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1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
一、 单项选择题
1 经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
2 (2025兴化中学月考)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围是(　　)
A. (5，8) B. (8，＋∞)
C. D.
3 已知点A(1，－1)，B(4，a)，直线AB的斜率为2，则实数a的值为(　　)
A. －7 B. 7
C. －5 D. 5
4 (2024通州高级中学期中)如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，那么直线l的斜率是(　　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
5 (2024海门实验中学月考)设P为x轴上的一点，点A(－2，1)，B(7，5)，若直线PA的斜率是直线PB斜率的2倍，则点P的坐标为(　　)
A. (－1，0) B. (－3，0)
C. (2，0) D. (4，0)
6 若A(－2，3)，B(3，2)，C三点不能构成三角形，则实数m的值为(　　)
A. 2 B. －2 C. D. －
二、 多项选择题
7 (2025杭州七中期中) 已知直线l过点P(1，3)，且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，点A(－1，－4)，B(2，－3)，则实数k的值可以取(　　)
A. －8 B. －5 C. 3 D. 4
8 (2024南通天星湖中学月考)若直线l的斜率k＝－2，且过点(3，2)，则直线l经过点(　　)
A. (0，4) B. (4，0)
C. (6，－4) D. (－2，1)
三、 填空题
9 (2024蒙城六中期中)已知过点A(a，0)，B(1，2)的直线的斜率大于2，则满足条件的a的一个值可以为________．
10 (2024安庆一中月考)已知直线l1过点A(－1，1)，B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)，D(0，a)，若两条直线的斜率相等，则实数a的值为________．
11 (2024海门中学月考)若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(其中a·b≠0)共线，则＋＝________．
四、 解答题
12 根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线．
(1) P(1，2)，k＝3；
(2) P(2，4)，k＝－；
(3) P(－1，3)，k＝0；
(4) P(－2，0)，斜率不存在．
13 (2024连城一中月考)已知点A(1，0)，B(0，2)，点P(a，b)在线段AB上．
(1) 求直线AB的斜率；
(2) 求ab的最大值．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
一、 单项选择题
1 (2024天一中学月考)过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　　)
A. 150° B. 120°
C. 60° D. 30°
2 (2024潍坊部分学校月考)若直线l经过A(2，m)，B(－m，2m－1)两点，且直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为(　　)
A. B. 2
C. 1 D. －
3 (2024启东一中月考)已知直线l的倾斜角为α，则与直线l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　　)
A. α B. 90°－α
C. 180°－α D. 90°＋α
4 (2024南通一中月考)已知直线l1的斜率为－，直线l2的倾斜角为直线l1的倾斜角的一半，则直线l2的斜率为(　　)
A. － B. －
C. D. 不存在
5 (2024如东中学月考)已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<<β，则下列结论中正确的是(　　)
A. 0B. k1C. k1<0D. k2<06 (2024四川养马高级中学期中)已知直线l过点(0，－1)，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)
A. B.
C. D. ∪
二、 多项选择题
7 已知在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为(　　)
A. － B. －
C. －2 D. －3
8 (2024南通通州金沙中学月考)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么直线l1的倾斜角可能为(　　)
A. α＋45° B. α－135°
C. 135°－α D. α－45°
三、 填空题
9 (2024海门实验中学月考)若直线l的斜率k∈[1，)，若直线l的倾斜角θ的取值范围为________．
10 (2024启东汇龙中学月考)已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，若直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围为________．
11 已知直线l过点P(1，5)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为____________．
四、 解答题
12 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1) A(0，－1)，B(2，0)；
(2) P(5，－4)，Q(2，3)；
(3) M(3，－4)，N(3，－2).
13 (2024如东一中月考)已知坐标平面内有三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).
(1) 求直线AC的倾斜角；
(2) 若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. C　经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝＝.
