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1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
一、 单项选择题
1 (2024南通一中月考)过点(1，2)，且与直线2x＋y－3＝0平行的直线的方程为(　　)
A. 2x－y＝0
B. 2x－y－4＝0
C. 2x＋y－4＝0
D. 2x＋y－5＝0
2 (2024启东一中月考)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为(　　)
A. －1或0 B. 0或1
C. 1 D. 2
3 若直线ax＋2y－6＝0与直线3x＋(a＋5)y＋3＝0平行，则实数a的值为(　　)
A. －6 B. 1
C. －6或1 D. 3
4 若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行”的(　　)
A. 充要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充分且不必要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 已知直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A. 4和3 B. －4和3
C. －4和－3 D. 4和－3
6 (2024华中师大一附中月考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 021，2 022)与点(m，n)重合，则m＋n的值为(　　)
A. 1 B. 2 023
C. 4 043 D. 4 046
二、 多项选择题
7 满足下列条件的直线l1，l2一定互相平行的是(　　)
A. 直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B. 直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点M(3，2)，N(－2，－3)
C. 直线l1平行于y轴，直线l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)
D. 直线l1：y＝1，直线l2：y＝2
8 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，则下列说法中正确的有(　　)
A. 当m＝3时，直线l1与l2重合
B. 若l1∥l2，则m＝0
C. 直线l1过定点(－6，0)
D. 直线l2一定不与坐标轴平行
三、 填空题
9 (2024灌云一中期中)直线l过点(－1，1)，且与直线x＋2y＝0平行，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积为________．
10 直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角α为________，过点(2，0)且与直线l平行的直线方程是________．
11 (2025海门中学月考)直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则实数a的值为________．
四、 解答题
12 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1) l1经过点A(1，1)，B(－3，－3)，l2经过点C(3，4)，D(8，9)；
(2) l1的倾斜角为30°，l2经过点M(2，2)，N(5，3).
13 (2024青州一中期中)已知平面直角坐标系内有三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1).
(1) 求直线AB的斜率和倾斜角；
(2) 若A，B，C，D四点可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标及CD所在直线的方程；
(3) 若E(x，y)是线段AC上一动点，求的取值范围．
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
一、 单项选择题
1 过点(－1，2)且与直线x－y－1＝0垂直的直线l的方程为(　　)
A. x＋y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y－1＝0 D. x－y＋1＝0
2 已知点A(1，－2)，B(m，2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)
A. －2 B. －7 C. 3 D. 1
3 (2024启东中学月考)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 可能重合 D. 无法确定
4 (2024海门实验中学月考)若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A. 1 B. 3
C. 0或1 D. 1或3
5 (2024宁波中学月考)已知直线l1：y＝－x－1，l2：y＝k2x－2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2024白城一中期中)已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 10 B. －4 C. 0 D. 14
二、 多项选择题
7 (2024唐山一中期末)已知直线l1：(a＋2)x＋3y＋3＝0与l2：x－y－2＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若a＝1，则两直线垂直
B. 若两直线平行，则a＝5
C. 直线l1恒过定点(0，－1)
D. 直线l2在两坐标轴上的截距相等
8 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，则下列命题中正确的有(　　)
A. 直线l2过定点
B. 若l1∥l2，则m＝0
C. 当m≠3时，l1与l2相交
D. 若l1⊥l2，则m＝
三、 填空题
9 (2024如东中学月考)已知△ABC的顶点分别为A(0，1)，B(－2，0)，C(2，0)，则边AC上的高所在的直线方程为________．
10 已知直线l过点(1，－4)，若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，则直线l的方程是______________；若直线l与直线2x＋3y＋5＝0垂直，则直线l的方程是____________．
11 (2024辽宁实验中学月考)已知长方形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则第四个顶点D的坐标是________．
四、 解答题
12 (2024南通中学月考)已知两条直线l1：ax－2y＋4＝0，l2：x＋y＋b＝0.
(1) 若直线l1过点(－3，－1)，证明：直线l1与l2垂直；
(2) 若直线l1，l2关于x轴对称，求实数a，b的值．
13 (2025益阳一中期末)已知两点A(3，－3)和B(－1，5).
(1) 记点A关于x轴的对称点为C，求直线BC的方程；
(2) 求线段AB的垂直平分线的方程．
1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
1. C　设所求直线的方程为2x＋y－m＝0(m≠3)，则2×1＋2－m＝0，解得m＝4，所以过点(1，2)，且与直线2x＋y－3＝0平行的直线的方程为2x＋y－4＝0.
2. B　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD；当m≠0时，kAB＝，kCD＝，由kAB＝kCD，得＝，解得m＝1.综上，m＝0或m＝1.
3. B　因为直线ax＋2y－6＝0与直线3x＋(a＋5)y＋3＝0平行，所以解得a＝1.
4. A　因为直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行的充要条件是＝，且≠，即1＝a2，且－3a－a2≠2，解得a＝1，所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．
5. C　由题意，得＝，则n＝－3.又直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，所以＝≠，解得m＝－4.
6. C　设点A(2，0)，B(－2，4)，则A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1.由题意知，过点(2 021，2 022)与点(m，n)的直线与直线AB平行，所以＝－1，整理，得m＋n＝4 043.
7. ACD　对于A，kAB＝－，kCD＝－，且A，B，C，D四点不共线，则l1∥l2，故A正确；对于B，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，则l1∥l2或l1，l2重合，故B错误；对于C，直线l2即为y轴，l1∥l2，故C正确；对于D，直线l1∥l2，故D正确．故选ACD.
