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3．2.2　双曲线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024邢台期末)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±3x D. y＝±x
2 若双曲线－＝1的离心率为，且过点A(4，4)，则双曲线的标准方程为(　　)
A. x2－＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
3 (2024新海高级中学期中)与双曲线－＝1有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋＝1
4 (2025海门证大中学月考)若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>b>0)有公共点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A. (1，) B. (1，]
C. [，＋∞) D. (，＋∞)
5 (2024天星湖中学月考)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋ay＝0，则双曲线C的焦距为(　　)
A. 2 B. 4
C. D. 2
6 已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024启东中学月考)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列说法中正确的是 (　　)
A. 双曲线C的方程为－＝1
B. 双曲线C的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为3
D. PF的最小值为2
8 已知双曲线C：mx2－y2＝2(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若圆(x－4)2＋y2＝8与双曲线C的渐近线相切，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的离心率e＝
B. 若双曲线C上一点P满足PF1⊥x轴，则PF1＝
C. 若双曲线C上一点P满足PF1＝2PF2，则△PF1F2的周长为4＋6
D. 存在双曲线C上一点P，使得点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
三、 填空题
9 (2024盐城中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
10 (2024新华中学期中)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，其顶点为焦点的双曲线的方程为________．
11 如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，·＝0，∥(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
四、 解答题
12 (2024常熟中学月考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2).
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
13 (2024镇江中学期末)已知双曲线C：－＝1的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1) 双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2) △AOB的面积．
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024江安中学月考)中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
2 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为(　　)
A. B. C. 4 D.
3 (2024淮阴中学、姜堰中学联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，倾斜角为30°的直线l过双曲线的左焦点F1与双曲线的右支交于点P，且PF2⊥PF1，则双曲线的离心率为(　　)
A. －1 B. ＋1
C. D. 2
4 (2024通州中学月考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　)
A. 2 B.
C. 2 D. 4
5 设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点．若∠F1PF2＝90°，c＝2，S△PF2F1＝3，则双曲线的两条渐近线的夹角为　(　　)
A. B. C. D.
6 (2024皖西中学月考)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋的值为(　　)
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
二、 多项选择题
7 (2024牡丹江第三高级中学期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. 椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆
B. 椭圆的离心率越大，椭圆越扁平
C. 双曲线的离心率越大，开口越宽阔
D. 双曲线的离心率越大，开口越狭窄
8 (2024海门中学月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.当PF2＋PQ的最小值为3时，F1Q的中点在双曲线C上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的标准方程为－＝1
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D. 双曲线C的标准方程为x2－y2＝1
三、 填空题
9 过双曲线x2－＝1的右焦点作渐近线的垂线，垂足为H，则OH＝________．
10 (2024泰州中学期中)设m，n为实数，已知经过点P(，)的椭圆＋＝1与双曲线＋＝1有相同的焦距，则n的值为________．
11 若P是双曲线C：－＝1右支上的一点，A是圆E：x2＋(y－5)2＝1上的一点，B是圆F：(x＋5)2＋y2＝1上的一点，则PA＋PB的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024白蒲高级中学月考)已知双曲线C：－y2＝1，P是双曲线C上的任意一点．
(1) 设点A的坐标为(4，0)，求PA的最小值；
(2) 若F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
13 (2024深圳期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点P(，1).
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 直线l1：y＝kx－1与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值；
(3) 直线l2：y＝x＋m与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为，求实数m的值．
3．2.2　双曲线的几何性质(1)
1. B　由双曲线－＝1，得a＝，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
2. D　由双曲线的离心率为，得＝5，则＝5，所以b2＝4a2，所以双曲线的标准方程为－＝1.将点A(4，4)代入－＝1，得－＝1，所以a2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.
3. C　由题意，得双曲线－＝1的焦点坐标为(3，0)，(－3，0)，所以椭圆的焦距为2c＝6.设椭圆方程为＋＝1，则2b＝2，解得b＝1，所以a2＝c2＋b2＝10，故所求的椭圆方程为＋y2＝1.
4. D　由题意，得>2，所以b2>4a2，则c2－a2>4a2，即>5，所以e＝>.
5. D　由题意，得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得a＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，则c＝＝，所以焦距为2c＝2.
