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3.1.1　椭圆的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024海门中学月考)方程＋＝1表示椭圆的充要条件是(　　)
A. －4B. m>－1
C. －4D. －42 若椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
3 若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1，)，N，则椭圆C的标准方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. x2＋＝1
4 (2024江安中学月考)椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标为(　　)
A. (－1，0)和(1，0) B. (0，－1)和(0，1)
C. (－，0)和(，0) D. (0，－)和(0，)
5 (2024启东中学月考)已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则PF的长为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2
6 (2024启东中学月考)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足PF1＋PF2＝m＋(m>0)，则点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 线段
C. 射线 D. 椭圆或线段
二、 多项选择题
7 (2024白蒲高级中学月考)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点和一个顶点在直线y＝2x－4上，则该椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
8 已知曲线C：＋＝1(λ>0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当λ＝3时，曲线C是圆
B. 当λ＝2时，曲线C是椭圆，且一焦点的坐标为(2，0)
C. 当λ＝4时，曲线C是椭圆，且焦距为2
D. 当0<λ<3时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆
三、 填空题
9 若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的焦距为2，则实数m的值为________．
10 (2024常州一中期中)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，若直线l过焦点F1，且与椭圆交于A，B，则△ABF2的周长为________．
11 已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2，0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是______________．
四、 解答题
12 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，设椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
13 已知椭圆C的焦点坐标为F1(－1，0)和F2(1，0)，且椭圆经过点G.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) P为椭圆C上的动点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024慈溪中学期中)已知P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若PF1＝3，则PF2等于(　　)
A. 1 B. 5
C. 7 D. 13
2 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于(　　)
A. 3∶5 B. 3∶4
C. 5∶3 D. 4∶3
3 已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2，则cos ∠F1MF2的值为(　　)
A. B.
C. D.
4 已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是(　　)
A. B. ＋1
C. D. ＋1
5 已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，Q为线段PF2的中点．若△QOF2的周长为6，则椭圆C的焦距为(　　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 12
6 (2024海安实验中学月考)已知点M在椭圆＋＝1上，点A，B(1，0)，则MA＋MB的最大值为(　　)
A. B. 4 C. D. 5
二、 多项选择题
7 (2024启东一中月考)已知椭圆C：＋＝1(0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一个动点，则下列说法中正确的是(　　)
A. △F1PF2的周长为6
B. 若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
C. 椭圆C上存在两个点，使得∠F1PF2＝90°
D. ＋的最小值为
三、 填空题
9 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则线段AF2的长为________．
10 (2024武汉一中月考)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的点P满足PF1∶PF2＝2∶3，则△PF1F2的面积为________．
11 (2025通州中学月考)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，记椭圆C与y轴正半轴的交点为A，点P在椭圆C上，则△PAF周长的最大值为________．
四、 解答题
12 已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1(－1，0)，△PF1F2的周长为8.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若S△PF1F2＝2，求点P的坐标．
13 已知椭圆C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且该椭圆过点P(2，－).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若椭圆C上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值．
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
1. D　若＋＝1表示椭圆，则解得－42. C　由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为 ＋＝1.
3. A　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M，N，得＋＝1，＋＝1，解得a2＝3，b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
4. C　由题意，得椭圆的方程可化为x2＋＝1，所以其焦点在x轴上，且c2＝1－＝，解得c＝，所以其焦点坐标为和.
5. A　由题意，得点F(2，0)，左焦点F1(－2，0)，且a＝3，圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2，0)，半径为4，则圆的圆心是椭圆的左焦点F1.又P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16一个交点，所以PF1＝4，且PF1＋PF＝2a＝6，所以PF＝6－PF1＝6－4＝2.
6. D　因为m>0，所以m＋≥2＝4，当且仅当m＝2时，等号成立．当m＝2时，PF1＋PF2＝4，又F1F2＝4，所以此时点P的轨迹是线段F1F2；当m>2时，PF1＋PF2>4＝F1F2，易知此时点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．综上所述，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆或线段F1F2.
7. AD　易得直线y＝2x－4的横截距为2，纵截距为－4.当椭圆焦点在x轴上时，c＝2，b＝4，则a2＝b2＋c2＝20，此时椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴上时，b＝2，c＝4，则a2＝b2＋c2＝20，此时椭圆的标准方程为＋＝1.故选AD.
8. AC　对于A，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6是圆，故A正确；对于B，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1是焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，故C正确；对于D，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．故选AC.
9. 5　因为椭圆的焦距为2，所以c＝.因为椭圆的焦点在x轴上，所以10－m>m－2>0，解得210. 8　由题意，得AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长l＝AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4＋4＝8.
11. ＋＝1　由题意，得F1(－2，0).因为A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，所以PF2＝PA，所以PF2＋PF1＝PA＋PF1＝AF1＝6>F1F2＝4.根据椭圆的定义，得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1.
12. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0).
13. (1) 由题意，得c＝1，
故可设椭圆C的方程为＋＝1，其中a2>1.
