计算即可证明；
（3）以为基础分析可得即可求解.
（1）函数在上是奇函数.
证明：，
即函数在上是奇函数；
（2）函数在R上的单调递增函数.
证明：任取，则，
因为，所以，又，，
所以，即函数在R上的单调递增函数；
（3）由，
即函数在R上的值域为.
19．（2024高一上·上城期中）已知函数，.
（1）当时，函数的最小值为5，求实数m的取值范围；
（2）对于函数和，若满足：对，，有成立，称函数是在区间D上的“相伴不减函数”，若函数是在区间的“相伴不减函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：令，，则，
当，即时，在区间上单调递增，，
解得，成立；
当，即时，在区间上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在区间单调递减，单调递增，
，，无解；
综上可知.
（2）解：依题意可得，，，有，
又，而在上单调递增，所以；
原不等式可以化为在上恒成立，
由，得，
即，
令，，上式可化为，即，
又，则，
令，，因为函数在区间上单调递减，
所以，因此，.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）令，分类讨论，再结合二次函数最小值建立方程分别即可求解；
（2）根据“相伴不减函数”定义把问题转化为在上恒成立，令，分离参数可得，构造函数，再利用函数单调性即可求解.
（1）令，，则，
当，即时，在区间上单调递增，，
解得，成立；
当，即时，在区间上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在区间单调递减，单调递增，
，，无解；
综上可知.
（2）依题意可得，，，有，
又，而在上单调递增，所以；
原不等式可以化为在上恒成立，
由，得，
即，
令，，上式可化为，即，
又，则，
令，，因为函数在区间上单调递减，
所以，因此，.
1 / 1浙江省杭州第九中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题
1．（2024高一上·上城期中）已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·上城期中）已知 ，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·上城期中）已知命题p：x∈{x|1A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
4．（2024高一上·上城期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
5．（2024高一上·上城期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．的解集为
6．（2024高一上·上城期中）已知函数，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．（2024高一上·上城期中）函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·上城期中）已知正数，，满足，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
9．（2024高一上·上城期中）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·上城期中）幂函数满足时，，则的值可以是（　　）
A． B．3 C． D．
11．（2024高一上·上城期中）若，分别在同一坐标系内给出函数和函数的图象可能的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·上城期中）计算 得　 　．
13．（2024高一上·上城期中）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为　 　.
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
14．（2024高一上·上城期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是　 　.
15．（2024高一上·上城期中）从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答下列问题：
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的_____，求正实数m的取值范围．
16．（2024高一上·上城期中）已知对，都有，且当时，.
（1）求函数的解析式，并画出的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）求的解集.
17．（2024高一上·上城期中）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
18．（2024高一上·上城期中）已知函数．
（1）判断函数在R上的奇偶性，并证明之；
（2）判断函数在R上的单调性，并用定义法证明；
（3）写出在R上的值域．
19．（2024高一上·上城期中）已知函数，.
（1）当时，函数的最小值为5，求实数m的取值范围；
（2）对于函数和，若满足：对，，有成立，称函数是在区间D上的“相伴不减函数”，若函数是在区间的“相伴不减函数”，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】先利用补集的定义求出，再利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解 ： p：x2－x<0的充要条件为0故答案为：B
【分析】由已知命题p的的充要条件为03．【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：已知命题p： x∈{x|1因为是真命题，所以在上恒成立，解得a≥3，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先写出命题，再转化成恒成立问题即可得解.
4．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取a=-3，b=-2，所以 ，故错误；
对B，由c2>0， ，所以 a>b，故正确；
对C， ，
由 b>a>0，m>0 ，所以 ，所以 ，故正确；
对D，由c-d ，又a>b ，所以
故选：A
【分析】利用特殊值法可判断A，根据不等式的性质可判断B，利用作差法可判断C，根据不等式的性质可判断D.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 不等式的解集为或， 则二次函数开口向下，即，故A错误；
易知是方程的两个根，
由韦达定理可得，
则，
，故BC错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的解集与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题意可知：在上单调递减，
则，解得，
所以 实数a的取值范围为 .
故答案为：.