6. D　不妨设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则双曲线的实半轴长为a.由双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，可得椭圆的长半轴长为3a，半焦距为c.设椭圆C1与双曲线C2的公共焦点为F1，F2，且F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P，第三象限的交点为Q，PF1＝m，PF2＝n，则解得又两曲线的交点与两焦点共圆，则点P在以F1F2为直径的圆上，所以m2＋n2＝4c2，即20a2＝4c2，所以c＝a，所以双曲线C2的离心率为e＝＝.
7. AD　由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线的方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以＝.因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故A正确；离心率为e＝，故B错误；焦点到渐近线的距离d＝b＝4，故C错误；PF的最小值为c－a＝2，故D正确．故选AD.
8. BC　对于A，由mx2－y2＝2，得双曲线的渐近线方程为y＝±x.圆(x－4)2＋y2＝8的圆心为(4，0)，半径为r＝2.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以点(4，0)到直线x－y＝0的距离为＝2，解得m＝1，所以双曲线的方程为－＝1，所以a＝b＝，c2＝4，c＝2，所以离心率e＝＝，故A错误；对于B，由A知，F1(－2，0)，所以直线PF1的方程为x＝－2.代入双曲线方程，得y2＝2，y＝±，所以PF1＝，故B正确；对于C，由题意，得PF1＝2PF2>PF2.根据双曲线的定义可知，PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，所以PF1＝4.又F1F2＝2c＝4，所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋6，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则点P(x0，y0)到直线x－y＝0的距离d1＝，到直线x＋y＝0的距离d2＝，所以d1d2＝.又点P(x0，y0)在双曲线x2－y2＝2上，则有x－y＝2，可得d1d2＝1，故D错误．故选BC.
9. －＝1　由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.又e＝＝，所以a＝4，所以b＝＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
10. x2－＝1　由题意，得椭圆＋＝1的焦点为(－1，0)，(1，0)，在x轴上的顶点为(－2，0)，(2，0)，所以双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)，顶点为(－1，0)，(1，0).故所求双曲线的方程为x2－＝1.
11. 　设点F(c，0)，c＝.由题意可知，直线OB的方程为 y＝－x，直线OA的方程为y＝x.因为AF⊥x轴，所以A.又∥，所以直线BF的方程为y＝(x－c).联立 解得B，所以kAB＝＝.因为·＝0，所以AB⊥OB，所以·＝－1，即3b2＝a2，所以3(c2－a2)＝a2，解得e＝＝.
12. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以c＝，
所以b＝.
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0).
将点P(－2，4)代入上述方程，得λ＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得解得a＝，c＝3，b＝，
所以双曲线C的标准方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2) 由(1)可得F2(3，0)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3).
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2－18x＋33＝0，
则Δ＝182－4×33＝192>0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以|y1－y2|＝|[(x1－3)－(x2－3)]|＝|(x1－x2)|，
所以S△AOB＝OF2×|y1－y2|＝×3××＝36，
所以△AOB的面积为36.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
1. A　对于直线3x－4y＋12＝0，令y＝0，得x＝－4.又因为双曲线的焦点在x轴上，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4，所以a2＝b2＝c2＝8，故等轴双曲线的方程为x2－y2＝8.
2. B　设点P(x，y).由双曲线－＝1可知点F1(－5，0)，F2(5，0).因为PF1⊥PF2，所以·＝－1，所以x2＋y2＝25，代入双曲线方程－＝1，得－＝1，所以y2＝，所以|y|＝，所以点P到x轴的距离是.
3. B　由题意，得∠PF1 F2＝30°，在Rt△PF1 F2中，∠F1 PF2＝90°，F1F2＝2c，所以PF2＝c，PF1＝c，则PF1>PF2.由双曲线定义，得PF1－PF2＝2a，即c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
4. B　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a＝1，所以a＝b＝，所以双曲线C的方程为－＝1，焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝.
