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3．3.2　抛物线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024镇江中学月考)若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是　(　　)
A. (－m，－n) B. (m，－n)
C. (－m，n) D. (－n，－m)
2 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与直线l和抛物线C分别交于A，B两点，若AF＝BF，则AB的长为(　　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
3 (2024无锡一中月考)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为(　　)
A. 2 B. ±2 C. ±2 D. －2
4 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交抛物线C于点A.若点A在准线l上的投影为点B，且AB＝4，则p的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
5 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，在抛物线C上有一点P，PF＝8，则PF的中点M到y轴的距离为(　　)
A. 4 B. 5 C. D. 6
6 (2024海门中学月考)已知过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦为AB，抛物线的准线交x轴于点M，则∠AMB是(　　)
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 锐角或钝角
二、 多项选择题
7 已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面积为16(O为坐标原点)
8 (2024南京二十九中月考)已知O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，焦点为F，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB＝8
B. OA⊥OB
C. ＋＝1
D. 线段AB的中点到x轴的距离为2
三、 填空题
9 (2024太仓中学月考)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，N为抛物线上一点．若点N到x轴的距离为5，且NF＝6，则该抛物线的标准方程为________．
10 (2024马坝高级中学期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝________．
11 (2024商洛中学期末)已知M为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，P(4，2)，则MP＋MF的最小值为________．
四、 解答题
12 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①FM＋FN＝MN；②OM＝ON＝MN＝8；③直线MN的方程为y＝6p.请分析说明M，N两点满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程．
13 (2024镇江一中期末)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点F到抛物线E的准线的距离为2.
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点B(1，2)，△BCD的重心恰好是抛物线E的焦点F.求CD所在直线的方程．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024昆山中学月考)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A. (6，＋∞) B. [6，＋∞)
C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
2 (2024南通中学月考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B. C. D. 1
3 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于点M，N(点M在x轴上方)，则的值为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
4 (2024启东一中月考)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(1，4)在抛物线C上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 以MF为直径的圆与y轴相切，切点为(0，1)
B. 以MF为直径的圆与y轴相切，切点为(0，2)
C. 以MF为直径的圆与抛物线C的准线相切，切点为
D. 以MF为直径的圆与抛物线C的准线相切，切点为
5 (2024上海建平中学月考)已知抛物线x2＝8y，圆C：x2＋(y－m)2＝r2(m>0).若m＝3，则圆心C到抛物线上任意一点距离的最小值是(　　)
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
6 若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝2x＋与抛物线交于A，B两点，且AF－BF＝，则AB的长为(　　)
A. 4 B.
C. 2 D.
二、 多项选择题
7 (2024海门学情检测)若直线x－y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线的准线方程为x＝－2
B. y1y2＝－4
C. 直线OA，OB的斜率之积为－4
D. AB＝8
8 (2024长沙一中期末)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的焦点坐标是(2，0)
B. x1x2＝4
C. 若x1＋x2＝5，则AB＝7
D. 若以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切，则线段AB是该圆的一条直径
三、 填空题
9 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且ABmin＝6，则p的值为________．
10 (2024渭南尚德中学期中)如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80 cm时，灯的深度为50 cm.为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88 cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为________cm.
11 (2024金陵中学期末)已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且抛物线C上一点(m，3)到点F的距离为4，若斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，且AF＋BF＝24，则直线l的方程为________．
四、 解答题
12 (2024盐城八校期末联考)在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＝0交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点Q，且OQ＝4.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 已知A，B为抛物线C上的两动点，且关于x轴对称，点P(1，0)，连接PA交抛物线C于点M，直线BM是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
13 (2024白蒲高级中学月考)在两个条件：①点B(3，2)；②点B(3，4)中任选一个，补充在下面的横线上．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1) 点P到点F与它到________的距离之和的最小值；
(2) 点P到点A(－1，1)与它到准线l的距离之和的最小值；
(3) 点P到直线y＝－4x－5与它到准线l的距离之和的最小值．
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. B　由抛物线y2＝－13x关于x轴对称知，点(m，－n)一定在该抛物线上．
2. D　由抛物线的定义可知AF＝BF＝AB，所以△ABF为等边三角形．设准线l与x轴交于点H，则FH＝2，∠HAF＝30°，所以AB＝AF＝2FH＝4.
3. C　依题意，设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.因为点M(m，－3)在抛物线上，且MF＝5，所以解得所以m的值为±2.
4. B　如图，因为AB＝4，所以AF＝4.过点A作x轴的垂线，垂足为C，因为∠AFx＝，所以FC＝2，AC＝2，所以A.因为点A在抛物线上，所以12＝2p×，整理，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去).