【分析】由题意可知在上单调递减，结合分段函数单调性分析求解.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，为正数且满足，
所以，当且仅当时等号成立，
令，，则，
令，，
又在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为，当且仅当时取得．
故答案为：D．
【分析】令，利用基本不等式可得，再转化为对勾函数，可得对勾函数在上单调递增，利用单调性即可求最值．
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、若，当时，对应的函数值为，故A正确；
B、若，当时，对应的函数值为，故B正确；
C、若，当时，对应的函数值为，但，故C错误；
D、若，当时，对应的函数值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据函数的概念逐项判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数满足时，，
所以幂函数在上单调递增，
所以，故AD错，BC正确；
故答案为：BC
【分析】利用结合题意可得幂函数在上单调递增，再利用幂函数的性质即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由函数的图象知，此时，则函数为增函数，故A正确；
B、由函数的图象知，则，则函数为减函数，故B错误；
C、由函数的图象知，则，则函数为减函数，故C正确；
D、由函数的图象知，则，则函数为增函数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】先利用图像分析出函数中a和b的范围，再利用指数函数的性质可得和1的关系逐项判断即可求解.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 .
故答案为：
【分析】利用指数的运算性质即可求解.
13．【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x，y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：已知函数满足①，所以，
由函数的奇偶性可得，②，
由①②解得，，
因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
【分析】利用函数奇偶性得，和已知条件联立可得，再参变分离可得在上恒成立，令结合指数函数的单调性即可求解.
15．【答案】（1）解：因为，
当，，
所以；
（2）解：由（1）知，又
因为，所以，
若选①，即“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
所以只需，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意；
故实数m的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；充分条件；必要条件；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先利用指数函数单调性化简集合；再解一元二次不等式化简集合，最后利用并集的定义即可求解；
（2）由（1）得，解一元二次不等式，化简集合；选择①可得到集合是集合的真子集，列出不等式组求解即可.
（1）因为，
当，，
所以；
（2）由（1）知，
又
因为，所以，
若选①，即“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，所以只需，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意；
故；
若选②，则是的真子集，
因此，解得，
当时，是的真子集，符合题意；
又为正实数，所以.
16．【答案】（1）解：因为，令，可得，
设，则，，
又，所以，
故，故函数的简图为：
（2）解： 因为，
所以
（3）解：即为或，由图可知或，
故的解集为.
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用奇函数性质求解析式可得，再利用二次函数画出分段函数图象即可求解；
（2）先求，再求；
（3）利用函数图象结合函数值的符号解不等式即可求解.
（1）因为，令，可得，
设，则，，
又，所以，
故，故函数的简图为
（2）因为，
所以.
（3）即为或，由图可知或，
故的解集为.
17．【答案】（1）解：由题意，当时，；
当时，；
（2）解：由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
【知识点】基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意，分和讨论，利用利润=销售收入-成本求出关系式求解即可；
（2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再比较大小判断即可.
（1）由题意可得当时，，
当时，，
（2）由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
18．【答案】（1）解：函数在上是奇函数.
证明：，
即函数在上是奇函数；
（2）解：函数在R上的单调递增函数.
证明：任取，则，
因为，所以，又，，
所以，即函数在R上的单调递增函数；
（3）解：由，
即函数在R上的值域为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用指数的运算可得，再利用奇数函数的定义即可证明；
（2）任取，通过计算即可证明；
（3）以为基础分析可得即可求解.
（1）函数在上是奇函数.
证明：，
即函数在上是奇函数；
（2）函数在R上的单调递增函数.
证明：任取，则，
因为，所以，又，，
所以，即函数在R上的单调递增函数；
（3）由，
即函数在R上的值域为.
19．【答案】（1）解：令，，则，
当，即时，在区间上单调递增，，
解得，成立；
当，即时，在区间上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在区间单调递减，单调递增，
，，无解；
综上可知.
（2）解：依题意可得，，，有，
又，而在上单调递增，所以；
原不等式可以化为在上恒成立，
由，得，
即，
令，，上式可化为，即，
又，则，
令，，因为函数在区间上单调递减，
所以，因此，.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）令，分类讨论，再结合二次函数最小值建立方程分别即可求解；
（2）根据“相伴不减函数”定义把问题转化为在上恒成立，令，分离参数可得，构造函数，再利用函数单调性即可求解.
（1）令，，则，
当，即时，在区间上单调递增，，
解得，成立；
当，即时，在区间上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在区间单调递减，单调递增，
，，无解；
综上可知.
（2）依题意可得，，，有，
又，而在上单调递增，所以；
原不等式可以化为在上恒成立，
由，得，
即，
令，，上式可化为，即，
又，则，
令，，因为函数在区间上单调递减，
所以，因此，.
1 / 1

展开更多......

收起↑