将点代入椭圆方程，
整理，得(a2－4)(4a2－1)＝0，
解得a2＝(舍去)或a2＝4，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设PF1＝2＋x，PF2＝2－x.
由余弦定理，得4＝(2＋x)2＋(2－x)2－2(2＋x)·(2－x)cos 60°，解得x＝0，
所以PF1＝PF2＝2，即点P(0，)或(0，－)，
故S△PF1F2＝·F1F2·PO＝.
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
1. B　因为椭圆方程为＋＝1，所以a2＝16，即a＝4.又PF1＝3，所以PF1＋PF2＝3＋PF2＝8，解得PF2＝5.
2. C　因为线段PF1的中点在y轴上，原点为F1F2的中点，所以y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则PF－PF＝4c2＝4×(16－12)＝16.又PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以PF1∶PF2＝5∶3.
3. A　由椭圆的方程，得F1(－，0)，F2(，0).因为MF1⊥F1F2，所以设点M(－，y0).又点M(－，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，解得|y0|＝，即MF1＝，MF2＝6－MF1＝，所以cos ∠F1MF2＝＝.
4. C　由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
5. B　因为Q是PF2的中点，O是F1F2的中点，所以OQ＝PF1，所以△OQF2的周长是△PF1F2周长的一半．又△QOF2的周长为6，所以△PF1F2的周长是12，即PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝12，所以a＋c＝6.又a＝4，所以c＝2，2c＝4.故椭圆C的焦距为4.
6. C　如图，作椭圆的左焦点B1(－1，0)，则MA＋MB＝MA＋4－MB1≤4＋AB1，当且仅当点M为线段AB1的延长线与椭圆的交点时，等号成立．由两点间的距离公式得AB1＝＝，所以MA＋MB＝MA＋4－MB1≤4＋AB1＝.
7. BD　如图，设AF1的中点为N，连接ON.因为OF1＝OA，所以ON⊥AF1.记AF1＝m，AF2＝n.因为O为F1F2的中点，所以ON为△F1AF2的中位线，所以ON＝AF2＝n. 又因为AF1＋AF2＝2a＝6，则有解得或所以AF1＝2或AF1＝4.故选BD.
8. ABD　由椭圆C：＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则c2＝1，所以a＝2，c＝1.因为P是椭圆上的一个动点，所以PF1＋PF2＝2a＝4.对于A，△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6，故A正确；对于B，在△F1PF2中，由余弦定理可得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，即F1F＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，即4＝16－3PF1·PF2，所以PF1·PF2＝4，所以△F1PF2的面积为PF1·PF2sin ∠F1PF2＝，故B正确；对于C，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时PF1＝PF2＝2＝F1F2，即△F1PF2为等边三角形，所以∠F1PF2的最大值为60°，所以椭圆C上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故C错误；对于D，因为PF1＋PF2＝2a＝4，所以＋＝(＋)·(PF1＋PF2)＝≥(＋2)＝，当且仅当＝，即PF2＝2PF1＝时，等号成立，经检验，符合题意，所以＋的最小值为，故D正确．故选ABD.
9. 　由＋＝1，得a2＝9，b2＝7，c2＝2，所以F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，所以解得AF2＝.
10. 12　由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a＝10，则＝，解得PF1＝4，所以PF2＝6. 又F1F2＝2c＝2×＝2，所以PF＋PF＝F1F，所以∠F1PF2＝90°，所以S△PF1F2＝×4×6＝12.
11. 8　设椭圆的左焦点为F1，则PF＝2a－PF1.由题意，得A(0，2)，F(2，0)，所以AF＝2＝a，所以△PAF的周长为PA＋AF＋PF＝PA＋AF＋2a－PF1＝3a＋PA－PF1.又PA－PF1≤AF1＝a，所以PA＋AF＋PF≤4a＝8，当且仅当P，A，F1三点共线时取等号，所以△PAF周长的最大值为8.
12. (1) 由椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，得c＝1，即2c＝2.
由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a.
又△PF1F2的周长为8，
所以2a＋2c＝2a＋2＝8，解得a＝3，
所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，
由F1(－1，0)，F2(1，0)，得F1F2＝2.
因为S△PF1F2＝2，
所以F1F2·|y0|＝×2×|y0|＝2，
解得|y0|＝2，即y0＝±2.
将y0＝±2代入椭圆＋＝1，
得＝，即x＝，解得x0＝±，
所以点P的坐标为或或或.
13. (1) 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则2a＝PF1＋PF2＝＋＝3＋＝4，
所以a＝2，c＝2，
所以b2＝a2－c2＝(2)2－22＝8－4＝4.
又椭圆C的焦点在x轴上，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由M(x0，y0)在椭圆C上，得＋＝1，
则x＝8.
因为MF1⊥MF2，所以·＝0，
即(x0＋2，y0)·(x0－2，y0)＝0，
所以(x0－2)(x0＋2)＋y＝0，
即x－4＋y＝0，
所以8－4＋y＝0，
整理可得y＝4，解得y0＝±2.

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