5. A　如图，设抛物线C的准线为l，过点P作PH⊥l于点H，准线与x轴的交点为A. 由抛物线的定义可知PF＝PH＝8，FA＝2，所以PF的中点M到抛物线C的准线l的距离为MB＝(FA＋PH)＝5，故PF的中点M到y轴的距离为4.
6. B　设抛物线的焦点为F，则F为AB的中点．由题意可得AB＝2p.因为焦点到准线的距离FM＝p，所以FM＝AB，FM⊥AB，所以△AMB为直角三角形，且∠AMB＝90°.
7. ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l 于点A.由抛物线的方程可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则AN＝4，FF′＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝6.由抛物线的定义知，MF＝MB＝6，结合题意知，MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，所以ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD.
8. AC　由抛物线C：x2＝4y，可得焦点F(0，1)，则直线y＝x＋1过抛物线C的焦点．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－6y＋1＝0，显然Δ>0，则y1＋y2＝6，y1y2＝1.对于A，由抛物线的定义，可得AB＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8，故A正确；对于B，因为·＝x1x2＋y1y2＝(y1－1)(y2－1)＋y1y2＝2y1y2－(y1＋y2)＋1＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；对于C，由y2－6y＋1＝0，解得y1＝3＋2，y2＝3－2，由抛物线定义，可得AF＝4＋2，BF＝4－2，则＋＝＋＝1，故C正确；对于D，线段AB的中点的到x轴的距离为＝3，故D错误．故选AC.
9. x2＝4y　由抛物线x2＝2py(p>0)，可得准线方程为y＝－.因为NF＝6，所以点N到准线的距离为6. 又因为点N到x轴的距离为5，所以＝6－5，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
10. 　如图，不妨设点P(x，y)在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H，则PH＝PF＝3.又PH＝x＋1，解得x＝2，所以y2＝4×2＝8，所以y＝2，所以S△OPF＝OF×|y|＝×1×2＝.
11. 5　由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 如图，设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知MF＝MD，所以MP＋MF＝MP＋MD≥PD′，当D，M，P三点共线时，MP＋MF最小，即点P到准线x＝－1的距离，所以MP＋MF的最小值为4－(－1)＝5.
12. 若同时满足条件①②：
由FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
当OM＝ON时，MN＝2p，
所以OM＝ON＝p≠MN，
所以①②不同时成立；
若同时满足条件①③：
由FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
因为直线y＝6p不可能过点F，
所以①③不同时成立；
若同时满足②③：
因为OM＝ON＝MN＝8，直线MN的方程为y＝6p，
所以6p＝12，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
13. (1) 由题意，得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2) 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则即
所以CD的中点坐标为(1，－1).
又两式相减，得y－y＝4(x1－x2)，
所以kCD＝＝＝－2，
所以直线CD的方程为y＋1＝－2(x－1)，
即2x＋y－1＝0.
联立消去x并整理，得y2＋2y－2＝0，
则Δ＝12>0，满足题意．
故直线CD的方程为2x＋y－1＝0.
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. D　由题意，得＝3，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).
