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3.2.1　双曲线的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024常州一中期中)若方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－∞，0) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (－∞，0)∪(0，1)
2 方程－＝6化简的结果是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1，x≥3 D. －＝1，x≤－3
3 (2024淮安涟水一中月考)已知双曲线C：－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若PF1＝5，则PF2的长为(　　)
A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9
4 (2024茂名一中期末)已知双曲线经过点(－1，0)，焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的方程为(　　)
A. －y2＝1 B. x2－＝1
C. －y2＝1 D. x2－＝1
5 (2024启东中学月考)已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件PM－PN＝4，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. －＝1(x≥2) B. －＝1(x≤－2)
C. －＝1(x≥4) D. －＝1(x≤－4)
6 (2024通州中学月考)已知动圆P与圆M：(x＋3)2＋y2＝1，圆N：(x－3)2＋y2＝9均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则曲线C的方程为　(　　)
A. x2－＝1
B. x2－＝1(x≤－1)
C. x2－＝1(x≥1)
D. y2－＝1
二、 多项选择题
7 已知在平面直角坐标系中，AB＝6，P为平面内一动点，且PA－PB＝2a(a∈R)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当a＝0时，点P的轨迹为一条直线
B. 当a＝3时，点P的轨迹为一条射线
C. 当a＝－3时，点P的轨迹不存在
D. 当a＝2时，点P的轨迹是双曲线
8 (2024启东中学月考)设曲线C：x2＋y2cos α＝sin α，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若α＝，则曲线C是两条与y轴平行的直线
B. 若α＝π，则曲线C是两条互相垂直的直线
C. 若α∈，则曲线C是椭圆，其焦点在x轴上
D. 若α∈，则曲线C是双曲线，其焦点在y轴上
三、 填空题
9 (2024南通一中月考)若方程－＝1表示双曲线，则实数t的取值范围是________．
10 (2024海门中学月考)已知双曲线－＝1的一个焦点到原点的距离为3，则实数m的值为________．
11 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，矩形ABCD的四个顶点在双曲线E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2AB＝3BC＝6，则双曲线E的标准方程是________．
四、 解答题
12 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2) 以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)；
(3) a＝b，且经过点(3，－1).
13 (1) 已知－＝－1，当k为何值时，
①方程表示双曲线；
②方程表示焦点在x轴上的双曲线；
③方程表示焦点在y轴上的双曲线；
(2) 已知双曲线的方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求实数k的值．
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024菏泽一中期末)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线的标准方程是(　　)
A. －y2＝1 B. －y2＝1
C. －y2＝1 D. x2－＝1
2 (2024如东一中月考)已知双曲线－＝1上的一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A. 3或7 B. 6或14 C. 3 D. 7
3 若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s>0，t>0)有相同的焦点F1和F2，且P是这两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是(　　)
A. m－s B. (m－s)
C. m2－s2 D. －
4 已知点A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则△PAF1周长的最小值为(　　)
A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
5 已知双曲线－＝1，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，P是双曲线右支上一点，且cos ∠F1PF2＝－，则线段PO的长为(　　)
A. B.
C. 2 D.
6 (2025启东联考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，B为双曲线C的左顶点，动点A在双曲线C上．当AF2⊥BF2时，AF2＝BF2，且AF1－AF2＝2，则双曲线C的标准方程为(　　)
A. －y2＝1 B. x2－＝1
C. －y2＝1 D. x2－＝1
二、 多项选择题
7 在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　)
A. 两个椭圆
B. 两个双曲线
C. 一个双曲线和一条直线
D. 一个椭圆和一个双曲线
8 (2024海门中学月考)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法中正确的有(　　)
A. 点P到x轴的距离为
B. PF1＋PF2＝
C. △PF1F2为钝角三角形
D. ∠F1PF2＝
三、 填空题
9 (2024海门包场高级中学月考)若双曲线与椭圆2x2＋5y2＝10的焦点相同，且过点(2，1)，则该双曲线的标准方程为________．
10 (2024淮安中学期中)已知双曲线C：－＝1，双曲线C上的一点P到一个焦点的距离为17，则点P到另一个焦点的距离为________．
11 椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，点P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
四、 解答题
12 (2024天一中学月考)一块面积为12公顷的三角形形状的农场为如图所示的△PEF，已知tan ∠PEF＝，tan ∠PFE＝－2，试建立适当的平面直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程．
13 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1) 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2) 如图，若P是双曲线左支上的一点，且PF1·PF2＝32，求△F1PF2的面积．
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. A　由题意，得解得m<0，所以实数m的取值范围为(－∞，0).