8. AC　当m＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0，直线l2：x＋3y＋6＝0，则两直线重合，故A正确；当l1∥l2时，有m(m－2)＝3且2m≠6(m－2)，解得m＝－1，故B错误；因为－6＋m×0＋6＝0，所以直线l1过定点(－6，0)，故C正确；当m＝2时，直线l2：y＝－与x轴平行，故D错误．故选AC.
9. 　设直线l的方程为x＋2y＋c＝0(c≠0)，将点(－1，1)代入，得－1＋2＋c＝0，解得c＝－1，所以直线l的方程为x＋2y－1＝0.令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝1，故直线l与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝.
10. 　x＋y－2＝0　由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x－，所以k＝tan α＝－.又0≤α<π，则α＝.过点(2，0)且与直线l平行的直线的斜率为－，所以y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
11. 0或－1　因为两直线无公共点，所以两直线平行．当a＝0时，这两条直线的方程分别为x＋6＝0和x＝0，两直线平行，无公共点；当a≠0时，有－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，则这两条直线的方程均为x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，则这两条直线的方程分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.
12. (1) 由题意知k1＝＝1，k2＝＝1.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2) 由题意知k1＝tan 30°＝，k2＝＝.
所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
13. (1) 由题意，得直线AB的斜率为＝1，
所以直线AB的倾斜角为.
(2) 如图，当点D在第一象限时，有kAB＝kCD，kAC＝kBD.
设D(x，y)，则
解得
即点D的坐标为(3，5)，
故CD所在直线的方程为＝，
即x－y＋2＝0.
(3) 由题意，得为直线BE的斜率．
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，
为kBC＝＝－；
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，
为kAB＝1，
故直线BE的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
1. C　因为直线x－y－1＝0的斜率为1，所以所求直线l的斜率为－1.又直线l过点(－1，2)，所以由点斜式方程可知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
2. C　因为点A(1，－2)和B(m，2)的中点 C在直线x＋2y－2＝0上，所以－2＝0，解得 m＝3.
3. B　由方程3x2＋mx－3＝0，得Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立，所以方程有两个不相等的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
4. D　因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
5. A　当k＝2时，直线l2：y＝4x－2，因为×4＝－1，所以l1⊥l2，即充分性成立；当l1⊥l2时，因为直线l1的斜率存在，且不为0，所以×k2＝－1，解得k＝±2，即必要性不成立．综上，“k＝2”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件．
6. B　由题意，得k1＝－，k2＝，所以－×＝－1，解得a＝10.将点(1，c)代入直线l1的方程，得c＝－2，代入直线l2的方程，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
7. AC　当a＝1时，l1：x＋y＋1＝0，k1＝－1，k2＝1，则k1k2＝－1，所以两直线垂直，故A正确；若两直线平行，则(a＋2)×(－1)－3×1＝0，解得a＝－5，经检验，当a＝－5时，两直线平行，故B错误；由l1：(a＋2)x＋3y＋3＝0，得3(y＋1)＝－(a＋2)x，所以直线l1恒过定点(0，－1)，故C正确；由l2：x－y－2＝0，可得直线l2与两坐标轴的截距分别为2，－2，不相等，故D错误．故选AC.
8. AD　对于A，因为－2(m－2)＋3×＋2m＝0恒成立，所以直线l2过定点，故A正确；对于B，当l1∥l2时，有 m(m－2)＝3，且2m≠6(m－2)，解得m＝－1，故B错误；对于C，由B知，当 m＝－1时，l1∥l2，故C错误；对于D，当l1⊥l2时，m－2＋3m＝0，解得m＝，故D正确．故选AD.
9. 2x－y＋4＝0　边AC所在直线的斜率为＝－，所以边AC上的高所在的直线的斜率为2，所以边AC上的高所在的直线方程为y－0＝2[x－(－2)]，即2x－y＋4＝0.
10. 2x＋3y＋10＝0　3x－2y－11＝0　 设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程是2x＋3y＋m＝0，将点(1，－4)代入，得m＝10，故所求的直线方程为 2x＋3y＋10＝0.设与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线l的方程是 3x－2y＋n＝0，将点(1，－4)代入，得n＝－11，故所求的直线方程为 3x－2y－11＝0.
11. (2，3)　设点D的坐标为(x，y).因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC，所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2，3).
12. (1) 因为直线l1：ax－2y＋4＝0过点(－3，－1)，
所以－3a－2×(－1)＋4＝0，解得a＝2，
所以直线l1：x－y＋2＝0，即kl1＝1.
又直线l2：x＋y＋b＝0，即kl2＝－1，
所以kl1·kl2＝－1，所以直线l1与l2垂直．
(2) 直线l1：y＝x＋2，l2：y＝－x－b，
因为直线l1，l2关于x轴对称，
所以解得
13. (1) 由题意，得点A(3，－3)关于x轴的对称点为C(3，3).　
又B(－1，5)，所以直线BC的斜率为k＝＝－，
所以直线BC的方程为y－3＝－(x－3)，
即y＝－x＋.
(2) 因为两点A(3，－3)和B(－1，5)，
所以线段AB的中点为D(1，1)，
直线AB的斜率为k1＝＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为k2＝－＝，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝(x－1)，
即y＝x＋.

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