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3.3.1　抛物线的标准方程
一、 单项选择题
1 (2024清江中学月考)若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 直线 D. 双曲线
2 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A. (1，0) B. C. D. (0，1)
3 (2024余杭高级中学期中)抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
4 (2025启东联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上. 若M到直线x＝－2的距离为4，则MF的长为(　　)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5 (2024高邮期中)如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16 m时，拱顶距离水面4 m，当水面下降1 m后，桥洞内水面宽为(　　)
A. 4 m B. 4 m
C. 8 m D. 8 m
6 (2024常州北郊高级中学期末)已知点A(5，4)，F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上移动，当PA＋PF取最小值时，点P的坐标为(　　)
A. (4，4) B. (1，2)
C. (5，2) D. (2，2)
二、 多项选择题
7 (2024姜堰中学月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＝3
B. y0＝±2
C. OM＝
D. 点F的坐标为(0，1)
8 (2024东台中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，点M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为(　　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
三、 填空题
9 已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹方程为________．
10 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为________．
11 (2024郑州十八中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PFQ＝，且S△PFQ＝4，则p的值为________．
四、 解答题
12 (2024高邮中学月考)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 准线方程为2y＋4＝0；
(2) 过点(3，－4)；
(3) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
13 (2024泰州中学期中)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到抛物线C的焦点F的距离为12，点A到y轴的距离为9.
(1) 求p的值；
(2) 若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于M，N两点，求线段MN的长．
3.3.1　抛物线的标准方程
1. B　由题意，得动点P的轨迹是以(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线．
2. C　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
3. C　由抛物线y2＝4x，得p＝2，所以焦点到其准线的距离为p＝2.
4. D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在抛物线C上，所以点M到准线x＝－2的距离为MF，所以MF＝4.
5. D　以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－4)在抛物线上，所以64＝－2p×(－4)，解得p＝8，所以抛物线的方程为x2＝－16y.当水面下降1 m 后，即当y＝－5时，x2＝－16×(－5)，解得x＝±4，所以当水面下降1 m后，桥洞内水面宽为8 m.
6. A　因为4×5＝20>42＝16，所以点A在抛物线的内部. 设点A(5，4)在准线l上的射影为B，由抛物线的定义可知，PB＝PF，所以当PA＋PF取最小值时，即PB＋PA取最小值．易知当P，A，B三点共线时，PB＋PA最小，令y＝4，得x＝4，所以当PA＋PF取最小值时，点P的坐标为(4，4).
7. ABC　由抛物线C：y2＝4x，得F(1，0).因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以MF＝x0＋1＝4，解得x0＝3.又y＝4x0＝12，所以y0＝±2，即M(3，±2)，所以OM＝＝＝.故选ABC.
8. BD　设点M(x1，y1)，N(x2，y2).由题意，得可得2p(10－p)＝32，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.故选BD.
9. y2＝8x　设点F(2，0)，直线l：x＝－2，则动点M到点F的距离为，动点M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其轨迹方程为y2＝8x.
10. y2＝4x　由题意，得椭圆＋y2＝1的右焦点坐标为(1，0)，则抛物线C的焦点坐标为(1，0)，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
11. 2　由抛物线的定义可知PF＝PQ，所以∠PQF＝∠PFQ＝，所以△PQF为正三角形．由S△PFQ＝4，得PF＝QF＝4.设准线l与x轴交于点A，由抛物线方程可知AF＝p.因为PQ∥AF，所以∠AFQ＝∠PQF＝，所以QF＝2AF＝4，所以2p＝4，故p＝2.
12. (1) 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
则抛物线的焦点坐标为(0，2)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2) 当抛物线的焦点在x轴上时，
设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)，
则(－4)2＝3m，解得m＝，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设所求抛物线的标准方程为x2＝ny(n≠0)，
则32＝－4n，解得n＝－，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上，所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3) 易知直线x＋3y＋15＝0交y轴于点(0，－5)，
则以(0，－5)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝－20y；
易知直线x＋3y＋15＝0交x轴于点(－15，0)，
则以(－15，0)为焦点的抛物线的标准方程为y2＝－60x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
13. (1) 设点A(x0，y0)，则x0＝9，
所以AF＝9＋＝12，解得p＝6.
(2) 由(1)知抛物线C：y2＝12x，则焦点F(3，0)，
所以直线l的方程为y＝x－3.
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2－18x＋9＝0，
则Δ＝182－4×9>0，x1＋x2＝18，
所以MN＝MF＋NF＝x1＋x2＋p＝18＋6＝24.

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