2. C　方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(－4，0)，(4，0)的距离之差为6，由6<8，可知动点的轨迹是以(4，0)，(－4，0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以方程为－＝1，x≥3.
3. A　由题意，得|PF1－PF2|＝2a＝4.又PF1＝5，所以PF2＝1或PF2＝9.又c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，所以PF2≥c＋a＝6或PF2≥c－a＝2，所以PF2＝9.
4. D　由题意，得a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1.
5. A　由题意，得MN＝4，则PM－PN＝4<4＝MN，结合双曲线定义可知，动点P的轨迹为以M(－2，0)，N(2，0)为焦点的双曲线右支. 在双曲线中，2a＝4，2c＝4，即a＝2，c＝2，所以b2＝c2－a2＝20－4＝16，所以动点P的轨迹方程为－＝1(x≥2).
6. B　由题意，得圆M的圆心为M(－3，0)，半径r1＝1，圆N的圆心为N(3，0)，半径r2＝3.设圆P的半径为r，则MP＝r＋1，NP＝r＋3，两式相减，得NP－MP＝27. AB　对于A，当a＝0时，PA＝PB，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝3时，PA－PB＝6＝AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，故B正确；对于C，当a＝－3时，PA－PB＝－6＝－AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A, 故C错误；对于D，当a＝2时，PA－PB＝4PB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，故D错误．故选AB.
8. ABD　对于A，若α＝，则曲线C：x2＝1，表示x＝±1这两条直线，它们均与y轴平行，故A正确；对于B，若α＝π，则曲线C：x2－y2＝0，表示y＝±x这两条直线，它们互相垂直，故B正确；对于C，若α∈，则cos α>0，tan α>sin α>0，所以曲线C：＋＝1表示椭圆，且焦点在y轴上，故C错误；对于D，若α∈，则cos α<0，sin α<0，tan α>0，所以曲线C：－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确．故选ABD.
9. (0，1)　由题意，得(1－t)t>0，解得010. 7或－2　当焦点在x轴上时，m>5，则a2＝m，b2＝m－5，所以c2＝a2＋b2＝m＋m－5＝9，解得m＝7；当焦点在y轴上时，m<0，则a2＝5－m，b2＝－m，所以c2＝a2＋b2＝5－m＋(－m)＝9，解得m＝－2. 综上，实数m的值为7或－2.
11. －＝1　由题意，得AB＝3，BC＝2.如图，设线段AB，CD的中点分别为M，N.在Rt△BMN中，MN＝2c＝2，故BN＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝BN－BM＝－＝1，则a2＝.又2c＝2，所以c＝1，所以b2＝c2－a2＝，故双曲线E的标准方程是－＝1.
12. (1) 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4.
又焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则b2＝8－a2，－＝1，解得a2＝3，b2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x2－y2＝a2，
将点(3，－1)代入，得32－(－1)2＝a2，所以a2＝b2＝8，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2－x2＝a2，
将点(3，－1)代入，得(－1)2－32＝a2，a2＝－8，不成立，
所以焦点不可能在y轴上．
综上，所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) ①若方程表示双曲线，
则或
解得k<－3或1②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则
解得1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
解得k<－3.
(2) 若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，
所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
所以－k＋＝32，解得k＝－6.
综上，实数k的值为6或－6.
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. C　由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且c＝. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
2. A　设F2是双曲线的右焦点，连接ON，则ON是△PF1F2的中位线，所以ON＝PF2.因为|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，所以PF2＝14或PF2＝6，经检验均满足题意，所以ON＝7或ON＝3.