2. D　由题意，得>1，即>0，解得53. D　因为点A(1，－1)，B(4，a)，直线AB的斜率为2，所以2＝，解得a＝5.
4. B　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，所以直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.
5. B　设点P(x，0)，则kPA＝，kPB＝. 因为直线PA的斜率是直线PB斜率的2倍，所以＝2×，解得x＝－3，即点P的坐标为(－3，0).
6. C　因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A(－2，3)，B(3，2)，C三点共线，则kAB＝kAC，所以＝，即－＝，解得m＝.
7. AD　因为过点P(1，3)且斜率为k的直线与线段AB有公共点，且kPA＝，kPB＝－6，所以由图可知k∈(－∞，－6]∪，结合选项可知A，D正确．故选AD.
8. BC　对于A，＝－≠－2，故A错误；对于B，＝－2，故B正确；对于C，＝－2，故C正确；对于D，＝≠－2，故D错误．故选BC.
9. (答案不唯一，满足02，且a≠1，解得010. －2　由题意，得直线l1的斜率kAB＝＝2，直线l2的斜率kCD＝＝－a，因为两条直线的斜率相等，所以－a＝2，解得a＝－2.
11. 　由题意，得a≠0且b≠0，显然AB，AC的斜率存在，又A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，所以ab＝3a＋3b，所以＋＝.
12. (1) 作图如下：
(2) 作图如下：
(3) 作图如下：
(4) 作图如下：
13. (1) 由题意，得直线AB的斜率kAB＝＝－2.
(2) 当点P(a，b)在A，B两点之间时，
由点P(a，b)在线段AB上，得kAP＝kAB，
即＝－2，即b＝－2a＋2(0当点P与点A，B重合时，也满足b＝－2a＋2，
所以b＝－2a＋2(0≤a≤1)，
即2a＋b＝2，且0≤a≤1，0≤b≤2，
所以2＝2a＋b≥2，所以ab≤，
当且仅当2a＝b，即a＝，b＝1时，等号成立，
故ab的最大值为.
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. B　由点A(0，4)，B(，1)，可知直线AB的斜率k＝＝－，所以直线AB的倾斜角α满足tan α＝－.又α∈[0°，180°)，所以α＝120°.
2. D　由斜率的定义，得kAB＝tan 45°，即＝1，解得m＝－.
3. C　根据倾斜角的定义，并结合如下的图形知，所求直线的倾斜角为180°－α.
4. C　设直线l1的倾斜角为θ1，直线l2的倾斜角为θ2，则θ2＝.因为tan θ1＝－，θ1∈[0，π)，所以θ1＝，则θ2＝，所以tan θ2＝，即直线l2的斜率为.
5. D　由题意，得k1＝tan α，k2＝tan β，α∈，β∈.易知y＝tan x在区间和上均单调递增，且在区间上，y＝tan x>0，在区间上，y＝tan x<0，所以tan β<06. D　如图，因为kBC＝＝1，kAC＝＝－1，所以直线l的斜率的取值范围是[－1，1]，对应倾斜角的取值范围是∪.
7. AD　设AB的倾斜角为α，BC的倾斜角为β.如图1和图2，则β＝α＋或β＝＋α，tan α＝.当β＝α＋时，tan β＝tan ＝＝－3；当β＝＋α时，tan β＝tan ＝＝－，故选AD.
图1 图2
8. AB　根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°时，直线l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB.
　
9. 　作出y＝tan x的部分图象如图所示，由图可知倾斜角θ的取值范围为.
10. (1，2)　因为直线l的倾斜角为锐角，所以k＝＝>0，解得111. (－∞，－4]∪[5－，＋∞)　如图，当直线l经过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝5－；当直线l经过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝－4，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[5－，＋∞).
12. (1) 因为A(0，－1)，B(2，0)，
所以kAB＝＝＞0，故倾斜角是锐角．
(2) 因为P(5，－4)，Q(2，3)，
所以kPQ＝＝－＜0，故倾斜角是钝角．
(3) 因为M(3，－4)，N(3，－2)，
所以点M，N的横坐标相等，所以直线MN的斜率不存在，倾斜角是直角．
13. (1) 设直线AC的倾斜角为α，α∈[0，π)，
由点A(－1，1)，C(2，＋1)，
得tan α＝kAC＝＝，
解得α＝，可得直线AC的倾斜角为.
(2) 如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上．
又kAC＝，kBC＝＝，
所以kCD的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.

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