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2．4　圆的综合应用
一、 单项选择题
1 (2024通州高级中学月考)圆x2＋y2＝4关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y－2)2＝4
B. (x＋2)2＋(y－2)2＝4
C. (x＋2)2＋(y＋2)2＝4
D. (x－2)2＋(y＋2)2＝4
2 (2024海门证大中学月考)直线＋＝1与圆x2＋y2＝625的公共点个数为(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法判断
3 (2024临沂中学期末)已知圆x2＋y2＋2x＋4y－4＝0与圆x2＋y2＋2ax－4y－20＝0交于A，B两点，当弦AB最长时，实数a的值为(　　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
4 若圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4与圆C2关于直线x＋y－3＝0对称，圆C3上任意一点M均满足MA2＋MO 2＝10，其中点A(0，2)，O为坐标原点，则圆C2和圆C3的公切线有(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
5 已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为(　　)
A. 4π B. π
C. π D.
6 (2024南京金陵中学期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，半径为1，点A(3，0).若圆C上存在点M，满足MA＝2MO，则点C的横坐标的取值范围是(　　)
A. (－∞，0] B. [－1－2，0]
C. [0，1＋2] D. [1＋2，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2024海门中学月考)已知圆C：x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0与直线l：3x＋4y－3＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C上有两个点到直线l的距离为2
B. 圆C上只有一个点到直线l的距离为2
C. PQmin＝2
D. 从点Q向圆C引切线，切线长的最小值是2
8 若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足＝k(k>0，k≠1)，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足＝2，点P的轨迹为圆C，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C的方程为(x－5)2＋y2＝16
B. 设动点P(m，n)，则m2＋n2－6m－8n的最大值为20
C. 若点P不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分∠APB
D. ·的最大值为72
三、 填空题
9 (2024海门中学月考)过圆x2＋y2－2y－4＝0与圆x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
10 (2024长沙一中期末)已知O为坐标原点，点P(0，1)，圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，Q为圆C上的一动点，则∠POQ的最小值为________．
11 已知圆M：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则当圆M半径最小时，圆M的方程为____________________________．
四、 解答题
12 (2024佛山顺德期末)已知A(－2，4)，B(5，5)，C(6，－2)是圆P上的三点，点D(－1，5).
(1) 判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由；
(2) 若过点D的直线l被圆P截得的弦长为8，求直线l的方程．
13 (2024启东中学质量检测)已知圆C：x2＋(y＋1)2＝4.
(1) 求过点A(3，－3)且与圆C相切的直线方程；
(2) 求圆心在直线2x－y＝0上，且经过圆C与圆Q：(x－2)2＋(y－1)2＝4的交点的圆的方程．
(3) 已知A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)三点，点P在圆C上运动，求PA2＋PB2＋PC2的最大值和最小值．
2．4　圆的综合应用
1. B　由题意，得圆O的圆心为O(0，0)，半径r＝2，设对称圆的圆心为(a，b)，则解得所以对称圆的圆心为(－2，2).因为圆O的半径与对称圆的半径相等，都等于2，所以对称圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
2. C　因为圆x2＋y2＝625的圆心为O(0，0)，半径为25，直线＋＝1可化为＋－1＝0，则圆心O(0，0)到直线＋＝1的距离d＝＝24＜25，所以直线＋＝1与圆x2＋y2＝625相交，即公共点个数为2.
3. C　由x2＋y2＋2x＋4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝9，则圆心坐标为(－1，－2)，半径r＝3，易得直线AB方程为(a－1)x－4y－8＝0.又弦AB的最大值为6，即为圆x2＋y2＋2x＋4y－4＝0的直径，此时直线AB过点(－1，－2)，则－(a－1)－4×(－2)－8＝0，解得a＝1.
4. C　圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C1(2，－1)，半径为2，设圆心C1(2，－1)关于直线x＋y－3＝0的对称点为C2(m，n)，则解得所以C2(4，1).由圆C1的半径为2，可得圆C2的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝4.设点M(x，y)，因为MA2＋MO2＝10，所以x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，所以圆C3的方程为x2＋(y－1)2＝4，则圆C2和圆C3的圆心距C2C3＝d＝4.因为d＝r2＋r3，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条．
5. C　设线段AB的中点为M(x，y)，A(x0，y0)，则则又因为点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y－3)2＝4，整理，得(x－2)2＋＝1，所以点M的轨迹方程是圆心为点，半径r＝1的圆，所以该圆的面积为S＝πr2＝π.