3. A　不妨设P是两曲线在第一象限内的交点，则有解得则PF1·PF2＝(＋)(－)＝m－s.
4. C　由双曲线－＝1，可得a2＝4，b2＝5，则c＝＝3，所以点F1(－3，0)，F2(3，0).如图，由双曲线的定义，得PA＋PF1＝PA＋2a＋PF2≥AF2＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立，所以△PAF1周长最小值为9＋AF1＝9＋5＝14.
5. A　设点P的坐标为(xp，yp)，xp>0.由题意可知a2＝9，b2＝4，c2＝a2＋b2，则a＝3，b＝2，c＝，所以PF1－PF2＝2a＝6.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝，即－＝，解得PF1·PF2＝5.因为cos ∠F1PF2＝－，所以sin ∠F1PF2＝.又S△F1PF2＝PF1·PF2sin ∠F1PF2＝F1F2·|yp|，即×5×＝×2×|yp|，解得|yp|＝.因为点P在双曲线－＝1上，所以x＝9(1＋)，则PO＝＝＝＝＝.
6. D　由题意，得AF1－AF2＝2a＝2，所以a＝1，所以AF2＝BF2＝OB＋OF2＝a＋c＝1＋c.又因为AF1－AF2＝2，所以AF1＝AF2＋2＝3＋c，F1F2＝2c.又AF2⊥BF2，所以∠AF2F1＝90°.在Rt△AF1F2中，由AF＝AF＋F1F，得4c2＋(1＋c)2＝(3＋c)2，整理，得c2－c－2＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝2. 又a2＋b2＝c2，所以b2＝3，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
7. BC　由题意知，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以C1C2＝4.设动圆P的半径为r.当r1＋r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若均内切，则PC1＝r－r1，PC2＝r－r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上；②若均外切，则PC1＝r＋r1，PC2＝r＋r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同；③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则PC1＝r－r1，PC2＝r＋r2，PC2－PC1＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，PC1－PC2＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC.
8. BC　因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝·2c|yP|＝×10|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入－＝1，得－＝1，可得|xP|＝.由对称性，不妨取点P的坐标为，所以PF2＝＝.由双曲线的定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，故B正确；由对称性，不妨取点P的坐标为，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝，且cos ∠PF2F1＝＝－<0，所以∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；在△PF1F2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝≠，则∠F1PF2≠，故D错误．故选BC.
9. －y2＝1　由题意，得椭圆的方程可化为＋＝1，其焦点为(－，0)和(，0)，所以双曲线焦点为(－，0)和(，0)，即c＝. 设双曲线方程为－＝1，所以－＝1，解得a2＝2或a2＝6(舍去)，故双曲线的方程为－y2＝1.
10. 33　由双曲线方程可知a＝8，b＝6，c＝＝10，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，则F1F2＝20，根据对称性不妨设PF2＝17，由双曲线定义可得|PF1－PF2|＝|PF1－17|＝16，解得PF1＝33或PF1＝1. 若PF1＝33，则33＋17>20，33＋20>17，20＋17>33，符合题意；若PF1＝1，则1＋17<20，不符合题意．综上所述，点P到另一个焦点的距离为33.
11. 24　24　由题意知，椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5).由椭圆与双曲线的定义可得所以或又F1F2＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以所求周长为PF1＋PF2＋F1F2＝14＋10＝24，所求面积为S△F1PF2＝PF1·PF2＝24.
12. 如图，以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为－＝1，
点E(－c，0)，F(c，0).
由tan ∠PFE＝－2，得tan ∠PFx＝2，
所以直线PE的方程为y＝(x＋c)，直线PF的方程为y＝2(x－c).
联立解得
即点P的坐标为.
又EF＝2c，所以S△EFP＝c2＝12，
所以c＝3，则点P(5，4)，E(－3，0)，F(3，0)，
所以PE＝＝4，PF＝＝2.
由PE－PF＝2＝2a，得a＝.
又b2＝c2－a2＝4，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
13. 由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由双曲线的定义，得|MF1－MF2|＝2a＝6.
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
经检验，符合条件，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2) 由题意，得PF2－PF1＝6，两边平方，
得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
则PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝＝＝0.
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，
所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.

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