5. D　由双曲线焦点三角形的面积公式，得S△PF2F1＝＝3，解得b2＝3，所以a2＝c2－b2＝1，所以渐近线的斜率k＝±＝±，所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为与，故双曲线的两条渐近线的夹角为.
6. A　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，且F1F2＝2c，设点P在第一象限，PF1＝m，PF2＝n，由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝m＋n＝2a1，由双曲线的定义可知，PF1－PF2＝m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2.在△PF1F2中，由余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos ，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)·，化简，得4c2＝3a＋a，即＝4，所以＋＝4，即＋＝4.
7. BC　对于A，B，椭圆的离心率e＝＝，所以当离心率越大时，越小，则椭圆越扁平，故A不正确，B正确；对于C，D，双曲线的离心率e＝＝，所以当离心率越大，越大，则双曲线开口越大，故C正确，D错误．故选BC.
8. BCD　因为PF2－PF1＝2a，所以PF2＋PQ＝PF1＋PQ＋2a≥F1Q＋2a.因为焦点到渐近线的距离为b，所以F1Q的最小值为b，所以b＋2a＝3. 不妨设直线OQ的方程为y＝x，因为F1Q⊥OQ，所以点F1(－c，0)，Q，F1Q的中点为.将其代入双曲线C的方程，得－＝1，即－＝1，解得c＝a.又因为b＋2a＝3，a2＋b2＝c2，所以a＝b＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1，离心率为，渐近线方程为y＝±x.故选BCD.
9. 1　如图，不妨设点H在第一象限，由题意可知OH所在直线即双曲线的渐近线，其方程为y＝x，所以∠HOF＝.又c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，c>0，所以OF＝c＝2，所以OH＝OF·cos ∠HOF＝2×＝1.
10. ±2　因为点P在椭圆上，所以＋＝1，解得m＝4，所以椭圆的焦距为2×＝2.因为＋＝1表示双曲线，所以(n＋1)(1－2n)＜0，解得n＞或n<－1.当n<－1时，双曲线的焦距为2＝2，解得n＝－2；当n>时，双曲线的焦距为2＝2，解得n＝2. 综上，n＝±2.
11. 5＋6　由双曲线C：－＝1，得a＝4，b＝3，所以c＝＝5.设右焦点为F2(5，0)，圆E：x2＋(y－5)2＝1，圆心为E(0，5)，半径为r1＝1，圆F：(x＋5)2＋y2＝1，圆心为F(－5，0)，半径为r2＝1，且F(－5，0) 恰为双曲线的左焦点，EF2＝5.因为P是双曲线C右支上的一点，所以PF＝PF2＋2a＝PF2＋8，所以PA＋PB≥PE＋PF－r1－r2＝PE＋PF2＋8－2≥EF2＋6＝5＋6，当且仅当E，P，F2三点共线(点P在点E，F2之间)时取等号．
12. (1) 设点P的坐标为(x0，y0)，
则PA2＝(x0－4)2＋y＝(x0－4)2＋－1＝x－8x0＋15＝＋.
因为|x0|≥，
所以当x0＝时，PA取得最小值.
(2) 由双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2，
由余弦定理，得(2)2＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以PF1·PF2＝4，
所以S△PF1F2＝PF1·PF2sin 60°＝×4×＝.
13. (1) 由题意，得＝1，
则x2－y2＝a2，
代入点P(，1)，得a2＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－y2＝1.
(2) 联立消去y并整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当1－k2＝0，即k＝±1时，
方程只有一个解，满足题意；
当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，解得k＝±，
此时方程只有一个解，满足题意．
综上，实数k的值为－1或1或－或.
(3) 如图，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2＋2mx＋2m2＋2＝0，
则Δ＝16m2－8>0，解得m2>，
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2＋2，
所以AB＝＝·＝2.
又原点O到直线AB的距离d＝，
所以S△AOB＝AB·d＝|m|＝，
解得m＝±1.

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