2. B　设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AF＋BF＝xA＋xB＋p＝3，所以AB的中点C到y轴的距离d＝＝＝.
3. D　由抛物线C：y2＝2px，得F，A，则直线MN的方程为y＝，联立解得或即M(，p)，N，所以AM＝＝p，AN＝＝p，所以＝3.
4. B　由点M(1，4)在抛物线C上，得42＝2p，解得p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x，F(4，0)，所以以MF为直径的圆的圆心E，半径r＝MF＝×(1＋4)＝，则圆心E到y轴的距离d＝＝r，所以以MF为直径的圆与y轴相切，切点为(0，2)，故A错误，B正确；又圆心E到抛物线准线x＝－4的距离d′＝>r，所以以MF为直径的圆与抛物线C的准线相离，故C，D错误．
5. A　由题意，得圆C的圆心为C(0，3)，设P(x，y)为抛物线x2＝8y上任意一点，则PC＝＝＝.因为y≥0，且f(y)＝(y＋1)2＋8在区间[0，＋∞)上单调递增，所以当y＝0时，PCmin＝3，即圆心C到抛物线上任意一点距离的最小值是3.
6. D　抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，显然直线y＝2x＋过抛物线的焦点F.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).根据抛物线的定义可知，AF＝y1＋，BF＝y2＋，AF－BF＝y1－y2＝.联立消去x并整理，得y2－9py＋＝0，所以y1＋y2＝9p，y1y2＝.由y1－y2＝两边平方，得(y1－y2)2＝，则(y1＋y2)2－4y1y2＝，即81p2－p2＝80p2＝，解得p＝，所以AB＝y1＋y2＋p＝10p＝10×＝.
7. BCD　由抛物线y2＝4x知，p＝2，焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A错误；联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1. 联立消去x并整理，得y2－4y－4＝0，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以直线OA，OB的斜率之积为×＝＝－4，故B，C正确；易知直线x－y－1＝0过抛物线的焦点，所以AB＝x1＋x2＋2＝8，故D正确．故选BCD.
8. ABD　对于A，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离是4，所以p＝4，则F(2，0)，故A正确；对于B，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，所以x1x2＝2×2＝4；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，联立消去y并整理，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4，故B正确；对于C，AB＝x1＋x2＋p＝5＋4＝9，故C错误；对于D，过点A，B，M分别向准线作垂线，垂足为A1，B1，M1，因为AA1＝AF，BB1＝BF，所以AB＝AF＋BF＝AA1＋BB1＝2MM1，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确．故选ABD.
9. 3　根据抛物线的性质可知，通径长最小，即2p＝6，所以p＝3.
10. 60.5　如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向).设抛物线的方程为y2＝2px，由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点P(50，40)，代入抛物线的方程，得402＝2p×50，解得p＝16，所以抛物线的方程为y2＝32x.当灯口圆的直径增大到88 cm时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标为＝44，将y＝44代入抛物线的方程，解得x＝60.5，此时探照灯的深度为60.5 cm.
11. y＝2x＋3　由题意，得3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.设直线l的方程为y＝2x＋t，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－(2t＋16)y＋t2＝0，则Δ＝(2t＋16)2－4t2＝64t＋256>0，解得t>－4，所以y1＋y2＝2t＋16，所以AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝2t＋16＋2＝24，解得t＝3，满足题意，所以直线l的方程为y＝2x＋3.
12. (1) 联立可得Q(2p，2p)，
所以OQ＝＝4，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2) 设点A(x0，y0)，M(x1，y1)，则点B(x0，－y0)，
所以直线PA的方程为y＝(x－1)，
与y2＝4x联立，得y2－y－4＝0，
则y0y1＝－4，即y1＝－，
所以M，
则直线BM的方程为y＋y0＝(x－x0).
又y＝4x0，所以y＝－y0，
即y＝－(x＋1)，
所以直线BM过定点(－1，0).
13. 由题意，得焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.
(1) 若选①，易知点B(3，2)在抛物线的内部，
如图，根据抛物线的定义，得点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离，
所以最小值就是点B到准线l的距离，
故最小值是3＋(－1)＝4.
若选②：易知点B(3，4)在抛物线外部，
如图，易得点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到点F的距离，
所以最小值是BF＝＝2.
(2) 如图，易知点A(－1，1)在准线l上，
因为点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到点A(－1，1)与它到准线l的距离之和的最小值即为PA＋PF的最小值，
所以最小值为AF＝＝.
(3) 如图，因为点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到直线y＝－4x－5与它到准线l的距离之和的最小值即为点F到直线y＝－4x－5的距离，
所以最小值为＝.

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