6. B　设点M(x，y)，则MA＝，MO＝.由MA＝2MO，可得(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理，得(x＋1)2＋y2＝4，所以点M在以点N(－1，0)为圆心，2为半径的圆上．又点M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，则1≤CN≤3.由点C在直线x－y＋2＝0上，可设点C(a，a＋2)，则1≤≤3，解得－1－2≤a≤0，所以点C的横坐标的取值范围是[－1－2，0].
7. BC　对于AB，圆C的方程可化为(x＋3)2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(－3，－2)，半径r＝2，所以点C到直线l的距离d＝＝4，所以圆C上一点到直线l距离的最小值为d－r＝2，所以圆C上只有一个点到直线l的距离为2，故A不正确，B正确；对于C，当PQ⊥l，点C，P，Q共线且点P在线段CQ上时，PQ最小，易知PQmin＝2，故C正确；对于D，设点Q，则切线长为＝＝，当5a＋3＝0，即a＝－时，切线长最小，最小值为＝2，故D不正确．故选BC.
8. ACD　设点P(x，y)，由＝2，得(x－5)2＋y2＝16，故A正确；由题意得m2＋n2－6m－8n＝(m－3)2＋(n－4)2－25，故m2＋n2－6m－8n的最大值为圆C上的点到点(3，4)距离最大值的平方减去25，即为圆心C到点(3，4)的距离加上圆C的半径后，平方再减去25.因为圆C上动点P到点(3，4)的距离最大值为4＋2，所以(m－3)2＋(n－4)2－25的最大值为16＋11，故B不正确；因为Q为圆C与线段AB的交点，所以Q(1，0).因为＝＝2，所以PQ平分∠APB，故C正确；因为·＝||·||·cos ∠APB，＝2，所以·＝2||·||·cos ∠APB.当A，P，B，C四点共线时，cos ∠APB＝1，且PB有最大值6，所以·的最大值为·＝2||·||＝72，故D正确．故选ACD.
9. x2＋y2－3x＋y－1＝0　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
10. 　由题意，得圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝1，则圆心为C(2，0)，半径为r＝1.如图，当OQ与圆C相切，且点Q位于第一象限时∠POQ最小，此时sin ∠COQ＝＝，即∠COQ＝，所以∠POQ＝，故∠POQ的最小值为.
11. (x＋1)2＋(y＋2)2＝5　如图所示(坐标系省略)，圆心N(－1，－1)为弦AB的中点，两圆方程相减，得公共弦的方程为(－2a－2)x＋(－2b－2)y＋a2＋1＝0，且点(－1，－1)在公共弦上，所以a2＋2a＋2b＋5＝0，所以(a＋1)2＝－2(b＋2)≥0，所以b≤－2，所以圆M的半径r＝≥，所以当r＝时，b＝－2，a＝－1，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
12. (1) A，B，C，D四点共圆，理由如下：
设圆P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，
将点D(－1，5)代入到圆的方程，得1＋25＋4－10－20＝0，
所以点D在圆P上，
故A，B，C，D四点共圆．
(2) 当直线l的斜率不存在时，
令x＝－1，得y＝－3或y＝5，
此时弦长MN＝5－(－3)＝8，符合题意，
所以直线l的方程为x＝－1；
当直线l的斜率存在时，设y－5＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋5＝0，
则圆心P到直线l的距离d＝＝，
所以弦长MN＝2，即8＝2，
解得k＝－，所以直线l的方程为7x＋24y－113＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或7x＋24y－113＝0.
13. (1) 当切线的斜率存在时，
设切线的斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－3)，即kx－y－3k－3＝0.
因为圆心C(0，－1)到切线的距离等于半径2，
所以＝2，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＋3＝0或12x＋5y－21＝0；
当切线斜率不存在时，则x＝3，此时直线与圆不相切，不满足题意．
综上，切线方程为y＋3＝0，或12x＋5y－21＝0.
(2) 联立解得或
所以圆C与圆Q的交点为A(0，1)，B(2，－1)，
线段AB的垂直平分线为x－y－1＝0.
设所求圆的圆心为M(a，b)，半径为r.
由解得
所以圆心为M(－1，－2)，r＝MA＝，
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(3) 设点P(x，y)，则PA2＋PB2＋PC2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3x2＋3y2－4y＋68.
因为点P在圆x2＋(y＋1)2＝4上运动，
所以－3≤y≤1，
所以3x2＋3y2－4y＋68＝－10y＋77，
故当y＝－3时，PA2＋PB2＋PC2取得最大值107；
当y＝1时，PA2＋PB2＋PC2取得最小值67.

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